2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海門中學(xué)高三（上）第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海門中學(xué)高三（上）第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.命題“?x∈N，x2>0”的否定為(

)A.?x∈N，x2≤0 B.?x∈N，x2≤0

C.?x∈N，x22.已知集合A={x||x|<2,x∈Z}，B={x|y=ln(3x?x2)}A.{x|0<x<2} B.{x|?2<x<3} C.{1} D.{0,1,2}3.已知點P(3,?4)是角α終邊上一點，則cos2α=(

)A.725 B.?725 C.244.已知函數(shù)f(x)=(a+12)x,x≤112xA.a<0 B.a>?12 C.?15.已知函數(shù)f(x)部分圖象如圖所示，則其解析式可能為(

)A.f(x)=x2(ex?e?x)6.過點(3,1)作曲線y=ln(x?1)的切線，則這樣的切線共有(

)A.0條 B.1條 C.2條 D.3條7.銳角α、β滿足sinβ=cos(α+β)sinα，若tanα=12，則A.12 B.22 C.8.若函數(shù)f(x)=sin2ωx?23cos2ωx+3(ω>0)A.(13,43] B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知0<a<1?b<1，則(

)A.0<b<1 B.a>b C.a?b<1 D.ab<10.已知x1，x2，x3是函數(shù)f(x)=x3?A.a3>332 B.x11.若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,2)成中心對稱，且f(x+1)是偶函數(shù)，則(

)A.f(x)圖象關(guān)于x=0軸對稱 B.f(x+2)?2為奇函數(shù)

C.f(x+2)=f(x) D.i=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若函數(shù)f(x)=2sinx+acosx?2是奇函數(shù)，則f(π213.“1<x<y”是“xlnx<ylny”的______條件.(選填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”)14.班上共有45名學(xué)生，其中40人會打乒乓球，30人會騎自行車，25人會打羽毛球，則三個運動項目都會的同學(xué)至少有______人.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知α、β為銳角，sinα=210，tanβ=13．

(1)求tan2α的值；

(2)16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ex?e?x?2x+2.(e=2.71828…)

(1)判斷函數(shù)y=f(x)?2的奇偶性并證明，據(jù)此說明f(x)圖象的對稱性；

(2)若任意x∈(1,+∞)17.(本小題12分)

若函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)圖象的相鄰對稱軸距離為π2，且f(π6)=?12．

(1)求f(x)的解析式；

(2)將f(x)的圖象向右平移5π12個單位，再將所得圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(18.(本小題12分)

綠色、環(huán)保是新時代健康生活的理念，某一運動場館投放空氣凈化劑凈化場館，已知每瓶空氣凈化劑含量為a，投放后該空氣凈化劑以每小時10%的速度減少，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)場館內(nèi)空氣凈化劑含量不低于3a時有凈化效果，且至少需要持續(xù)凈化12小時才能達到凈化目的.現(xiàn)有9瓶該空氣凈化劑．

(1)如果一次性投放該空氣凈化劑9瓶，能否達到凈化的目的？如果能，說明理由；如果不能，最多可凈化多長時間？(精確到0.1小時)

(2)如果9瓶空氣凈化劑分兩次投放，在第一次投放后間隔6小時進行第二次投放，為達到凈化目的，試給出兩次投放的所有可能方案？(每次投放的瓶數(shù)為整數(shù)，投放用時忽略不計)

(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.477，0.96≈0.53)．19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=2lnx?ax2+1，a≥0．

(1)若f(x)的最大值為0，求a的值；

(2)若存在k∈(m,n)，使得f(n)?f(m)=f′(k)(n?m)，則稱k為f(x)在區(qū)間(m,n)上的“巧點”．

(i)當(dāng)a=0時，若1為f(x)在區(qū)間(m,n)上的“巧點”，證明：m+n>2；

(ii)求證：任意a>0，f(x)在區(qū)間(m,n)上存在唯一“巧點”k參考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.A

6.C

7.B

8.A

9.ACD

10.ABD

11.BD

12.?1

13.充分不必要

14.5

15.解：(1)因為α∈(0,π2)，sinα=210，

所以cosα=1?sin2α=7210，

所以tanα=sinαcosα=17，

所以tan2α=2tanα1?tan2α=27×4948=724；

(2)因為tanβ=1316.解：(1)函數(shù)y=f(x)?2是奇函數(shù)，理由如下：

設(shè)g(x)=f(x)?2=ex?e?x?2x，

函數(shù)g(x)的定義域為R，因為?x∈R，都有?x∈R，

且g(?x)=e?x?ex+2x=?g(x)，

所以g(x)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于(0,0)中心對稱；

因為f(x)=g(x)+2，所以f(x)圖象是由g(x)向上平移2個單位得到，

所以f(x)圖像關(guān)于(0,2)中心對稱；

(2)因為f(x)=g(x)+2，

所以f(mlnx)+f(x)>4可以化為g(mlnx)+g(x)>0，

所以g(mlnx)>?g(x)=g(?x)，

因為g′(x)=ex+e?x?2，

因為ex>0，所以ex+e?x≥2，

所以g′(x)≥0且不恒為0，

即g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以mlnx>?x在(1,+∞)上恒成立，

所以m>?xlnx在(1,+∞)上恒成立，

令?(x)=?x17.解：(1)根據(jù)題意可得πω=π2，∴ω=2，

又f(π6)=?12，∴cos(π3+φ)=?12，又|φ|<π2，

∴φ=π3，

∴f(x)=cos(2x+π3)；

(2)將f(x)的圖象向右平移5π12個單位可得y=cos[2(x?5π12)+π3]=cos(2x?π2)=sin2x，

將y=sin2x圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)可得g(x)=sinx18.解：(1)假設(shè)一次性投放9瓶，可持續(xù)凈化x小時，則9a?(1?10%)x≥3a(x≥0)，所以0.9x≥13，

兩邊取常用對數(shù)得，x?lg0.9≥lg13，所以x≤lg31?2lg3≈10.4，

因為10.4<12，所以不能達到凈化目的，最多可凈化10.4小時．

(2)設(shè)第一次投放n瓶，第二次投放9?n瓶，n∈N?且n≤9，

依據(jù)題意得，na(1?10%)6≥3a,①na(1?10%)12+(9?n)a(1?10%)6≥3a②，

由①得，n≥30.96≈5.7，

由19.解：(1)因為f′(x)=2x?2ax=2(1?ax2)x，

當(dāng)a=0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不符合；

當(dāng)a>0時，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞增，在(1a,+∞)上單調(diào)遞減，

所以f(x)最大值為f(1a)=2ln1a=0，

所以1a=1，即a=1，

綜上，a=1；

(2)因為f′(k)=2k?2ak=f(n)?f(m)n?m，k∈(m,n)，

(i)證明：當(dāng)a=0時，f(x)=2lnx+1，f′(x)=2x，

因為k=1，m<1<n，

所以f(n)?f(m)n?m=2，2lnn?2lnmn?m=2，

即n?mlnn?lnm=1，

要證m+n>2，

即證n?mlnn?lnm<m+n2，

令nm=t，因為n>m，所以t>1，

設(shè)g(t)=lnt?2(t?1t+1)，

所以g′(t)=1t?4(t+1)2=(t?1)2t(t+1)2>0，

所以g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(t)>g(1)