期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)5八下特殊四邊形存在性問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)5八下特殊四邊形的存在性問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022春?東陽(yáng)市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且B（4，2），E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連OE，過(guò)E作GF⊥OE，交直線BC、直線OA于點(diǎn)F、G，連OF．（1）求直線AC的解析式．（2）當(dāng)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)．（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P、O、G、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)直線AC的解析式：y＝kx+b，將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）設(shè)CF＝x，可證得△CEF≌△AEG，進(jìn)而在Rt△COF中，根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)一步求得結(jié)果；（3）當(dāng)以O(shè)F，OG為邊時(shí)，根據(jù)（2）可求得點(diǎn)F和點(diǎn)G坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)；當(dāng)以O(shè)G，F(xiàn)G為邊時(shí)，延長(zhǎng)OF至P，使PF＝OF，在OC的延長(zhǎng)線上截取CQ＝OC＝2，連接PQ，可推出OF平分∠CFG，從而得出OE＝OC＝2，可證得△AOC≌△OQP，進(jìn)而求得點(diǎn)F點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△EOG中，根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)一步可求得F點(diǎn)橫坐標(biāo)；當(dāng)OF，F(xiàn)G為邊時(shí)，作FH⊥OG于H，連接CH，作HQ⊥AC與Q，可推出CH平分∠ACO，設(shè)OH＝a，在Rt△AHQ中，根據(jù)勾股定理可求得a，進(jìn)而求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且B（4，2），∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，2），設(shè)直線AC的解析式：y＝kx+b（k≠0），代入點(diǎn)A，C坐標(biāo)，得，解得，∴直線AC解析式：y＝x+2；（2）∵E為AC的中點(diǎn)，∴CE＝AE，在矩形OABC中，BC∥OA，∴∠FCE＝∠GAE，又∵∠CEF＝∠AEG，∴△CEF≌△AEG（ASA），∴EF＝EG，CF＝AG，∵OE⊥FG，∴OE為線段FG的垂直平分線，∴OF＝OG，設(shè)CF＝x，則AG＝x，∵A（4，0），∴OA＝4，∴OG＝4﹣x，∴OF＝4﹣x，在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴CF＝；（3）存在以P、O、G、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分情況討論：①以O(shè)G，OF為邊，則OF＝OG，∵GF⊥OE，∴E為FG的中點(diǎn)，由（2）可知點(diǎn)F（，2），點(diǎn)G（，0），根據(jù)平移的性質(zhì)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4；②如圖1，以O(shè)G，F(xiàn)G為邊，OG＝FG，延長(zhǎng)OF至P′，使P′F＝OF，在OC的延長(zhǎng)線上截取CQ＝OC＝2，連接P′Q，∴CF＝，CF∥P′Q，∴∠P′QO＝∠FCO＝90°，∵OG＝FG，∴∠GOF＝∠GFO，∵BC∥OA，∴∠CFO＝∠FOG，∴∠CFO＝∠GFO，∵∠BCO＝∠OEF，∴OE＝OC＝2，同理可得：CF＝EF，∴OF⊥CE，∴∠COF+∠ACO＝90°，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠COF＝∠CAO，∵∠P′QO＝∠AOC＝90°，OQ＝OC＝4，∴△AOC≌△OQP′（ASA），∴P′Q＝OC＝2，∴CF＝1，設(shè)OG＝FG＝a，在Rt△EOG中，OE＝OC＝2，EG＝FG﹣EF＝a﹣1，OG＝a，∴a2﹣（a﹣1）2＝22，∴a＝，∴G（，0），F(xiàn)（1，2），∵1﹣＝﹣，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：﹣；如圖2，以O(shè)F，F(xiàn)G為邊，OF＝FG，作FH⊥OG于H，連接CH，作HQ⊥AC與Q，可得∠OFG＝∠ACO，∠OCH＝∠OFG，∴CH平分∠ACO，∴OH＝HQ，CE＝OC＝2，設(shè)OH＝a，在Rt△AHQ中，HQ＝x，AH＝4﹣x，AQ＝AC﹣CQ＝2﹣2，∴（4﹣x）2﹣x2＝（2﹣2）2，∴x＝﹣1，∴F（﹣1，2），∴P（﹣1，﹣2），綜上所述：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：4或﹣或﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，用勾股定理方程．2．（2022春?婺城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（4，2），點(diǎn)D為對(duì)角線OB中點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DE，把△ODE沿DE翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）當(dāng)點(diǎn)F在第四象限時(shí)（如圖1），求證：DE∥BF．（2）當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的某條邊上時(shí)，求EF的長(zhǎng)．（3）是否存在點(diǎn)E，使得以D，E，F(xiàn)，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由三角形外角和定理和折疊的性質(zhì)可得∠DBF＝∠DFB，∠ODF＝2∠DFB＝2∠EDF，能夠推導(dǎo)出∠DFB＝∠EDF，從而可證明DE∥BF；（2）①當(dāng)ED⊥OC時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合，EF＝CO＝2；②當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，在Rt△BCE中，BE2＝（4﹣BE）2+22，求得EF＝；（3）畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形分三種情況討論：當(dāng)四邊形DEFB為平行四邊形時(shí)，E（，0）；當(dāng)四邊形DEBF為平行四邊形時(shí)，E（3，0）；當(dāng)四邊形DEBF為平行四邊形時(shí)，E（5，0）．