2021年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)案：第六章 實(shí)數(shù)

第1課時(shí)算術(shù)平方根

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、理解數(shù)的算術(shù)平方根的概念，并會(huì)用符號(hào)表示。

2、理解平方與開平方是互為逆運(yùn)算。

3、會(huì)求一些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念。

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主探究

學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小鷗很高興.他想裁出一塊面積為25平方分米的正方形畫

布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少分米？

（-）說這塊正方形畫布的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少分米？你是怎么算出來的？

答：因?yàn)??=25,所以這個(gè)正方形畫布的邊長(zhǎng)應(yīng)取5分米。

（二）（自主完成下表）

4

正方形的面積916361

25

邊長(zhǎng)

這個(gè)實(shí)例中的問題、填表中的問題實(shí)際上是一個(gè)問題，什么問題？它們都是已知正方形面積

求邊長(zhǎng)的問題.通過解決這個(gè)問題，我們就有了算術(shù)平方根的概念.

正數(shù)3的平方等于9,我們把正數(shù)3叫做9的算術(shù)平方根.

正數(shù)4的平方等于16,我們把正數(shù)4叫做16的算術(shù)平方根.

說說6和36這兩個(gè)數(shù)？說說1和1這兩個(gè)數(shù)？

同桌之間互相說一說5和25這兩個(gè)數(shù).（同桌互相說）

說了這么多，同學(xué)們大概已經(jīng)知道了算術(shù)平方根的意思.那么什么是算術(shù)平方根呢？還是先

在小組里討論討論，說說自己的看法.

（三）什么是算術(shù)平方根呢？如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方

根

請(qǐng)大家把算術(shù)平方根概念默讀兩遍.（生默讀）根號(hào)

如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方、廠

根.為了書寫方便，我們把a(bǔ)的算術(shù)平方根記作指（板書：a的7a一

算術(shù)平方根記作、6）.

（指準(zhǔn)上圖）看到?jīng)]有？這根釣魚桿似的符號(hào)叫做根號(hào)，a叫做被開方數(shù)，、"表示a的算

術(shù)平方根.

二、邊學(xué)邊練

1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:

49

(1)—；(2)0.0001.

64

(要注意解題格式，解題格式要與課本第40頁上的相同)

精練

2、填空：

(1)因?yàn)?=64,所以64的算術(shù)平方根是,即病=

(2)因?yàn)镴O.25,所以0.25的算術(shù)平方根是,即；

(3)因?yàn)開___三竺，所以竺的算術(shù)平方根是______,即心=____.

4949V49

3、求下列各式的值：

⑴倔=：(2)而3=；(3)71=；

(4)=；(5)J。.01=；(6).

4、根據(jù)12,=144,13,=169,14,=196,15,=225,16?=256,17,=289,18?=

324,192=361,填空并記住下列各式:

曬=A/144=_,V169=

J196=_____，＞/225=_____，,256=______

V289-_____，V324-____，7361=______.

(學(xué)生記住沒有，教師可以利用卡片進(jìn)行檢查，并要求學(xué)生課后記熟)

5、辨析題：卓瑪認(rèn)為，因?yàn)?-4)2=16,所以16的算術(shù)平方根是一4.你認(rèn)為卓瑪?shù)目捶▽?duì)

嗎？為什么？

三、我的感悟

這節(jié)課我的最大收獲是:我不能解決的問題是:

四、課后反思

第2課時(shí)用計(jì)算器求算術(shù)平方根及其大小比較

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.通過由正方形面積求邊長(zhǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷亞的估值過程，加深對(duì)算術(shù)平方根概念的理解,

感受無理數(shù)，初步了解無限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn).

2.會(huì)用計(jì)算器求算術(shù)平方根.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：感受無理數(shù)。

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：感受無理數(shù)。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主探究

1.填空:如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)正數(shù)叫做a的，記作—

2.填空：

（1）因?yàn)?=36,所以36的算術(shù)平方根是,即而=:

2

（2）因?yàn)椋ǎ?-,所以7T的算術(shù)平方根是，即』一=；

6464V64

（3）因?yàn)?=081,所以0.81的算術(shù)平方根是,即；

（4）因?yàn)?=0.572,所以0.57?的算術(shù)平方根是,即Jo.572=.

3.這個(gè)正方形的面積等于4,它的邊長(zhǎng)等于多少？

誰會(huì)用算術(shù)平方根來說這個(gè)正方形邊長(zhǎng)和面積的關(guān)系？

這個(gè)正方形的面積等于1,它的邊長(zhǎng)等于多少？

用算術(shù)平方根來說這個(gè)正方形邊長(zhǎng)和面積的關(guān)系？

（指準(zhǔn)圖）這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于面積1的算術(shù)平方根，也就是邊長(zhǎng)=，1,等于多少?

