易錯點05四邊形（原卷版）

易錯點05四邊形多邊形對角線、內(nèi)角和、外角和平行四邊形定義性質判定。菱形定義性質判定。矩形形定義性質判定。正方形定義性質判定。四邊形綜合應用易錯分析易錯分析01認識多邊形。多邊形考察范圍較廣，涉及的知識點較為寬泛，在綜合能力考察上要求較高，注意規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形的轉換方式，輔助線分割方法，化繁為簡。掌握解題技巧性如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D，E，F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點，則的面積與的面積比為__________．【答案】1∶2【思路點撥】答案有誤，分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【規(guī)范解答】解：，，∴的面積與的面積比為1∶4．故答案為1∶4．【考點評析】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解本題的關鍵．【變式訓練01】（2022·江蘇常州·九年級專題練習）如圖，將一個邊長為的正方形活動框架（邊框粗細忽略不計）扭動成四邊形，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達到時才會斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：）．【變式訓練02】（2023秋）已知，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段，點A、B均在小正方形的頂點上．(1)如圖1，在方格紙中畫出以為一邊的等腰，點C在小正方形的頂點上，且的面積為10；(2)如圖2，在方格紙中畫出以為一邊的平行四邊形，點D、E均在小正方形的頂點上，且平行四邊形的面積為10，連接，并直接寫出線段的長．【變式訓練03】（2022秋九年級期中）如圖，菱形的兩條對角線，相交于點O，若，，求菱形的周長．易錯分析易錯分析02多邊形對角線、內(nèi)角和、外角和。掌握內(nèi)角和公式，外角和360°公理的由來。（2022秋·九年級統(tǒng)考期中）已知，如圖兩個四邊形相似，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】答案有誤，根據(jù)相似多邊形的性質及四邊形的內(nèi)角和即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖：兩個四邊形相似，，，故選：A．【考點評析】本題考查了相似多邊形的性質，多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握和運用相似多邊形的性質是解決本題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，．(1)在圖中，用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓O，并標出與邊，，的切點D，E，F(xiàn)（保留痕跡，不必寫作法）；(2)連接，，求的度數(shù)．【變式訓練02】（2021·?？级＃┫铝姓f法：（1）了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調(diào)查；（2）若∠α＝20°40′，則∠α的補角為159°60′；（3）若一個正n邊形的每個內(nèi)角為144°，則正n邊形的所有對角線的條數(shù)是35；（4）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關于x的方程x2﹣4x＋k＝0的兩個根，則k的值為3；正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練03】（2022·江蘇·九年級專題練習）【問題情境】如圖1，點為正方形內(nèi)一點，，，，將直角三角形繞點逆時針方向旋轉度（），點、的對應點分別為點、．(1)【問題解決】如圖2，在旋轉的過程中，點落在了上，求此時的長；(2)【問題解決】若，如圖3，得到（此時與重合），延長交于點，①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②連接，求的長；(3)【問題解決】在直角三角形繞點逆時針方向旋轉過程中，求線段長度的取值范圍．易錯分析易錯分析03平行四邊形的性質掌握及應用。理解性質和判定的區(qū)別和聯(lián)系，充分應用平行四邊形的性質解決問題（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，對角線與交于點，且，，在延長線上取一點，使，連接交于，則的長為______．【答案】【思路點撥】答案有誤，過點作，先由和平行四邊形的性質說明是的中位線并求出，再判斷，最后由相似三角形的性質得結論．【規(guī)范解答】解：過點作，交于點，四邊形是平行四邊形，是對角線與的交點，，點是的中點．，是的中位線．，．．．，．．．故答案為：．【考點評析】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質、三角形的中位線定理及平行四邊形的性質是解決本題的關鍵．【變式訓練01】（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點均在格點上，是一條小河平行的兩岸．（1）的距離等于___________；（2）現(xiàn)要在小河上修一座垂直于兩岸的橋（點在上，點在上，橋的寬度忽略），使最短，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出，并簡要說明點，的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【變式訓練02】（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的延長線上一點，連接交邊于點，交對角線于點．(1)求證：；(2)若，求的值．【變式訓練03】（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的切于點A，與交于點E．(1)求證：直線是的切線；(2)若cm，弦CE的長為16cm，求的半徑長．易錯分析易錯分析04平行四邊形的判定及應用。熟練掌握判定方法的證明過程，借助輔助線解決問題。（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，在中，點D是邊的中點，點F，E分別是及其延長線上的點，，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當滿足____________條件時，四邊形為菱形．（填寫序號）①．②，③，④．【答案】(1)見詳解(2)③，理由見詳解【思路點撥】第2小題答案有誤，（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．