【解答】（1）證明：由折疊可知，∠ODE＝∠EDF，OD＝DF，∵點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，∴OD＝BD，∴DF＝BD，∴∠DBF＝∠DFB，∴∠ODF＝2∠DFB＝2∠EDF，∴∠DFB＝∠EDF，∴DE∥BF；（2）解：①當(dāng)ED⊥OC時(shí)，OE＝EF，此時(shí)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴EF＝CO，∵B（4，2），四邊形OABC是矩形，∴OC＝4，∴EF＝2；②如圖1，當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，OE＝EF，EC＝4﹣OE，在Rt△BCE中，BE2＝EC2+BC2，即BE2＝（4﹣BE）2+22，解得BE＝，∴EF＝；綜上所述：EF的長(zhǎng)為2或；（3）解：在點(diǎn)E，使得以D，E，F(xiàn)，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖2，當(dāng)四邊形DEFB為平行四邊形時(shí)，DB∥EF，且BD＝EF，∵OE＝EF，BD＝DO，∴OE＝OD，∵D是OB的中點(diǎn)，B（4，2），∴D（2，1），∴OD＝，∴E（，0）或（﹣，0）；如圖3，當(dāng)四邊形DEBF為平行四邊形時(shí)，DF＝BE，∵OD＝DF，∴OD＝BE，∴BE＝，在Rt△BEC中，EC＝1，∴E（3，0）；如圖4，當(dāng)四邊形DEBF為平行四邊形時(shí)，DF＝BE，∵OD＝BD＝DF，∴BE＝OD＝，在Rt△BCE中，CE＝1，∴E（5，0）；綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）或（3，0）或（5，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握?qǐng)D形折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．3．（2022春?南潯區(qū)期末）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOD的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，1），作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連結(jié)OB，AB，BD．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，將點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)α度（0＜α＜90°）得到點(diǎn)P，點(diǎn)G是平面內(nèi)一點(diǎn)，以P、B、D、G為頂點(diǎn)形成的四邊形為平行四邊形．①當(dāng)該平行四邊形為菱形且BD是其一邊時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；②當(dāng)△BOD內(nèi)部（包含邊界）存在滿足條件的點(diǎn)G時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)求得D點(diǎn)坐標(biāo)，可得出OD＝OB＝BD＝2，從而得出∠BOD＝60°；（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b），①根據(jù)PB＝BD及OP＝2列出方程組，從而解得a，b，進(jìn)而求得點(diǎn)G坐標(biāo)；②分為BD為對(duì)角線和BD為邊兩種情形．當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，求得點(diǎn)P關(guān)于（）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線段OB上，從而求得a的范圍；當(dāng)BD為邊時(shí)，求得G在線段OD的臨界情況，從而求得a的范圍．【解答】解：（1）∵D（，1），點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴OB＝OD＝＝2，B（，﹣1），∴BD＝1﹣（﹣1）＝2，∴AD＝OB＝BD，∴∠BOD＝60°；（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b），由①PB＝BD＝2得，（a﹣）2+（b+1）2＝22①，由PO＝OA＝2得，a2+b2＝8②，由①②得，或（舍去），∴b+2＝，∴G（）；②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G（2﹣a，﹣b），∵B（，﹣1），D（，1），∴直線OB的解析式為：y＝﹣x，直線OD的解析式為：y＝，當(dāng)x＝2，y＝﹣b代入y＝﹣x得，﹣b＝﹣（2﹣a），即：b＝，又：a2+b2＝8，∴a2﹣﹣3＝0，∴a1＝（舍去），a2＝，∴≤a＜2，當(dāng)BD為邊時(shí)，當(dāng)x＝a時(shí)，y＝，∴b＝+2，又a2+b2＝8，∴a2+﹣3＝0，∴a3＝，a4＝（舍去），∴，綜上所述：≤a＜2或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類(lèi)及根據(jù)條件列出方程組．4．（2022春?諸暨市期末）在矩形ABCD中，AB＝6，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EP，作點(diǎn)A關(guān)于直線EP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'．（1）若點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，求EP的長(zhǎng)度．（2）若△AEP是以EP為腰的等腰三角形，求EP的長(zhǎng)度．（3）直線A'E交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)QE，若△AEQ是直角三角形，求EP的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得EP的長(zhǎng)；（2）分兩種情況：AE＝EP和AP＝EP，分別畫(huà)圖根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論；（3）分兩種情況：①當(dāng)∠AEQ＝90°時(shí)，②當(dāng)∠AQE＝90°時(shí)，分別根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可解答．