專題411直線與角章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專題4.11直線與角章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】 1【題型2利用線段的條數(shù)解決實(shí)際問題】 8【題型3直線、射線、線段的規(guī)律探究】 11【題型4線段的和差的實(shí)際應(yīng)用】 15【題型5三角板中角度探究】 18【題型6探究角度之間的關(guān)系】 23【題型7角度中的規(guī)律探究】 31【題型8動(dòng)角旋轉(zhuǎn)問題】 35【題型1線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例1】（2023下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知OA+OB=20cm，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)以1cm/s的速度沿OA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，求AC(2)如圖1，若在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持OD=3AC，求(3)如圖2，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)M，使OM=OA，點(diǎn)P是直線OB上一點(diǎn)，且MP-【答案】(1)AC(2)OA(3)OPMB=1【分析】（1）先求出OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，根據(jù)OA=20-（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則OC=t，BD=3t，求出OD=OB-3t，AC（3）當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，根據(jù)OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根據(jù)求出OP=MP-BP=【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2sOC=1×2=2BD=3×2=6∵OA+∴OA=20-∴AC=∵OD=∴AC+

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則OC=t，∴OD=OB-∵OD=3∴OB-∴OB∵OA+∴OA+3∴OA=5（3）解：∵OA=5∴MO=5cm，BO=15∵M(jìn)P-∴點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊，當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，∴OP=∵OP=∴5+OP∴OP=10∴OPMB

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵M(jìn)P-BP=∴OP=∴OPMB綜上，OPMB=1或【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．【變式11】（2023上·山西太原·七年級(jí)校考期末）如圖，直線上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，BC=2CD，AD=8

(1)線段AB=______(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A點(diǎn)，D點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AC以3cm/秒的速度，向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)Q沿線段DA以1cm/秒的速度，向左運(yùn)動(dòng)；P點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）①求P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；②求P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．【答案】(1)20(2)8、20cm【分析】（1）根據(jù)BC=2CD，AD=8CD，CD=4（2）①根據(jù)P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，P，Q兩點(diǎn)所走的路程之和是DA的長(zhǎng)列方程即可求解；②根據(jù)P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，P點(diǎn)所走的路程與AC的差和Q所走的路程與CD的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）∵∴∴故線段AB的長(zhǎng)為20cm（2）①P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)根據(jù)題意可得：3解得：t=8故P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是8秒；②由（1）得AC當(dāng)P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)：3解得：t=12∴PC=3×12-AC∴AP=28-8=20故P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離是20cm【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．【變式12】（2023上·浙江衢州·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點(diǎn)B表示的數(shù)為7，AB=12.(1)直接寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù).(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒32個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)①經(jīng)過多少秒，點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)？