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文檔簡介

二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應用第5節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分

第2章一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當x

在取得增量時,變到邊長由其的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點可導,且在點可微的充要條件是在點處可導,且即定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導,且即“充分性”已知即在點可導,則說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故當微分的幾何意義當很小時,則有從而導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分,記作記例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P71表)又如,二、微分運算法則設u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)例1.求解:例2.設求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.注意注數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如三、微分在近似計算中的應用當很小時,使用原則:得近似等式:特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得的近似值.解:

設取則例4.求的近似值.解:例5.計算例6.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,內容小結1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可微可導2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應用近似

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