解一元二次方程（配方法）（教學(xué)設(shè)計(jì)）-九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列

21.2.1解一元二次方程（配方法）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.1配方法第2課時，內(nèi)容包括：利用配方法解一元二次方程。2.內(nèi)容解析通過第一課時的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了如何通過直接開平方法解一邊是完全平方式的一元二次方程的方法，而本節(jié)課要學(xué)的方程不具備上述結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)生要學(xué)會如何通過轉(zhuǎn)化的方法利用配方法求解一元二次方程。配方法是初中階段的重要內(nèi)容，也是一種重要的學(xué)習(xí)方法。對于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推導(dǎo)建立在直接開平方的基礎(chǔ)上，同時它又是推導(dǎo)公式法的基礎(chǔ)?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：利用配方法解一元二次方程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟。（2）通過配方法將一元二次方程變形,讓學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。2.目標(biāo)解析用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將一元二次方程配成完全平方形式，如何將方程的一邊配成完全平方形式就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。對于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推導(dǎo)建立在直接開平方的基礎(chǔ)上，同時它又是推導(dǎo)公式法的基礎(chǔ)。通過配方法將一元二次方程變形，進(jìn)一步讓學(xué)生體會解一元二次方程時降次的基本策略和轉(zhuǎn)化思想。達(dá)成（1）目標(biāo)的標(biāo)志是：熟練運(yùn)用配方法解形如(x＋n)2＝p的方程。達(dá)成（2）目標(biāo)的標(biāo)志是：通過配方法可以將左側(cè)不是完全平方式的一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x＋n)2＝p的方程，體會了可以把一些問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的知識、方法來解決問題的思想方法。三、教學(xué)問題診斷分析在教學(xué)中最關(guān)鍵的是讓學(xué)生掌握配方法，配方的對象是含有未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，其理論依據(jù)是完全平方式，配方的方法是通過添項(xiàng)：加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方構(gòu)成完全平方式。對學(xué)生來說，要理解和掌握它，確實(shí)感到困難，因此在教學(xué)過程中及課后批改中常發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)以下幾個問題：

1.在利用添項(xiàng)來使等式左邊配成一個完全平方公式時，等式的右邊忘了加。

2.在開平方這一步驟中，學(xué)生要么只有正、沒有負(fù)的，要么右邊忘了開方。

3.當(dāng)一元二次方程有二次項(xiàng)的系數(shù)不為1時，在添項(xiàng)這一步驟時，沒有將系數(shù)化為1，就直接加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：通過配方法將一元二次方程轉(zhuǎn)化為形如(x＋n)2＝p的方程。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課完全平方公式：(a+b)2

(a?b)2

答案：a2+2ab+b2；a【練習(xí)1】x2+6x+9=__________________答案：(x+3)2【練習(xí)2】在下列等式內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立1)x2+2x+=(x+)2;2)x2+12x+=(x+)2;3)x2﹣4x+=(x﹣)2;4)x2﹣6x+=(x﹣)2;5)x2+3x+=(x+)2;6)x2﹣72