（看下圖）這個(gè)正方形的面積等于2,它的邊長(zhǎng)等于什么？

因?yàn)檫呴L(zhǎng)等于面積的算術(shù)平方根，所以邊長(zhǎng)等于J5

（板書：邊長(zhǎng)=血）.（上面三個(gè)圖的位置如下所示）

邊長(zhǎng)=4=1邊長(zhǎng)=&邊長(zhǎng)=幾=2

”=2,a=1,那么也等于多少呢？求血等于多少，怎么求？

在1和2之間的數(shù)有很多，到底哪個(gè)數(shù)等于血呢？我們?cè)趺床拍苷业竭@個(gè)數(shù)呢？我們可以

這樣來考慮問題，等于亞的那個(gè)數(shù)，它的平方等于多少？

第一條線索是那個(gè)數(shù)在1和2之間，第二條線索是那個(gè)數(shù)的平方恰好等于2.根據(jù)這兩條線

索，我們來找等于血的那個(gè)數(shù).

我們?cè)?和2之間找一個(gè)數(shù)，譬如找1.3,（板書：1.3?=）1.3的平方等于多少？（師生共

同用計(jì)算器計(jì)算）

1.69不到2,說明1.3比我們要找的那個(gè)數(shù)小.1.3小了，那我們找1.5,1.5的平方等于多

少？（師生共同用計(jì)算器計(jì)算）2.25超過2,說明1.5比我們要找的那個(gè)數(shù)大.找1.3小了，

找1.5又大了，下面怎么找呢？大家用計(jì)算器，算一算，找一找，哪個(gè)數(shù)的平方恰好等于2?

、行等于1.41421356點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)，可見是一個(gè)小數(shù)，這個(gè)小數(shù)與我們以前學(xué)過的小數(shù)相比有點(diǎn)

不同，有什么不同呢？第一，這個(gè)小數(shù)是無限小數(shù)（板書：無限）.應(yīng)是無限小數(shù)，又是

不循環(huán)小數(shù)，所以也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

除了血，還有別的無限不循環(huán)小數(shù)嗎？無限不循環(huán)小數(shù)還有很多很多，亞、、后、指、

、/7都是無限不循環(huán)小數(shù)（板書：也、、后、指、、々都是無限不循環(huán)小數(shù)）.

那怎么求6、非、瓜、、斤這些無限不循環(huán)小數(shù)的值呢？我們可以利用計(jì)算器來求.

二、邊學(xué)邊練

1、用計(jì)算器求下列各式的值：

（1）A/3（精確到0.001）；（2）73136.

（按鍵時(shí)，教師要領(lǐng)著學(xué)生做；解題格式要與課本上的相同）

2、填空：

（1）面積為9的正方形，邊長(zhǎng)=廠=；

（2）面積為7的正方形，邊長(zhǎng)=7一%（利用計(jì)算器求值，精確到0.001）.

3、用計(jì)算器求值：

（1）V1849=；⑵786.8624=；⑶氐七（精確到0.01）.

4、選做題：

（1）用計(jì)算器計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果填入下表：

???Jo.62576.25762.5,6250J62500…

???25???

（2）觀察上表，你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，不用計(jì)算器，直接寫出下列各式的

值：

,62500=,V6250000=,

JO.0625=,VO.000625=.

三、我的感悟

這節(jié)課我的最大收獲是:我不能解決的問題是:

四、課后反思

第3課時(shí)平方根

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、經(jīng)歷平方根概念的形成過程，了解平方根的概念，會(huì)求某些正數(shù)(完全平方數(shù))的平

方根；

2、經(jīng)歷有關(guān)平方根結(jié)論的歸納過程，知道正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平

方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：平方根的概念。

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：歸納有關(guān)平方根的結(jié)論。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主探究

(-)基本訓(xùn)練，鞏固舊知

1、填空：如果一個(gè)的平方等于a,那么這個(gè)叫做a的算術(shù)平方根，a的算

術(shù)平方根記作.

2、填空：

(1)面積為16的正方形，邊長(zhǎng)=廠=；

(2)面積為15的正方形，邊長(zhǎng)=7一g(利用計(jì)算器求值，精確到0.01).

3、填空：

(1)因?yàn)?/2=2.89,所以2.89的算術(shù)平方根等于,即夜而=；

(2)因?yàn)?.73?=2.9929,所以3的算術(shù)平方根約等于,即應(yīng)?=.

(-)什么是平方根呢？大家先來思考這么一個(gè)問題.

(三)如果一個(gè)正數(shù)的平方等于9,這個(gè)正數(shù)是多少？

如果一個(gè)數(shù)的平方等于9,這個(gè)數(shù)是多少？和算術(shù)平方根的概念類似，(指準(zhǔn)3?=9)我

們把3叫做9的平方根，(指準(zhǔn)(-3/=9)把一3也叫做9的平方根，也就是3和一3是9

的平方根。

我們?cè)賮砜磶讉€(gè)例子.

