2023-2024學(xué)年北京東直門(mén)中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京東直門(mén)中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘總分：150分第一部分（選擇題，共40分）一、單選題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.4.已知向量與向量的夾角為120°，，則（）A.3 B. C. D.15.已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6.已知直線，，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知某種垃圾的分解率為，與時(shí)間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中，為非零常數(shù)），若經(jīng)過(guò)12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%，經(jīng)過(guò)24個(gè)月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少需要經(jīng)過(guò)（）（參考數(shù)據(jù)：）A.48個(gè)月 B.52個(gè)月 C.64個(gè)月 D.120個(gè)月9.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，若，則下列命題中正確的是（）A.有兩個(gè)零點(diǎn) B.C. D.10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左邊），且．下列說(shuō)法不正確的是（）A.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的最小值為B.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積不變C.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使得D.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角為定值第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．12.已知等比數(shù)列中，，，則______．13.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_____.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，且為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15.已知函數(shù)．①若，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______；②若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.三棱臺(tái)中，若面，，，，M，N分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．17.在①a＋c＝13，②b＝7，③a＋b＋c＝20三個(gè)條件中選一個(gè)填在下面試題的橫線上，并完成試題(如果多選，以選①評(píng)分).已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ccosA－2bcosB＋acosC＝0.（1）求角B；（2）若，c>a，，求sinA.18.“綠水青山就是金山銀山”，某地區(qū)甲乙丙三個(gè)林場(chǎng)開(kāi)展植樹(shù)工程，2011-2020年的植樹(shù)成活率（%）統(tǒng)計(jì)如下：（表中“/”表示該年末植樹(shù)）：2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5規(guī)定：若當(dāng)年植樹(shù)成活率大于，則認(rèn)定該年為優(yōu)質(zhì)工程．（1）從乙林場(chǎng)植樹(shù)的年份中任抽取兩年，求這兩年都是優(yōu)質(zhì)工程的概率；（2）從甲、乙、丙三個(gè)林場(chǎng)植樹(shù)的年份中各抽取一年，以X表示這3年中優(yōu)質(zhì)工程的個(gè)數(shù)，求X的分布列；（3）若乙丙兩個(gè)林場(chǎng)每年植樹(shù)的棵數(shù)不變，能否根據(jù)兩個(gè)林場(chǎng)優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個(gè)林場(chǎng)植樹(shù)成活率平均數(shù)的大??？19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.20.已知橢圓：的離心率為，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）直線與橢圓分別相交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)不在直線上.①試證明直線過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；②從點(diǎn)作垂足為，點(diǎn)，寫(xiě)出的最小值（結(jié)論不要求證明）．21.已知無(wú)窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，寫(xiě)出的所有可能值；（2）若數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項(xiàng)；（3）若，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.

參考答案第一部分（選擇題，共40分）一、單選題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.【答案】D【分析】先通過(guò)解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再求其補(bǔ)集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D.2.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，再利用復(fù)數(shù)相乘，即可得到答案；【詳解】，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】B【分析】根據(jù)平移變換的性質(zhì)即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故，故選：B4.【答案】B【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】，故選：B5.【答案】D【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.6.【答案】A【詳解】若“”，則m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=?1，或m=?2故“”是“”的充分不必要條件，故選A7.【答案】C【分析】應(yīng)用點(diǎn)線距離公式及幾何法求圓的弦長(zhǎng)公式列方程求半徑即可.【詳解】由圓心為原點(diǎn)，則圓心到直線距離，又，所以故選：C8.【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，然后再代入數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，解得，所以，這種垃圾完全分解，即當(dāng)時(shí)，有，即，解得.故選：B9.【答案】B【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性可知上減函數(shù)，，，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)在為減函數(shù)，上減函數(shù)，，由可得，對(duì)于A，由在上為減函數(shù)，且，，所以存在，使，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，同理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以有三個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：.10.【答案】C【分析】對(duì)A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對(duì)B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷.對(duì)C：由反證法判斷；對(duì)D：平面即為平面，平面即為平面，從而得出二面角為定值.【詳解】對(duì)A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)樵谏?，且，，可設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最小值，故A說(shuō)法正確．對(duì)B：因?yàn)?，點(diǎn)A到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故B說(shuō)法正確．對(duì)C：若，則四點(diǎn)共面，與和是異面直線矛盾，故C說(shuō)法錯(cuò)誤．對(duì)D：連接，平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小保持不變，故D說(shuō)法正確．故選：C第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.【答案】768【分析】結(jié)合題干條件求出公比，進(jìn)而可計(jì)算結(jié)果.【詳解】，所以，.故答案為：76813.【答案】【分析】由的部分圖象確定其解析式.【詳解】由圖象可得，，，即，∴，∵，∴，，即，，又，∴.∴函數(shù)的解析式為.故答案為：14.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，可得到相應(yīng)的不等式恒成立，即可求得答案.【詳解】∵數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，恒成立即，恒成立，而隨n的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，取得最小值2，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.15.【答案】①.