②在P、Q兩點(diǎn)相遇之前，點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OQ上，且QN=23問：經(jīng)過多少秒，在P、M、N三個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)為以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)(把一條線段分成1:2的兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的三等分點(diǎn).)？【答案】(1)5;(2)①349秒;②7433秒或10339秒或349秒或13【分析】（1）根據(jù)AB=12，點(diǎn)B表示的數(shù)是7，即可確定OA的長(zhǎng)度，得到點(diǎn)A表示的數(shù)；（2）①根據(jù)題意得到OP=PQ，列式計(jì)算即可；②先求得MN、MP的長(zhǎng)度，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，或當(dāng)點(diǎn)N是線段MP的三等分點(diǎn)時(shí)，分別求出t的值.【詳解】(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是5；(2)①由題意得：OP=3t5，OQ=7+3∵點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)，∴OP=12∴3tt=經(jīng)過349秒，點(diǎn)P是線段OQ②由①知OP=3∵點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)，∴OM=MP=12OP=3∵QN=23∴QN=23(7+3∴MN=OQOMQN=196分兩種情況：i：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，得MP=13MN∴32t-得t=74當(dāng)P在O左側(cè)時(shí)，MP2×得t=1ii：如圖2，當(dāng)點(diǎn)N是線段MP的三等分點(diǎn)時(shí)，得MN=13∴296-t得t=349綜上，經(jīng)過7433秒或10339秒或349秒或134h或112秒時(shí)，在P、【點(diǎn)睛】此題是一道有理數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題,根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,確定線段間的數(shù)量關(guān)系,從而求得t的值,注意②中應(yīng)分情況求值.【變式13】（2023上·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，圖中的三條線段AB，AC和BC．若其中一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．(1)填空：線段的中點(diǎn)________這條線段的巧點(diǎn)；（填“是”或“不是”或“不確定是”）(2)【問題解決】如圖②，點(diǎn)A和B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-20和40，點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，求點(diǎn)C(3)【應(yīng)用拓展】在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，A，P，Q三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)？并求出此時(shí)巧點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．（直接寫出答案）．【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=12或607或454，“巧點(diǎn)”P表示的數(shù)為：-5或-8或-207；“巧點(diǎn)”Q【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷便可；（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程便可；（3）先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解便可．【詳解】（1）解：因原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，所以線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，故答案為：是；（2）解：設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：①當(dāng)AB=2AC時(shí)，有解得，x=10②當(dāng)BC=2AC時(shí)，有解得，x=0③當(dāng)AC=2BC時(shí)，有解得，x=20綜上，點(diǎn)C表示的數(shù)為10或0或20；（3）解：由題意得，AP=2t，AQ=60-4i)．若0?t?10時(shí)，點(diǎn)P為AQ①當(dāng)AQ=2AP時(shí)，解得，t=∴AP∴點(diǎn)P表示的數(shù)為-②當(dāng)PQ=2AP時(shí)，解得，t=6∴AP∴點(diǎn)P表示的數(shù)為-③當(dāng)AP=2PQ時(shí)，解得，t=∴AP∴點(diǎn)P表示的數(shù)為-綜上，“巧點(diǎn)”P表示的數(shù)為：-5或-8或ii)．若10<t?15時(shí)，點(diǎn)Q為AP的①當(dāng)AP=2AQ時(shí)，解得，t=12∴AQ∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為-20+12=-8②當(dāng)PQ=2AQ時(shí)，解得，t=∴AQ∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為-20+③當(dāng)AQ=2PQ時(shí)，解得，t=∴AQ∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為-20+15=-5綜上，“巧點(diǎn)”Q表示的數(shù)為：-8或-807故，“巧點(diǎn)”P表示的數(shù)為：-5或-8或-207；“巧點(diǎn)”Q表示的數(shù)為：-8【點(diǎn)睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程．