專題10 特殊三角形的存在性（含2024年崇明、閔行一模）原卷版

專題10特殊三角形的存在性特殊三角形的討論問(wèn)題，常見(jiàn)于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角比的應(yīng)用等數(shù)學(xué)核心知識(shí)，考查了學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想。雖部分特殊三角形的存在性問(wèn)題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無(wú)單一模式，對(duì)學(xué)生提出了相當(dāng)大的挑戰(zhàn)。然而萬(wàn)變不離其宗，從特殊三角形本身的性質(zhì)入手，結(jié)合邊、角的相互轉(zhuǎn)化，就能撥開(kāi)迷霧、追尋真跡。易錯(cuò)點(diǎn)一：等腰三角形的存在性根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會(huì)不存在，所以等腰三角形的存在性問(wèn)題，往往有2個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤其注意．解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根．解題策略：對(duì)于等腰三角形的存在性問(wèn)題，利用“兩圓一線”找交點(diǎn)，①已知邊為腰時(shí)，以已知邊的兩端點(diǎn)為圓心，已知邊為半徑畫(huà)圓找交點(diǎn)；②已知邊為底時(shí)，利用尺規(guī)作圖法作出已知邊的垂直平分線進(jìn)而找交點(diǎn)。

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的等腰三角形存在性問(wèn)題，有以下幾種做法：①如果點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，可以直接利用“等腰三角形的三線合一”或“兩邊”相等的性質(zhì)，直接求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如果已知兩定點(diǎn)，還有一動(dòng)點(diǎn)在直線上，則設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用距離公式，分類討論。③如果動(dòng)點(diǎn)在拋物線上或動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)不止一個(gè)，則不建議利用距離公式，這樣計(jì)算過(guò)程繁瑣且容易出現(xiàn)高次方程，可以利用圖中的相似三角形或其他圖形的特點(diǎn)進(jìn)行解決?！纠?】．（2024?崇明區(qū)）已知中，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域；（3）過(guò)點(diǎn)作射線的垂線，垂足為，射線與射線交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式】．（2023春?靜安區(qū)期末）（1）如圖1，梯形中，，，，，．求證：四邊形是等腰梯形；（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域；②如果是等腰三角形，求的面積．【例2】．（2024?閔行區(qū)）如圖，在中，，以，為邊在外部作等邊三角形和等邊三角形，且聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)，，求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求的值；②請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并寫(xiě)明結(jié)論），當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍．【變式】．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．（1）求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的表達(dá)式．易錯(cuò)點(diǎn)二：直角三角形的存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時(shí)，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問(wèn)題中，其中某兩種情況會(huì)較為簡(jiǎn)單，剩下一種則是考察重點(diǎn)，需要用到勾股定理。解題思路：（1）按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論；（2）計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)等信息；（3）根據(jù)邊長(zhǎng)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．解題策略：對(duì)于直角三角形的存在性問(wèn)題，利用“兩圓一線”找交點(diǎn)，①已知邊為直角邊時(shí)，分別過(guò)邊的兩段點(diǎn)作邊的垂線找點(diǎn)；②已知邊為斜邊，作以斜邊為直徑的圓找點(diǎn)（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形存在性問(wèn)題，有以下幾種做法：①如果動(dòng)點(diǎn)在直線上，則可以利用距離公式和勾股定理求解；②如果動(dòng)點(diǎn)落在拋物線上，則可以構(gòu)造“一線三直角模型”求解?！纠?】（2023秋?寶山區(qū)期中）已知中，，，是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），線段的垂直平分線與邊交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)在邊上，①如圖1，聯(lián)結(jié)，如果平分，求的長(zhǎng)；②如圖2，射線交射線于點(diǎn)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．（2）如果是直角三角形，求的長(zhǎng)．【變式1】（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在中，，，以為邊作（點(diǎn)、在直線的異側(cè)），且滿足，．（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求邊的長(zhǎng)；（3）設(shè)，，求關(guān)于函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域．【變式2】．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知在四邊形中，，，平分，交邊于點(diǎn)．（1）如圖1，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，，求證：四邊形是正方形；（2）如果，，①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)三：等腰直角三角形的存在性既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個(gè)角是直角?！纠?】．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)和．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)在第一象限，且在直線上，過(guò)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，求點(diǎn)到這條拋物線對(duì)稱軸的距離；②如果點(diǎn)在這條拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式】．（2023?楊浦區(qū)二模）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）把拋物線沿射線方向平移得到拋物線，此時(shí)點(diǎn)、分別平移到點(diǎn)、處，且都在直線上，設(shè)點(diǎn)在拋物線上，如果是以為底的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)，求的值．1．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知，在梯形中，，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段與線段交于點(diǎn)，且，設(shè)，．（1）求與之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)平分時(shí)，求的值；（3）分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．2．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，．（1）如圖1，試說(shuō)明的理由；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．①試說(shuō)明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數(shù)．3．（2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足為點(diǎn)、．（1）說(shuō)明的理由；（2）求的面積；（3）在軸上找到點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2023春?