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴EP是△ADC的中位線，∴EP＝CD＝×6＝3；（2）①當(dāng)EA＝EP時(shí)，如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝6，∴BC＝AD＝6，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝EP＝3；②當(dāng)EP＝PA時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AD于G，∴AG＝EG＝AE＝，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，Rt△AGP中，PG＝，∴PE＝AP＝2PG＝3；綜上，EP的長(zhǎng)是3或3；（3）分兩種情況：①當(dāng)∠AEQ＝90°時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AE于H，由對(duì)稱(chēng)得：∠AEP＝∠A'EP＝45°，∴△EPH是等腰直角三角形，設(shè)EH＝x，則PH＝x，EP＝x，AH＝PH＝x，∵AE＝3，∴x+x＝3，∴x＝，∴EP＝；②當(dāng)∠AQE＝90°時(shí)，如圖5，∵∠EAQ＝30°，∴∠AEQ＝60°，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線EP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'．∴∠AEP＝∠PEQ＝30°，∵AE＝3，∴EQ＝AE＝，Rt△PEQ中，PQ＝，∴PE＝2PQ＝3；當(dāng)∠AQE＝90°時(shí)，如圖6，連接A'P，由對(duì)稱(chēng)得：∠A'＝∠EAP＝30°，∠APE＝∠A'PE，∵∠A'QP＝90°，∴∠APA'＝60°，∴∠APE＝30°＝∠EAP，∴EP＝AE＝3；綜上，EP的長(zhǎng)是或3或3．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想，并構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．5．（2022春?金東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函數(shù)圖象剛好過(guò)點(diǎn)B．（1）分別求出過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)和過(guò)A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式．（2）動(dòng)點(diǎn)P在射線CA（不包括C點(diǎn)）上，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D．是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意分別求出A點(diǎn)，B點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出P點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形則點(diǎn)Q在直線BA上，且PD＝DB＝BQ，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解即可．【解答】解：（1）解：（1）由題意知，A（5，0），B（5，3），C（0，3），設(shè)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y＝，代入B點(diǎn)坐標(biāo)得，3＝，解得k＝15，∴過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y＝，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，代入A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)得，，解得，∴過(guò)A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x+3；（2）存在，設(shè)P（m，﹣m+3），則D（m，），①若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形則點(diǎn)Q在直線BA上，且PD＝DB＝BQ，∴﹣（﹣m+3）＝，整理得，解得m＝或，當(dāng)m＝時(shí)，PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，∴此時(shí)Q（5，3﹣），即Q（5，﹣）；當(dāng)m＝時(shí)，PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，∴Q此時(shí)（5，3﹣），即Q（5，﹣）；②若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形則點(diǎn)Q在直線BC上，且PD與BQ互相垂直平分，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，且＝3，解得m＝，∵m＞0，∴m＝，∴Q（5﹣10，3），綜上所述，若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，﹣）或（5，﹣）或（5﹣10，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?安吉縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，并與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在第一象限相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，求反比例函數(shù)y＝（k≠0）的解析式；（2）如圖2，若矩形FEHG的頂點(diǎn)E在直線AB上，頂點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)的反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上，頂點(diǎn)H，G在x軸上，且EF＝4．①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M是反比例函數(shù)的圖象第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)F的左側(cè)，連結(jié)MG，并在MG左側(cè)作正方形GMNP．