是現(xiàn)在的考試新動(dòng)向，主要訓(xùn)練學(xué)生自學(xué)能力，運(yùn)用新知識(shí)的能力．【題型2利用線段的條數(shù)解決實(shí)際問題】【例2】（2023上·河南許昌·七年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運(yùn)行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個(gè)站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個(gè)站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】20【分析】先求得單程的車票數(shù)，在求出往返的車票數(shù)即可．【詳解】解：5個(gè)點(diǎn)中線段的總條數(shù)是4×5÷2=10（種），∵任何兩站之間，往返兩種車票，∴應(yīng)印制10×2=20（種），故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有n個(gè)點(diǎn)，則線段的數(shù)量有nn-1【變式21】（2023上·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B，C，D在線段AE上．（1）圖中共有幾條線段？說說你分析這個(gè)問題的具體思路．（2）你能用上面的思路來解決“8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每?jī)晌煌瑢W(xué)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽），那么一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽”這個(gè)問題嗎？【答案】（1）10，思路見解析；（2）28【分析】(1)從左向右依次固定一個(gè)端點(diǎn)A，B，C，D找出線段，最后求和即可；(2)設(shè)線段上有m個(gè)點(diǎn)，該線段上共有線段x條，根據(jù)數(shù)線段的特點(diǎn)列出式子化簡(jiǎn)即可，把8位同學(xué)看作直線上的8個(gè)點(diǎn)即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)共有10條線段，∵以點(diǎn)A為左端點(diǎn)向右的線段有：線段AB、AC、AD、AE，以點(diǎn)B為左端點(diǎn)向右的線段有線段BC、BD、BE，以點(diǎn)C為左端點(diǎn)向右的線段有線段CD、CE，以點(diǎn)D為左端點(diǎn)的線段有線段DE，∴共有10條線段；(2)設(shè)線段上有m個(gè)點(diǎn)，該線段上共有線段x條，則x=∴倒序排列有x=1+2+3+?+∴兩式相加得2x=m∴x把8位同學(xué)看作直線上的8個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌煌瑢W(xué)之間的一場(chǎng)比賽看作為一條線段，直線上8個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的線段條數(shù)就等于比賽的場(chǎng)數(shù)，因此一共要進(jìn)行8×8【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的計(jì)數(shù)問題，主要是數(shù)線段的技巧和方法，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．【變式22】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級(jí)校考期末）3個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,總的比賽場(chǎng)次是多少?4個(gè)球隊(duì)呢?5個(gè)球隊(duì)呢?【答案】見解析【詳解】試題分析：用直線上的點(diǎn)代表球隊(duì)，進(jìn)行單循環(huán)比賽可用線段來表示，3個(gè)籃球隊(duì)比賽的總場(chǎng)次可以看作直線上三個(gè)點(diǎn)所得線段的條數(shù)，4個(gè)籃球隊(duì)比賽的總場(chǎng)次可以看作直線上4個(gè)點(diǎn)所得線段的條數(shù)，5個(gè)籃球隊(duì)比賽的總場(chǎng)次可以看作直線上5個(gè)點(diǎn)所得線段的條數(shù)，畫出圖形，即可得結(jié)論.試題解析：用直線上的點(diǎn)代表球隊(duì),進(jìn)行單循環(huán)比賽可用線段來表示.3個(gè)球隊(duì)共比賽用線段AB,BC,AC表示,共有3場(chǎng);4個(gè)球隊(duì)比賽用線段AB,AC,AD,BC,BD,CD表示,共有6場(chǎng);5個(gè)球隊(duì)比賽用線段AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE表示,共有10場(chǎng).【變式23】（2023上·江西吉安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察圖形，并回答下列問題：