【規(guī)范解答】（1）證明：在中，D是邊的中點，∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）滿足條件①時四邊形為菱形．理由：若時，為等腰三角形，∵為中線，∴，即，由（1）知，，∴，∴平行四邊形為菱形．故答案為：①．【考點評析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、平行線的性質以及等腰三角形的性質．熟練掌握菱形的判定方法，且證得得到是解決問題的關鍵．【變式訓練01】（2019秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，圓心在內(nèi)部經(jīng)過、兩點，并交于點，過點作的切線交于點延長交于點，作交于點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的值．【變式訓練02】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校?？寄M預測）（1）如圖，點，均在正方形內(nèi)部，且，．求證：四邊形是平行四邊形；求正方形的邊長；（2）如圖，點，，，均在正方形內(nèi)部，且，，求正方形的邊長．【變式訓練03】（2021秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，O為邊上一點，經(jīng)過點A，與，兩邊分別交于點E，F(xiàn)，連接．平分，交于點D，經(jīng)過點D．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長．易錯分析易錯分析05特殊平行四邊形（矩形）判定與性質應用。求角度，求線段長，求面積等問題中有一定難度，綜合能力要求較高，注意解題技巧的掌握。三角形的中位線等于第三邊的一半，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，盡管都有“一半”，但二者成立的條件和結論不一樣，不要混淆。（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，當∠DPM的度數(shù)最大時，則BP=___________．【答案】2【思路點撥】答案有誤，未考慮到輔助線。首先確定P點的位置，畫出輔助圓，再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的判定與性質即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，當P點在與相切，且經(jīng)過D點和M點的上時，的度數(shù)最大，此時，P點即為切點，連接，∴，∵正方形的邊長為，M點為的中點，∴，過O點作于E，∴，延長，交于點F，∴，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，連接，則，∴，∴，∴，故答案為：．【考點評析】本題考查了最大張角問題，涉及到了正方形性質的應用、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質等內(nèi)容，解題關鍵是理解當P點在與相切且經(jīng)過D點和M點的圓上且位于切點處時張角最大．【變式訓練01】（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，為的直徑，平分，于，交于．(1)求證：為的切線；(2)若，求的半徑．【變式訓練02】（（2022·江蘇揚州·?？寄M預測）如圖，在平行四邊形中，軸，，原點是對角線的中點，頂點的坐標為，反比例函數(shù)在第一象限的圖象過四邊形的頂點．(1)求點的坐標和的值；(2)將平行四邊形向上平移，使點落在反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上，求平移過程中線段掃過的面積．(3)若、兩點分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且四邊形是菱形，求的長．【變式訓練03】（（2022秋·江蘇常州·九年級常州市第二十四中學?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，是邊的中點，點在線段上，過作于，設．(1)求證：．(2)當點在線段上運動時，是否存在實數(shù)，使得以點，，為頂點的三角形也與相似？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．易錯分析易錯分析06特殊平行四邊形（菱形）判定與性質應用。（2021·江蘇蘇州·一模）如圖1，已知在平行四邊形中，，若點P從頂點A出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點B，圖2是點P運動時，的面積隨時間變化的關系圖像，則a的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【思路點撥】答案有誤，首先判斷四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC，根據(jù)圖象的三角形的面積可得菱形的邊長為5，再利用菱形的性質和勾股定理列方程可求A．【規(guī)范解答】解：過點D作DE⊥BC，∵平行四邊形ABCD中，AD=DC，∴四邊形ABCD是菱形，AD∥BC，∴當點P在邊AD上運動時，y的值不變，∴AD=a，即菱形的邊長是a，∴a?DE＝2a，即DE=4．當點P在DB上運動時，y逐漸減小，∴DB=5，∴BE=，在Rt△DCE中，DC=a，CE=a3，DE=4，∴a2=42+（a3）2，解得a=，故選：C．【考點評析】本題考查菱形的性質，根據(jù)圖象分析得出a的值是解題關鍵．【變式訓練01】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，過對角線BD的中點O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．(1)求證：△DOE≌△BOF；(2)若AB＝6，AD＝8，連接BE，DF，求四邊形BFDE的周長．【變式訓練02】（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點D，交于點E，交⊙O于點F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長（結果保留π）．【變式訓練03】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在8×8的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD為格點圖形（頂點在格點上），請按以下要求畫出相應的格點圖形．(1)在圖1中畫出格點△ABP，使△ABP的面積等于四邊形ABCD的面積．(2)在圖2中畫出格點四邊形ABQD，使四邊形ABQD的面積等于四邊形ABCD的面積，且格點Q不與格點C重合．