x+=(x﹣)答案：1）12、12）62、63）22、24）32、35）(32)2、326）(74)2師生活動：師生共同回顧完全平方公式的相關(guān)知識，通過配套練習(xí)，讓學(xué)生理解它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：“首平方，尾平方，2倍首尾放中間”，從而引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容?！驹O(shè)計(jì)意圖】先回顧完全平方公式的知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)利用配方法解一元二次方程做好鋪墊。通過配套練習(xí)，引起學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。（二）探究新知【問題】已知長方形面積為12平方米，長比寬多4米，求長方形的寬？師生活動：學(xué)生思考，獨(dú)立完成?！咎釂?】嘗試求方程x2+4x=12的解？師生活動：學(xué)生思考，積極回答，教師引導(dǎo)與總結(jié)，最后得出方法為：將x2+4x=12轉(zhuǎn)化為(x＋n)2＝p的形式。師生活動：教師板演，針對求得的結(jié)果，教師需提示學(xué)生：用方程解決實(shí)際問題時，要考慮所求得結(jié)果在實(shí)際問題是否有意義。【思考】為什么在方程兩邊同時加4？可以加其它數(shù)嗎？師生活動：學(xué)生思考，積極回答。【設(shè)計(jì)意圖】將學(xué)生放置在實(shí)際問題的背景下，激發(fā)學(xué)生的主動性和求知欲。本題數(shù)量關(guān)系較簡單，學(xué)生很容易列出相應(yīng)的方程。但通過觀察方程結(jié)構(gòu)，暫時無法求解，讓學(xué)生感受到問題的存在。再通過提問環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生初步思考、回顧已有的知識，主動參與到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來?！咎釂?】嘗試求方程x2+6x+4=0的解？師生活動：以小組為單位，通過探討解方程。教師在此環(huán)節(jié)中注意指導(dǎo)，必要時進(jìn)行點(diǎn)撥?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過小組討論，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。師：嘗試用自己的語言描述配方法的概念。師生活動：先由學(xué)生嘗試歸納總結(jié)，再由教師給出配方法的概念：將方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程來解。用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：將一元二次方程配成完全平方形式。【提問】簡述通過配方法解一元二次方程的步驟。師生活動：先由學(xué)生嘗試歸納總結(jié)，再由教師給出配方法解一元二次方程的步驟：1）移項(xiàng)：將含有x的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；4）將原方程變成(x＋n)2＝p的形式；5）判斷右邊代數(shù)式的符號，若p≥0，可以利用直接開方法求解；若p<0，原方程無實(shí)數(shù)根?！咀⒁狻颗浞降年P(guān)鍵：利用已知兩項(xiàng)a2±2ab來確定第三項(xiàng)，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，則第三項(xiàng)一定是b2.【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納配方法解一元二次方程的步驟及注意事項(xiàng)。使學(xué)生鞏固對課堂知識的理解和掌握，同時進(jìn)一步讓學(xué)生體會解一元二次方程時“降次”的基本策略和轉(zhuǎn)化思想。（三）知識歸納一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p①的形式，那么就有：1)當(dāng)p＞0時，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1＝-n-p，x2＝-n+p；2)當(dāng)p＝0時，方程①有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝-n；3)當(dāng)p＜0時，因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)x，都有(x＋n)2≥0，所以方程①無實(shí)數(shù)根。（四）典例分析例1解下列一元二次方程:1）x2﹣8x+1=02）3x2﹣6x+4=03）2x2﹣5x+2=0答案：1）x1=4+15，x2=4-152）原方程無實(shí)數(shù)根3）∴x1=12

師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，同時引導(dǎo)學(xué)生每一步的計(jì)算依據(jù)?！踞槍τ?xùn)練】1.用配方法解方程2xA．

(x?12)2C．

(x?14)2.用配方法將方程x2?4x?2=0變形為A．4 B．5 C．6 D．7答案：1.D2.C【能力提升】1．若函數(shù)y＝(m－3)xm[解析]∵函數(shù)y=（m－3）xm2＋2m－132.已知等腰三角形的一邊長為6，另一邊長為方程x2﹣6x+9＝0的根，則該等腰三角形的周長為_____．[解析]解：x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，因?yàn)?+3＝6，不能構(gòu)成三角形，所以等腰三角形的腰為6，底邊長為3，所以三角形的周長＝6+6+3＝15．故答案為：15．3．已知方程x2+4x+n=0可以配方成x+m2A．1 B．－1 C．0 D．4[解析]由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，∴（m﹣n）2015＝1，故選：A．4．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可變形為（）A．(x+b2a)C．(x?b2a)[解析]∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=?c，∴x2+bax=?ca，∴x2+bax+b24a2=?ca+師生活動：學(xué)生思考，獨(dú)立完成，教師借助多媒體展示具體求解過程?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過配套練習(xí)，使學(xué)生加強(qiáng)對二次項(xiàng)系數(shù)不為1，配方后方程無意義等問題的理解和解決方法。把研究的對象從具體數(shù)字抽象到字母表示的數(shù)字，體現(xiàn)從特殊到一般，從具體到抽象的思維過程，鞏固對配方法的認(rèn)識，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)用配方法推導(dǎo)求根公式做鋪墊。（五）直擊中考1．（2022年山東省東營市中考數(shù)學(xué)真題）一元二次方程x2A．x1=2+23C．x1=?2+22答案：D2．（2022年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時，將它化為x+aA．103 B．73 C．2 [解析]∵3x2+6x?1=0，∴3x則x2+2x+1=13+1，即x+12=3．（湖北省荊州市2021年中考數(shù)學(xué)真題）已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整數(shù)解，請用配方法解關(guān)于x的方程x2+2ax+a+1=0[解析]解：∵5(a-2)+8<6(a-1)+7；∴5a?10+8<6a?6+7∴?a<3；∴a＞-3∵a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整數(shù)解，∴∴關(guān)于x的方程x2-4x?1=0；∴∴x-2=±5；∴x【設(shè)計(jì)意圖】通過對最近幾年的中考試題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受到中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn)。（六）歸納小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？請你用自己的語言描述配方法解一元二次方程的基本步驟嗎？2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你領(lǐng)悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法？（七）布置作業(yè)P9：練習(xí)2(5)(6)P16：習(xí)題21.2：第3題【課外思考】根據(jù)要求，解答下列問題．（1）根據(jù)要求，解答下列問題．①方程x2－2x＋1＝0的解為________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為________________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解