(1)圖中共有幾條線段？說明你分析這個(gè)問題的具體思路；(2)請(qǐng)你用上面的思路來解決“十五個(gè)同學(xué)聚會(huì)每個(gè)人都與其他人握一次手，共握了多少次”這個(gè)問題；(3)十五個(gè)同學(xué)聚會(huì)，每個(gè)人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？【答案】(1)10條，見解析；(2)共握了105次；(3)共送了210張．【分析】（1）根據(jù)線段的概念，分別得到以A、B、C、D為端點(diǎn)，且不重復(fù)的線段，相加即可得到答案；（2）將人演化成點(diǎn)，根據(jù)（1）結(jié)論，即可得到答案；（3）十五個(gè)同學(xué)聚會(huì)，每個(gè)人都送給其他人一張名片，即每個(gè)人都送了14次，據(jù)此即可得到答案．【詳解】（1）解：圖中共有10條線段，分析思路如下：以A為端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD、AE，共4條；以B為端點(diǎn)，且與前面不重復(fù)的線段有：BC、BD、BE，共3條；以C為端點(diǎn)，且與前面不重復(fù)的線段有：CD、CE，共2條；以D為端點(diǎn)，且與前面不重復(fù)的線段有：DE，共1條；答：圖中共有4+3+2+1=10條線段；（2）解：將人演化成點(diǎn)，根據(jù)（1）結(jié)論可知，握手的次數(shù)為：14+13+12+?+3+2+1=105，答：十五個(gè)同學(xué)聚會(huì)每個(gè)人都與其他人握一次手，共握了105次；（3）解：十五個(gè)同學(xué)聚會(huì)，每個(gè)人都送給其他人一張名片，即每個(gè)人都送了14次，15×14=210，答：十五個(gè)同學(xué)聚會(huì)，每個(gè)人都送給其他人一張名片呢，共送了210張．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的計(jì)數(shù)，線段計(jì)數(shù)時(shí)注意分類討論，做到不遺漏，不重復(fù)，理解（3）互送的區(qū)別．【題型3直線、射線、線段的規(guī)律探究】【例3】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2,N2；第三次操作：分別取線段AMA．20-1029 B．20+1029【答案】A【分析】根據(jù)MN=20，M1、N1分別為AM、AN的中點(diǎn)，求出M1N1【詳解】解：∵M(jìn)N=20，M1、∴M1∵M(jìn)2、N∴M2根據(jù)規(guī)律得到Mn∴M1N【點(diǎn)睛】本題是對(duì)線段規(guī)律性問題的考查，準(zhǔn)確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，相對(duì)較難.【變式31】（2023上·重慶江津·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖①中有1條線段，圖②中有3條不同線段，圖③中有6條不同線段，按此規(guī)律下去，圖⑦中有（

）條不同的線段．A．21 B．22 C．24 D．28【答案】D【分析】有3個(gè)圖可知，圖1有2個(gè)點(diǎn)，圖2比圖1增加一個(gè)點(diǎn)，增加了2條線段；圖3比圖2增加一個(gè)點(diǎn)，增加3條線段，得規(guī)律為：每增加一個(gè)點(diǎn)，就增加前一個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)條線段，故圖7有1+2+3+4+5+6+7=28條線段．【詳解】解：圖1有2個(gè)點(diǎn)，1條線段；圖2有2+1=3個(gè)點(diǎn)，1+2=3條線段；圖3有3+1=4個(gè)點(diǎn)，1+2+3=6條線段；……圖7有7+1=8個(gè)點(diǎn)，1+2+3+4+5+6+7=28條線段，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是找到每增加一個(gè)點(diǎn)，就增加前一個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)條線段，這一規(guī)律．【變式32】（2023·河北唐山·校聯(lián)考一模）如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時(shí)針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7.…(1)“17”在射線_____上.(2)請(qǐng)寫出OA，OB，OD三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律.(3)“2019”在哪條射線上？【答案】(1)OE；(2)見解析；(3)“2019”在射線OC上.【分析】（1）根據(jù)數(shù)字排列規(guī)律，依次數(shù)下去就可以得到）“17”在射線OE上；（2）因?yàn)檎麛?shù)按照6個(gè)數(shù)字一循環(huán)，依次排列，因此，出現(xiàn)在每一條射線上的數(shù)字都可以看做一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+（n1）×d即可寫出．（3）因?yàn)檎麛?shù)按照6個(gè)數(shù)字一循環(huán)，依次排列，所以將2019除以6，如果能被整除，則落在射線OF上，如果有余數(shù)，則依次落在OA至OE上．【詳解】解：(1)根據(jù)已知總結(jié)排列如下：射線OA：171319…射線OB：281420…射線OC：391521…射線OD：4101622…射線OE：5111723…射線OF：6121824…故“17”在射線OE上．(2)根據(jù)已知總結(jié)排列如下：射線OA：171319…數(shù)字排列規(guī)律：6n5（n為正整數(shù)）射線OB：281420…數(shù)字排列規(guī)律：6n4（n為正整數(shù)）射線OC：391521…數(shù)字排列規(guī)律：6n3（n為正整數(shù)）射線OD：4101622…數(shù)字排列規(guī)律：6n2（n為正整數(shù)）(3)射線OE：5111723…數(shù)字排列規(guī)律：6n1（n為正整數(shù)）射線OF：6121824…數(shù)字排列規(guī)律：6n（n為正整數(shù)）在六條射線上的數(shù)字規(guī)律中，只有6n解為n∴“2019”在射線OC上.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的排列規(guī)律，考查了學(xué)生要從數(shù)字的排列中找到規(guī)律，然后寫出規(guī)律即可求出相應(yīng)值．此外掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n1）×d對(duì)解決此類問題有很大幫助．【變式33】觀察圖形找出規(guī)律，并解答問題．(1)5條直線相交，最多有_____個(gè)交點(diǎn)，平面最多被分成_____塊；(2)n條直線相交，最多有__________個(gè)交點(diǎn)，平面最多被分成____________塊．