當(dāng)頂點(diǎn)N或頂點(diǎn)P恰好落在直線AB上，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【分析】（1）首先求出點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，可得C（2，4），從而得出k的值；（2）①設(shè)E（m，m+2），則F（m+4，m+2），將F（m+4，m+2）代入反比例函數(shù)y＝得，解方程可得m的值，從而得出答案；②分當(dāng)點(diǎn)N落在直線AB上或點(diǎn)P落在直線AB上，分別構(gòu)造k型全等表示點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴A（﹣2，0），B（0，2），∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，∴C（2，4），∴k＝2×4＝8，∴y＝；（2）①設(shè)E（m，m+2），∵EF＝4，∴F（m+4，m+2），將F（m+4，m+2）代入反比例函數(shù)y＝得，（m+4）（m+2）＝8，∴m1＝0，m2＝﹣6（舍去），∴F（4，2）；②由題意得：F（4，2），∴G（4，0），當(dāng)點(diǎn)N落在直線AB上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥GF，交GF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥DM，交DM延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；∵四邊形GMNP是正方形，則MG＝MN，∠NMG＝90°，∵∠E＝∠D＝90°，∴∠EMN+∠GMD＝∠GMD+∠DGM＝90°，∴∠EMN＝∠DGM，∴△EMN≌△DGM（AAS），∴EN＝DM，EM＝DG；∵點(diǎn)M在y＝的圖象上，點(diǎn)N在直線y＝x+2上，且點(diǎn)M在點(diǎn)F的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)M為（m，）（0＜m＜4），N（n，n+2），∵G（4，0），∴EN＝＝，∴，∴m＝，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P落在直線AB上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥GF，交GF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥FG，交FG延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；與①同理，可證△DMG≌△EGP，∴EG＝DM，EP＝DG，設(shè)M（m，）（0＜m＜4），P（p，p+2），∵G（4，0），∴EG＝﹣（p+2），DM＝4﹣m，EP＝4﹣p，DG＝，∴，解得m＝5，∵0＜m＜4，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5﹣，綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或5﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法取函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．7．（2022春?浙江期末）如圖1，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內(nèi)的圖象上，OA＝4，OC＝3，動(dòng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，且滿足S△PCO＝S矩形OABC．（1）若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連接PO、PC，求PO+PC的最小值；（3）若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)你直接寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）首先根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)，確定反比例函數(shù)的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），根據(jù)S△PCO＝S矩形OABC，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)（3，0），作直線l⊥x軸．由（1）知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，推出點(diǎn)P在直線l上，作點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，則OO′＝6，連接CO′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PO+PC的值最小；（3）分兩種情形：當(dāng)四邊形CBQP是菱形時(shí)；當(dāng)四邊形CBPQ是菱形時(shí)．分別求解即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的第一象限內(nèi)的圖象上∴k＝12，∴y＝，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），∵S△PCO＝S矩形OABC．∴?OC?m＝OA?OC，∴m＝3，當(dāng)點(diǎn)，P在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上時(shí)，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）；（2）過(guò)點(diǎn)（3，0），作直線l⊥x軸．由（1）知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，∴點(diǎn)P在直線l上，作點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，則OO′＝6，連接CO′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PO+PC的值最小，則PO+PC的最小值＝PO′+PC＝O′C＝．（3）分兩種情況：①如圖2中，當(dāng)四邊形CBQP是菱形時(shí)，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3﹣），P2（3，3+），∴Q1（7，3﹣），Q2（7，3+）；．②如圖3中，當(dāng)四邊形CBPQ是菱形時(shí)，P3（3，3﹣），P4（3，3+），∴Q3（﹣1，3﹣），Q4（﹣1，3+）．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（7，3﹣），Q2（7，3+），Q3（﹣1，3﹣），Q4（﹣1，3+）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比