4

2

X1636491

25

X

同學(xué)們大概己經(jīng)明白了平方根的意思.平方根的概念與算術(shù)平方根的概念是類似的，誰會(huì)用

一句話概括什么是平方根？

平方根:如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根.

平方根概念與算術(shù)平方根概念只有一點(diǎn)點(diǎn)區(qū)別，哪一點(diǎn)點(diǎn)區(qū)別？

二、邊學(xué)邊練

1、求下面各數(shù)的平方根：

(1)100；(2)0.25：(3)0；(4)-4.

(1)因?yàn)?/p>

(±10)2=100),所以100的平方根是+10和-10

0的平方是0,正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方還是正數(shù)，所以任何數(shù)的平方都不會(huì)等

于一4.這說明什么？

從這個(gè)例題你能得出什么結(jié)論？正數(shù)有幾個(gè)平方根？0有幾個(gè)平方根？負(fù)數(shù)有幾個(gè)

平方根？

小組討論：正數(shù)有平方根。平方根有什么關(guān)系？

0的平方根有一個(gè)，平方根是_____________.負(fù)數(shù)____________平方根

2.填空：

(1)因?yàn)?——)2=49,所以49的平方根是______；

(2)因?yàn)?_—)2=0,所以0的平方根是______；

(3)因?yàn)?__)2=1.96,所以1.96的平方根是______；

3.填空:

(1)121的平方根是_____________121的算術(shù)平方根是______；

(2)0.36的平方根是____________0.36的算術(shù)平方根是_____；

(3)_____的平方根是8和一8,______的算術(shù)平方根是8；

333

(4)______的平方根是二和一一，______的算術(shù)平方根是二.

555

4.判斷題:對(duì)的畫錯(cuò)的畫K”.(1)0的平方根是0()

(2)—25的平方根是一5；()(3)—5的平方是25；()

(4)5是25的一個(gè)平方根；()(5)25的平方根是5；()

(6)25的算術(shù)平方根是5；()(7)52的平方根是±5；()

(8)(-5)2的算術(shù)平方根是一5.()

三、我的感悟

這節(jié)課我的最大收獲是:我不能解決的問題是:

四、課后反思

6.2立方根

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、了解立方根的概念，初步學(xué)會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根；

2、了解開立方與立方互為逆運(yùn)算，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根；

3、體會(huì)一個(gè)數(shù)的立方根的惟一性，分清一個(gè)數(shù)的立方根與平方根的區(qū)別。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：立方根的概念和求法。

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：立方根與平方根的區(qū)別。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主探究

1.平方根是如何定義的？平方根有哪些性質(zhì)？

2、問題：要制作一種容積為27n?的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長(zhǎng)應(yīng)該是

3、思考：（1）的立方等于-8?

（2）如果上面問題中正方體的體積為5cm\正方體的邊長(zhǎng)又該是

4、立方根的概念：

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的.（也叫做數(shù)a

的）.

換句話說,如果,那么x叫做a的立方根或三次方根.記作：.讀作

其中a是,3是,且根指數(shù)3省略（填能或不能），否

則與平方根混淆.

5、開立方

求一個(gè)數(shù)的的運(yùn)算叫做開立方，與開立方互為逆運(yùn)算

（小組合作學(xué)習(xí)）

6、立方根的性質(zhì)（1）教科書49頁探究

（2）總結(jié)歸納：正數(shù)的立方根是數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是數(shù)，0

的立方根是.

（3）思考：每一個(gè)數(shù)都有立方根嗎？一個(gè)數(shù)有幾個(gè)立方根呢？

（4）平方根與立方根有什么不同？

被開方數(shù)平方根立方根

正數(shù)

負(fù)數(shù)

零

二、邊學(xué)邊練

例1、求下列各式的值:

(1)洞；

例2、求滿足下列各式的未知數(shù)x：

(1)x3=0.008

練習(xí)

1.判斷正誤：

(1)、25的立方根是5；()

(2)、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù)；()

(3)、任何數(shù)的立方根只有一個(gè)；()

(4)、如果一個(gè)數(shù)的平方根與其立方根相同，則這個(gè)數(shù)是1;()

(5)、如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)的本身，那么這個(gè)數(shù)一定是零；()

(6)、一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù).()

(7)、-64沒有立方根.()

2、(1)64的平方根是________立方根是.

(2)U麗立方根是.(3)一曲是的立方根.

(4)若(-X)2=9則x=,若(-x)3則臾=.