【答案】(1)10,16;(2)nn-12【分析】（1）根據(jù)每?jī)蓷l直線就有一個(gè)交點(diǎn)，可以列舉出所有情況后再求解；（2）根據(jù)列舉的數(shù)值得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】如圖，（1）任意畫2條直線，它們最多有1個(gè)交點(diǎn)；（2）任意畫3條直線，它們最多有3個(gè)交點(diǎn)；（3）任意畫4條直線（只畫交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況），最多有6個(gè)交點(diǎn)；（4）5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)；n條直線最多有12n（n1一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，可以發(fā)現(xiàn)，兩條直線時(shí)多了2部分，三條直線比原來多了3部分，四條直線時(shí)比原來多了4部分，…，n條時(shí)比原來多了n部分．因?yàn)閚=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，…n=n，an=an1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+nn當(dāng)n=5時(shí)，1+nn+1【點(diǎn)睛】本題考查了直線射線和線段，要知道從一般到具體的探究方法，并找到規(guī)律．【題型4線段的和差的實(shí)際應(yīng)用】【例4】（2023上·河南周口·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1是一種壁掛式折疊凳完全開啟時(shí)，與完全閉合時(shí)的狀態(tài)，圖2是完全開啟狀態(tài)的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，外框?qū)扐B與CD相等，具體數(shù)據(jù)如圖2所示，則外框?qū)挒椋?/p>

）A．3cm B．4cm C．5cm【答案】A【分析】根據(jù)圖2給出的信息進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知，折疊凳的內(nèi)層長(zhǎng)為37cm，即BC又∵AB=∴AB=∴外框?qū)挒?cm故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和與差的應(yīng)用，弄清圖中線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023上·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某攝制組從A市到B市有一天的路程，由于堵車中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)（D），只行駛了原計(jì)劃的三分之一（原計(jì)劃行駛到C地），過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息（休息處E），司機(jī)說：再走從C地到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了，問：A，B兩市相距多少千米．【答案】A，B兩市相距600千米．【分析】根據(jù)題意可知DE的距離且可以得到AD=12DC，EB=【詳解】如圖，由題意可知，DE=400千米，AD=12∴AD+∴AB=答：A，B兩市相距600千米．【點(diǎn)睛】本題考查了求解線段長(zhǎng)度在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠找出線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式42】（2023上·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，一款暗插銷由外殼AB，開關(guān)CD，鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2，開關(guān)CD繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，由連接點(diǎn)D帶動(dòng)鎖芯DE移動(dòng).圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時(shí)連接點(diǎn)D在線段AB上，如D1位置.開關(guān)CD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到C2D2，鎖芯彈回至D2E2位置（點(diǎn)B與點(diǎn)E2重合），此時(shí)插銷閉合如圖4.已知【答案】24【分析】結(jié)合圖形得出當(dāng)點(diǎn)D在O的右側(cè)時(shí)，即D1位置時(shí)，B與點(diǎn)E的距離為BE1，當(dāng)點(diǎn)D在O的左側(cè)時(shí)，即D2位置時(shí)，B與點(diǎn)E重合，即E2【詳解】解：由圖3得，當(dāng)點(diǎn)D在O的右側(cè)時(shí)，即D1位置時(shí)，B與點(diǎn)E的距離為B由圖4得，當(dāng)點(diǎn)D在O的左側(cè)時(shí)，即D2位置時(shí)，B與點(diǎn)E重合，即E∴BE∵AD∴AO-∴OC∴OC∵CD=∴CD=∴2O∴BE故答案為：24．【點(diǎn)睛】題目主要考查線段間的數(shù)量關(guān)系，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．【變式43】（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，線段OP表示一條拉直的細(xì)線，A、B兩點(diǎn)在線段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A點(diǎn)，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上；如圖2，再從圖2的B點(diǎn)及與B點(diǎn)重疊處一起剪開，使得細(xì)線分成三段，則此三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比是（）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)OB的長(zhǎng)度為2a,則BP的長(zhǎng)度為7a，OP的長(zhǎng)度為9a，從而根據(jù)比值可以得到圖一中各線段的長(zhǎng)，根據(jù)題意可以求出折疊后，再剪開各線段的長(zhǎng)度，從而可以求得三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比，本題得以解決．