2023-2024學(xué)年北京東直門中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京東直門中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)考試時間：120分鐘總分：150分第一部分（選擇題，共40分）一、單選題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)分別為，，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.4.已知向量與向量的夾角為120°，，則（）A.3 B. C. D.15.已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6.已知直線，，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中，為非零常數(shù)），若經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%，經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：）A.48個月 B.52個月 C.64個月 D.120個月9.已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，若，則下列命題中正確的是（）A.有兩個零點 B.C. D.10.如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點（在的左邊），且．下列說法不正確的是（）A.當(dāng)運動時，二面角的最小值為B.當(dāng)運動時，三棱錐體積不變C.當(dāng)運動時，存在點使得D.當(dāng)運動時，二面角為定值第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.函數(shù)的定義域為__________．12.已知等比數(shù)列中，，，則______．13.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為______.14.已知數(shù)列的通項公式為，，且為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是__________．15.已知函數(shù)．①若，則函數(shù)的值域為________；②若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是________．三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.三棱臺中，若面，，，，M，N分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．17.在①a＋c＝13，②b＝7，③a＋b＋c＝20三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并完成試題(如果多選，以選①評分).已知△ABC的角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，ccosA－2bcosB＋acosC＝0.（1）求角B；（2）若，c>a，，求sinA.18.“綠水青山就是金山銀山”，某地區(qū)甲乙丙三個林場開展植樹工程，2011-2020年的植樹成活率（%）統(tǒng)計如下：（表中“/”表示該年末植樹）：2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5規(guī)定：若當(dāng)年植樹成活率大于，則認(rèn)定該年為優(yōu)質(zhì)工程．（1）從乙林場植樹的年份中任抽取兩年，求這兩年都是優(yōu)質(zhì)工程的概率；（2）從甲、乙、丙三個林場植樹的年份中各抽取一年，以X表示這3年中優(yōu)質(zhì)工程的個數(shù)，求X的分布列；（3）若乙丙兩個林場每年植樹的棵數(shù)不變，能否根據(jù)兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數(shù)的大小？19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.20.已知橢圓：的離心率為，長軸的右端點為．（1）求的方程；（2）直線與橢圓分別相交于兩點，且，點不在直線上.①試證明直線過一定點，并求出此定點；②從點作垂足為，點，寫出的最小值（結(jié)論不要求證明）．21.已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).（1）當(dāng)，時，寫出的所有可能值；（2）若數(shù)列中的項存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項；（3）若，是否存在正實數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

參考答案第一部分（選擇題，共40分）一、單選題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.【答案】D【分析】先通過解一元二次不等式化簡集合，再求其補集.【詳解】因為，且，所以.故選：D.2.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，再利用復(fù)數(shù)相乘，即可得到答案；【詳解】，，故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的乘法運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】B【分析】根據(jù)平移變換的性質(zhì)即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，得到，故，故選：B4.【答案】B【分析】根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】，故選：B5.【答案】D【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項即可.【詳解】對于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯誤；對于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因為，所以，故D正確.故選：D.6.【答案】A【詳解】若“”，則m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=?1，或m=?2故“”是“”的充分不必要條件，故選A7.【答案】C【分析】應(yīng)用點線距離公式及幾何法求圓的弦長公式列方程求半徑即可.【詳解】由圓心為原點，則圓心到直線距離，又，所以故選：C8.【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，然后再代入數(shù)值計算即可.【詳解】由題意可得，解得，所以，這種垃圾完全分解，即當(dāng)時，有，即，解得.故選：B9.【答案】B【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性可知上減函數(shù)，，，依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)在為減函數(shù)，上減函數(shù)，，由可得，對于A，由在上為減函數(shù)，且，，所以存在，使，所以在上有一個零點，同理在上有一個零點，又因為，所以有三個零點，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，故B正確；對于C，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D錯誤.故選：.10.【答案】C【分析】對A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷.對C：由反證法判斷；對D：平面即為平面，平面即為平面，從而得出二面角為定值.【詳解】對A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因為在上，且，，可設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因為，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，即取最小值，故A說法正確．對B：因為，點A到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故B說法正確．對C：若，則四點共面，與和是異面直線矛盾，故C說法錯誤．對D：連接，平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運動時，二面角的大小保持不變，故D說法正確．故選：C第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，解得.故函數(shù)的定義域為.故答案為：.12.【答案】768【分析】結(jié)合題干條件求出公比，進而可計算結(jié)果.【詳解】，所以，.故答案為：76813.【答案】【分析】由的部分圖象確定其解析式.【詳解】由圖象可得，，，即，∴，∵，∴，，即，，又，∴.∴函數(shù)的解析式為.故答案為：14.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，可得到相應(yīng)的不等式恒成立，即可求得答案.【詳解】∵數(shù)列的通項公式為,數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，恒成立即，恒成立，而隨n的增大而增大，即當(dāng)時，取得最小值2，則，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.15.【答案】①.