②.【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域；根據(jù)零點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程的解得關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)方程有2個(gè)解，結(jié)合即可求解.【詳解】若，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?；若函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，則，即，由解得，綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）通過(guò)證明，得證平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值；（3）向量法求點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】連接，．由M，N分別是，的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，，于是，由可知，四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，于是平面．【小問(wèn)2詳解】以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，，解得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成夾角為，，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為．【小問(wèn)3詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，解得，，所以距離，點(diǎn)到平面的距離為．17.【答案】（1）；（2）條件性選擇見(jiàn)解析，．【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合正弦和差公式即可求解；（2）選擇①根據(jù)解得，，結(jié)合正余弦定理即可求解；選擇②由余弦定理得，結(jié)合數(shù)量積即可求解；選擇③由余弦定理得，解法同②．【詳解】（1）∵，∴在中，由正弦定理得，，∴．∵，，是的內(nèi)角，∴，∴，所以．（2）選擇①．∵，∴，即，∴．∵，∴，．在中，由余弦定理得，．在中，由正弦定理得，．（2）選擇②．∵，∴，即，∴．在中，由余弦定理得，，∴．∵，∴．在中，由正弦定理得，．（2）選擇③．∵，∴，即，∴．在中，由余弦定理得，，∴．∵，∴．在中，由正弦定理得，．18.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由古典概率的計(jì)算公式代入即可得出答案；（2）求出X的可能取值，分別計(jì)算出其概率，即可得出分布列；（3）分別求出兩個(gè)林場(chǎng)植樹(shù)成活率平均數(shù)即可判斷.【小問(wèn)1詳解】乙林場(chǎng)植樹(shù)共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，從乙林場(chǎng)植樹(shù)的年份中任抽取兩年，這兩年都是優(yōu)質(zhì)工程為事件，所以.【小問(wèn)2詳解】甲林場(chǎng)植樹(shù)共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，乙林場(chǎng)植樹(shù)共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，丙林場(chǎng)植樹(shù)共年，其中優(yōu)質(zhì)工程有年，則X的可能取值為，，，，.則X的分布列為：【小問(wèn)3詳解】不能根據(jù)兩個(gè)林場(chǎng)優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個(gè)林場(chǎng)植樹(shù)成活率平均數(shù)的大小.因?yàn)橐摇⒈麅蓚€(gè)林場(chǎng)優(yōu)質(zhì)工程概率分別為，且.則設(shè)乙、丙林場(chǎng)植樹(shù)成活率平均數(shù)分別為，,所以乙、丙這兩個(gè)林場(chǎng)植樹(shù)成活率平均數(shù)分別為：，，且丙林場(chǎng)植樹(shù)成活率大于乙林場(chǎng)植樹(shù)成活率.所以不能根據(jù)兩個(gè)林場(chǎng)優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個(gè)林場(chǎng)植樹(shù)成活率平均數(shù)的大小.19.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)詳解（3）1【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類(lèi)討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；（3）根據(jù)恒成立理解可得，分類(lèi)討論，結(jié)合（2）運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令．因?yàn)椋瑒t所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問(wèn)2詳解】．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，在上變化時(shí)，的變化情況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時(shí)，由（2）可知：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時(shí)，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：的取值范圍為，即的最大值為．20.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析，；②.【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，求得，解得求解；（2）①聯(lián)立方程組得出，根據(jù)，得到，結(jié)合，列出方程求得，即可求解；②根據(jù)，得到點(diǎn)落在以為直角的圓上，求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)與圓的最值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：橢圓：的離心率為，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】①聯(lián)立方程組，整理得，可得，設(shè)，所以，因?yàn)?，即，可得，所以，解得或，?dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)過(guò)，不符合題意（舍去）；當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)過(guò)，符合題意，綜上可得，直線過(guò)定點(diǎn).②由題意，從點(diǎn)作垂足為，點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)落在以為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，則，所以的最小值為.21.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)定義知，討論、及大小求所有可能值；（2）由，假設(shè)存在使，進(jìn)而有，