【詳解】解：設(shè)OB的長(zhǎng)度為2a，則BP的長(zhǎng)度為7a，OP的長(zhǎng)度為9a，∵OA：AP＝1：2，∴OA＝3a，AP＝6a，又∵先固定A點(diǎn)，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上，如圖2，再從圖2的B點(diǎn)及與B點(diǎn)重迭處一起剪開，使得細(xì)線分成三段，∴這三段從小到大的長(zhǎng)度分別是：2a、2a、5a，∴此三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比為：2a：2a：5a＝2：2：5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查比較線段的長(zhǎng)短，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出各線段的長(zhǎng)度．【題型5三角板中角度探究】【例5】（2023上·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知∠AOB．在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個(gè)角，分別為∠AOC,∠BOC

(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“二倍角線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，若∠AOB=90°,∠BOC<∠AOC(3)如圖②，將一塊三角板AOB的直角頂點(diǎn)O放在直線MN上，且三角板AOB繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，若OC是∠AOB的二倍角線，OB是∠CON的二倍角線，請(qǐng)直接寫出【答案】(1)是(2)60°(3)15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°【分析】（1）根據(jù)“二倍角線”的定義，即可求解；（2）根據(jù)“二倍角線”的定義，可得∠AOC（3）分9種情況結(jié)合“二倍角線”的定義，即可求解．【詳解】（1）解：一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“二倍角線”；故答案為：是（2）解：依題意得：∠AOC∵∠AOC∴∠AOC（3）解：當(dāng)∠AOC∠BON當(dāng)∠AOC∠BON當(dāng)∠AOC∠BON當(dāng)∠AOC∠BON當(dāng)2∠AOC∠BON當(dāng)∠AOC∠BON當(dāng)∠AOC∠BON當(dāng)2∠AOC∠BON當(dāng)2∠AOC∠BON終上所述，∠BON的度數(shù)為15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023上·福建福州·七年級(jí)?？计谀⒁桓比前迦鐖D1放置于桌面，其中30°、45°角共頂點(diǎn)，CM平分∠BCE，CN平分∠BCD．當(dāng)三角板DEC從圖1中位置繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí)，A．變大 B．不變 C．變小 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)圖形以及角平分線的定義，在圖1和圖2的情況下，表示出∠MCN【詳解】如圖，如圖1，∵CM平分∠BCE，CN平分∠∴∠BCM=1∴∠MCN根據(jù)題意可知：∠DC∴∠MCN如圖2，∵CM平分∠BCE，CN平分∠∴∠BCM=1∴∠MCN根據(jù)題意可知：∠DCE∴∠MCN即可知∠MCN故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式52】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)克東縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，把三角板60°角的頂點(diǎn)放到O處，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，當(dāng)三角板的OD邊平分∠AOB時(shí)，三角板的另一邊OE也恰好平分

(1)求∠AOC(2)射線OB一定平分∠EOD嗎？若OB平分∠EOD，求∠COB【答案】(1)120°(2)射線OB不一定平分∠EOD，∠COB的度數(shù)為60°，∠【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠AOB=2∠BOD（2）根據(jù)∠EOB和∠BOD不一定相等，從而可得射線OB不一定平分∠EOD，然后利用角平分線的定義可得∠【詳解】（1）∵OD邊平分∠AOB，OE平分∠∴∠AOB=2∠BOD∵∠EOD∴∠=2∠=2=2∠=120°，∴∠AOC的度數(shù)為120°（2）射線OB不一定平分∠EOD∵OB平分∠EOD∴∠BOD由（1）可得：∠AOB=2∠BOD∴∠COB的度數(shù)為60°，∠AOB的度數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，熟練掌握雙角平分線模型是解題的關(guān)鍵．【變式53】（2023上·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，直線DE上有一點(diǎn)O，過點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC，將一直角三角板AOB(其中∠OAB=30°)的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為(1)當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，OB恰好平分∠COE，此時(shí)，∠AOC與∠AOD(2)若射線OC的位置固定不變，且∠COE①在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OB，OC，OD中的某一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意t的值，若