(5)若成=_x則X的取值范圍是,若工三有意義，則X的取值范圍是

3、計(jì)算：(1)；

4、已知x-2的平方根是±4,2x-y+12的立方根是4,求(x+y)'”的直

三、我的感悟

這節(jié)課我的最大收獲是：我不能解決的問題是：

四、課后反思

第1課時(shí)實(shí)數(shù)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

2、了解立方根的概念，初步學(xué)會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根；

2、了解開立方與立方互為逆運(yùn)算，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根；

3、體會(huì)一個(gè)數(shù)的立方根的惟一性，分清一個(gè)數(shù)的立方根與平方根的區(qū)別。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：立方根的概念和求法。

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：立方根與平方根的區(qū)別。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主探究

1、填空：(有理數(shù)的兩種分類)

有理數(shù)有理數(shù)

2、使用計(jì)算器計(jì)算，把下列有理數(shù)寫成小數(shù)的形式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

_3472.111

J，-'，9，，

581199

二、探究新知

1、歸納：任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成小數(shù)或小數(shù)的形式。反過來，任何

小數(shù)或小數(shù)也都是有理數(shù)

觀察通過前面的探討和學(xué)習(xí)，我們知道，很多數(shù)的根和根都是—

小數(shù)，小數(shù)又叫無理數(shù)，萬=3.14159265也是無理數(shù)

結(jié)論：.和統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)

你能舉出一些無理數(shù)嗎？/‘

--1，或

2、試一試把實(shí)數(shù)分類I____

實(shí)數(shù)<

像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負(fù)之分。1_>

例如狡，百，乃是無理數(shù)，-V2,

[,—

-為，”是無理數(shù)。由于非0有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分，|I_

所以實(shí)數(shù)也可以這樣分類：實(shí)數(shù)〔一廠

3、我們知道，每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。無理

數(shù)是否也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示呢？

(1)如圖所示，直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)

到達(dá)點(diǎn)O',點(diǎn)O'的坐標(biāo)是多少？

從圖中可以看出00'的長(zhǎng)時(shí)這個(gè)圓的周長(zhǎng)______，點(diǎn)0'的坐標(biāo)是.

這樣，無理數(shù)H可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來

（2）乂如?以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)閥?一個(gè)正方形（圖

10.3-2）.以原點(diǎn)為圓心.正方形對(duì)角線為半徑畫弧.

與正半軸的交點(diǎn)就表示_.與負(fù)半軸的交點(diǎn)就表示

______（為什么？）

3

圖10.3-2

總結(jié):①事實(shí)上，每一個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的表示出來，這就是說，數(shù)軸上

的點(diǎn)有些表示,有些表示

當(dāng)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用

數(shù)軸上的來表示；反過來，數(shù)軸上的都是表示一個(gè)實(shí)數(shù)

②與有理數(shù)一樣，對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的

實(shí)數(shù)__

③當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù)嗎？

總結(jié)數(shù)。的相反數(shù)是,這里。表示任意。一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是

:一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的;0的絕對(duì)值是

三、邊講邊練

例1、把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：

^,73,-3.141,-,—,--,-^2,0.1010010001,1.414,-0.020202,-77

378

正有理數(shù)｛）

負(fù)有理數(shù)｛｝

正無理數(shù)｛｝

負(fù)無理數(shù)｛）

2、下列實(shí)數(shù)中是無理數(shù)的為（）A.0B.-3.5C.y/2D.J5

3、-8的相反數(shù)是,絕對(duì)值

4、絕對(duì)值等于右的數(shù)是________,一當(dāng)?shù)钠椒绞莀_______

5

比較大小73_____L71.4I.n_3.14

6、求絕對(duì)值|）耳|?_______

1=______

13

IK-2-----------|1.4-72|=_|乃—3.14|=

練習(xí)

（一）、判斷下列說法是否正確：

1.實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)。()

2.無限小數(shù)都是無理數(shù)。()

3.無理數(shù)都是無限小數(shù)。()

4.帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)。()

5.兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù)。()

6.所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示，反過來，數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)。（）

（口、填空1、已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是由，求這個(gè)數(shù)是_________

2、/二位的絕對(duì)值

3、比較大小?~'——

4、|屈-屈卜---------1-^3的絕對(duì)值是

三、我的感悟

這節(jié)課我的最大收獲是：我不能解決的問題是：

四、課后反思

第2課時(shí)實(shí)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、了解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義。

2、會(huì)按要求用近似有限小數(shù)代替無理數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：在實(shí)數(shù)內(nèi)會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值。

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：簡(jiǎn)單的無理數(shù)計(jì)算。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主探究

㈠學(xué)前準(zhǔn)備

1、用字母來表示有理數(shù)的乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律

2、用字母表示有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律

3、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序

。自主探索獨(dú)立閱讀，自習(xí)教材

總結(jié)當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，

1、數(shù)a的相反數(shù)是；

2、一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)