閔行區(qū)期末）如圖，梯形中，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，，，垂直于射線，垂足為點(diǎn)．（1）證明：四邊形是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)，如果是等腰三角形，求線段的長(zhǎng)度．5．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與軸的正半軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）過(guò)作軸的平行線交拋物線于，當(dāng)是為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若頂點(diǎn)在以、為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)（不含邊界），求的取值范圍．6．（2023秋?寶山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移，使平移后的拋物線仍經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，新拋物線的頂點(diǎn)為（點(diǎn)在第四象限），對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)，且．（1）求平移后拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，判斷以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拋物線上的點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，如果是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．7．（2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在上，滿足，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接．①當(dāng)時(shí)，求的值；②如果是以為腰的等腰三角形，求的正切值．8．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在梯形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接，作，與交于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．9．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知：如圖所示，四邊形中，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)、分別在邊、上，且，求證：；（3）在（2）的條件下，若，是等腰三角形，直接用含的代數(shù)式表示．10．（2023春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在邊上，且位于點(diǎn)的左側(cè)，聯(lián)結(jié)．（1）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求正方形的面積．11．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知邊長(zhǎng)為的正方形中，是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)（如圖所示），設(shè)，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否為等腰三角形？如果能，試求出的長(zhǎng)，如果不能，試說(shuō)明理由．12．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖1，梯形中，，，，，，在邊上，連接，．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）在（2）的條件下，若是等腰三角形，求的值．13．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，連接，以線段為對(duì)角線作正方形，邊交邊于點(diǎn)，線段交邊于點(diǎn)，邊交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的定義域；（3）連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的值．14．（2023?嘉定區(qū)一模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；（2）求的值；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、作直線，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上，設(shè)，，寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷的形狀，并給出證明；（2）如果，求的長(zhǎng)．16．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的面積；（2）如圖2，設(shè)當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，求關(guān)于的解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）若為直角三角形，求的值．17．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖1，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)、為腰在第三象限作等腰．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，為軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)向軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以為直角頂點(diǎn)，為腰作等腰，過(guò)作軸于點(diǎn)，求的值；（3）如圖3，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作，始終保持，與軸負(fù)軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值．18．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）已知的余切值為2，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)、都在射線上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．（1）聯(lián)結(jié)，求證：；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如果的正切值為2，求線段的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．19．（2023?奉賢區(qū)二模）在梯形中，，，，，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖，如果是的中點(diǎn)，求的值；（3）聯(lián)結(jié)，如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．20．（2023春?徐匯區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求證：當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）是否可能平分對(duì)角線？若能，求出當(dāng)為何值時(shí)平分；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若是以為腰的等腰三角形，求的值．21．（2003?閔行區(qū)模擬）已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，如果是等腰直角三角形，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且以、、為頂點(diǎn)的三角形和以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）已知在中，，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，如果點(diǎn)在線段的垂直平分線上，求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，①如圖2，如果點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，求的度數(shù)；②填空：如果，，且是以為腰的等腰三角形，那么的長(zhǎng)等于．23．（2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖1，在和中，，，，．（1）求證：；（2）已知點(diǎn)在邊上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），且，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①如圖2，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．24．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）