易錯分析易錯分析07特殊平行四邊形（正方形）判定與性質應用（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，矩形的邊上有一點，，垂足為，將繞著點順時針旋轉，使得點的對應點落在上，點恰好落在點處，連接．下列結論：①；②四邊形是正方形；③，④．其中結論正確的序號是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【思路點撥】答案有誤，延長交于，連接，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得出，根據(jù)旋轉的性質得出，得出即可判斷①，根據(jù)題意得出四邊形是矩形，由即可判斷②，進而得出，根據(jù)判斷③，根據(jù)勾股定理以及等角對等邊可得，得出，由四邊形是正方形，得出，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，延長交于，連接，∵，∴，∵，∴，∵將繞著點順時針旋轉得，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵四邊形是矩形，∴∵∴四邊形是矩形，又∵，∴矩形是正方形，故②正確；∴，∴，故③正確；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵四邊形是正方形，∴，∴，故④錯誤，∴正確的是：①②③，故選：B．【考點評析】本題考查了矩形的性質與判定，矩形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理的應用，綜合運用以上知識是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋·九年級課時練習）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓練02】（2022秋·江蘇·九年級周測）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點P，與AC相切于點D，已知AB=8，⊙O的半徑為r．(1)如圖1，若AP=DP，則⊙O的半徑r值為_______；(2)求BC=6，求⊙O的半徑r長；(3)若AD的垂直平分線和⊙O有公共點，求半徑r的取值范圍．【變式訓練03】（2019·河北唐山·統(tǒng)考二模）關于邊形，甲、乙、丙三位同學有以下三種說法：甲：五邊形的內(nèi)角和為乙：正六邊形每個內(nèi)角為丙：七邊形共有對角線14條（1）判斷三種說法是否正確，并對其中你認為不對的說法用計算進行說明（2）若邊形的對角線共35條，求該邊形的內(nèi)角和易錯分析易錯分析08四邊形綜合應用。矩形、菱形、正方形有各自成立的前提條件，解題時應明確矩形、菱形、正方形的判定定理，不要混淆。平行四邊形的兩條對角線把其分割為4個三角形，其中相對的兩個互相全等；矩形的兩條對角線把其分割為4個等腰三角形，其中相對的兩個互相全等；菱形的兩條對角線把其分割為4個全等的直角三角形；正方形的兩條對角線把其分割為4個全等的等腰直角三角形.解題時要充分應用這些三角形的特征，注意它們的聯(lián)系與區(qū)別。（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點P從點A出發(fā)沿以的速度向點B移動；同時，點Q從點C出發(fā)沿以的速度向點D移動，兩點同時出發(fā)，一點到達終點時另一點即停．(1)運動幾秒時，能將矩形ABCD的面積分成兩部分？(2)運動幾秒時，P，Q兩點之間的距離是？【答案】(1)2秒(2)秒【思路點撥】（1）根據(jù)題意，設運動時間為t秒，將用t表示出來，跟為梯形的面積占2份和5份兩種情況進行討論即可；（2）過P點作，垂足為M點，根據(jù)勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：設運動時間為t秒，依題意得：∵，∴．∴，．∴，，解得，解得（舍），∴運動2秒時，能將矩形ABCD的面積分成兩部分．（2）如圖，過P點作，垂足為M點，∴，，∴，∴，即∴或（舍去），∴時，P、Q兩點之間的距離是．【考點評析】本題主要考查矩形的動點問題，勾股定理和用平方根的定義解方程，解題的關鍵是根據(jù)題意做出合適的輔助線，利用勾股定理解答是關鍵．【變式訓練01】（2022秋·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問題探究】(1)如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如圖②，在菱形中，，，動點、分別在、上（不含端點），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請證明；如果不是，請說明理由；此時，四邊形的周長的最小值為___________；【嘗試應用】(3)現(xiàn)有一個平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點在上，且，在邊上有一點，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時四邊形ABEP的面積可能為的值___________．【變式訓練02】（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，．如果點E由點B出發(fā)沿方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發(fā)沿方向向點A勻速運動，它們的速度分別為和．已知，分別交，于點P和點Q，設運動時間為（）．(1)連接，，當_____s時，四邊形為平行四邊形；(2)連接，若的面積為，求t的值；(3)若與相似，求t的值．一、選擇題1．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市第二十九中學校考開學考試）四邊形的對角線和相交于點O．有下列條件：①；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．則下列推理正確的是（）A．②③→⑥ B．①②→⑤ C．①④→⑤ D．②⑤→⑥2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在菱形中，于點，分別交于點，的延長線于點，且．則的值為（

）A． B． C． D．3．（2021·江蘇·九年級專題練習）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．對角線平分一組對角4．（2022秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，點E在邊上運動，連接，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．設，，則y關于x的函數(shù)圖象大致為（

）A．B．C． D．5．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┤鐖D，在正方形中，點的坐標分別是，，點在拋物線的圖像上，則的值是（

）A． B． C．