②.【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域；根據(jù)零點和對應(yīng)方程的解得關(guān)系可知，當(dāng)時方程有1個解，當(dāng)時方程有2個解，結(jié)合即可求解.【詳解】若，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即函數(shù)的值域為；若函數(shù)有三個零點，當(dāng)時，令，當(dāng)時，方程有2個解，則，即，由解得，綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）通過證明，得證平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個平面夾角的余弦值；（3）向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】連接，．由M，N分別是，的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，，且，由棱臺性質(zhì)，，于是，由可知，四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，于是平面．【小問2詳解】以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，，解得，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成夾角為，，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為．【小問3詳解】設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，解得，，所以距離，點到平面的距離為．17.【答案】（1）；（2）條件性選擇見解析，．【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合正弦和差公式即可求解；（2）選擇①根據(jù)解得，，結(jié)合正余弦定理即可求解；選擇②由余弦定理得，結(jié)合數(shù)量積即可求解；選擇③由余弦定理得，解法同②．【詳解】（1）∵，∴在中，由正弦定理得，，∴．∵，，是的內(nèi)角，∴，∴，所以．（2）選擇①．∵，∴，即，∴．∵，∴，．在中，由余弦定理得，．在中，由正弦定理得，．（2）選擇②．∵，∴，即，∴．在中，由余弦定理得，，∴．∵，∴．在中，由正弦定理得，．（2）選擇③．∵，∴，即，∴．在中，由余弦定理得，，∴．∵，∴．在中，由正弦定理得，．18.【答案】（1）（2）分布列見解析（3）不能，理由見解析【分析】（1）由古典概率的計算公式代入即可得出答案；（2）求出X的可能取值，分別計算出其概率，即可得出分布列；（3）分別求出兩個林場植樹成活率平均數(shù)即可判斷.【小問1詳解】乙林場植樹共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，從乙林場植樹的年份中任抽取兩年，這兩年都是優(yōu)質(zhì)工程為事件，所以.【小問2詳解】甲林場植樹共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，乙林場植樹共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，丙林場植樹共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，則X的可能取值為，，，，.則X的分布列為：【小問3詳解】不能根據(jù)兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數(shù)的大小.因為乙、丙兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率分別為，且.則設(shè)乙、丙林場植樹成活率平均數(shù)分別為，,所以乙、丙這兩個林場植樹成活率平均數(shù)分別為：，，且丙林場植樹成活率大于乙林場植樹成活率.所以不能根據(jù)兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數(shù)的大小.19.【答案】（1）（2）答案見詳解（3）1【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號，進而確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；（3）根據(jù)恒成立理解可得，分類討論，結(jié)合（2）運算求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，令．因為，則所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時，在上變化時，的變化情況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．【小問3詳解】當(dāng)時，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時，由（2）可知：①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：的取值范圍為，即的最大值為．20.【答案】（1）（2）①證明見解析，；②.【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，求得，解得求解；（2）①聯(lián)立方程組得出，根據(jù)，得到，結(jié)合，列出方程求得，即可求解；②根據(jù)，得到點落在以為直角的圓上，求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點與圓的最值，即可求解.【小問1詳解】解：橢圓：的離心率為，長軸的右端點為，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】①聯(lián)立方程組，整理得，可得，設(shè)，所以，因為，即，可得，所以，解得或，當(dāng)時，直線方程為，此時過，不符合題意（舍去）；當(dāng)時，直線方程為，此時過，符合題意，綜上可得，直線過定點.②由題意，從點作垂足為，點，如圖所示，點落在以為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，則，所以的最小值為.21.【答案】（1）（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)定義知，討論、及大小求所有可能值；（2）由，假設(shè)存在使，進而有，