2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)3函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用一課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

課后素養(yǎng)落實(shí)(二十五)函數(shù)的應(yīng)用(一)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．某廠日產(chǎn)手套的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(雙)之間的關(guān)系為y＝5x＋40000.而手套出廠價(jià)格為每雙10元，要使該廠不虧本至少日產(chǎn)手套()A．2000雙 B．4000雙C．6000雙 D．8000雙D[由5x＋40000≤10x，得x≥8000，即日產(chǎn)手套至少8000雙才不虧本．]2．甲、乙、丙、丁四輛玩具賽車同時(shí)從起點(diǎn)動(dòng)身并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，丙車最先到達(dá)終點(diǎn)．丁車最終到達(dá)終點(diǎn)．若甲、乙兩車的圖象如圖所示，則對(duì)于丙、丁兩車的圖象所在區(qū)域，推斷正確的是()A．丙在Ⅲ區(qū)域，丁在Ⅰ區(qū)域B．丙在Ⅰ區(qū)城，丁在Ⅲ區(qū)域C．丙在Ⅱ區(qū)域，丁在Ⅰ區(qū)域D．丙在Ⅲ區(qū)域，丁在Ⅱ區(qū)域A[由圖象，可得相同時(shí)間內(nèi)丙車行駛路程最遠(yuǎn)，丁車行駛路程最近，即丙在Ⅲ區(qū)域，丁在Ⅰ區(qū)域，故選A.]3．某公司聘請(qǐng)員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*,1.5x，x≥100，x∈N*.))，其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)．若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15 B．40C．25 D．130C[令y＝60.若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿意題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意．故擬錄用25人．]4．商店某種貨物的進(jìn)價(jià)下降了8%，但銷售價(jià)不變，于是這種貨物的銷售利潤(rùn)率eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(銷售價(jià)－進(jìn)價(jià),進(jìn)價(jià))×100%))由原來(lái)的r%增加到(r＋10)%，則r的值等于()A．12 B．15C．25 D．50B[設(shè)原銷售價(jià)為a，原進(jìn)價(jià)為x，可以列出方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100)，,\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)，))解這個(gè)方程組，消去a，x，可得r＝15.]5．一個(gè)人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1m/s2的加速度勻加速開(kāi)走，那么()A．此人可在7s內(nèi)追上汽車B．此人可在10s內(nèi)追上汽車C．此人追不上汽車，其間距最少為5mD．此人追不上汽車，其間距最少為7mD[設(shè)汽車經(jīng)過(guò)ts行駛的路程為sm，則s＝eq\f(1,2)t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7.當(dāng)t＝6時(shí)，d取得最小值7.]二、填空題6．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品的日銷售量(單位：件)和價(jià)格(單位：元/件)均為時(shí)間t(單位：天)的函數(shù)．日銷售量為f(t)＝2t＋100，價(jià)格為g(t)＝t＋4，則該種商品的日銷售額S(單位：元)與時(shí)間t的函數(shù)解析式為S(t)＝________.2t2＋108t＋400，t∈N[日銷售額＝日銷售量×價(jià)格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]7．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是________cm2.2eq\r(3)[設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4－x)cm，兩個(gè)三角形的面積和為S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3)，這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是2eq\r(3)8．某商品的單價(jià)為5000元，若一次性購(gòu)買超過(guò)5件，但不超過(guò)10件時(shí)，每件實(shí)惠500元；若一次性購(gòu)買超過(guò)10件，則每件實(shí)惠800元．某單位須要購(gòu)買x(x∈N*，x≤15)件該商品，設(shè)購(gòu)買總費(fèi)用是f(x)元，則f(x)的解析式是________．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5000x，x∈{1，2，3，4，5}，,4500x，x∈{6，7，8，9，10}，,4200x，x∈{11，12，13，14，15}))[當(dāng)x≤5，x∈N*時(shí)，f(x)＝5000x；當(dāng)5<x≤10，x∈N*時(shí)，f(x)＝(5000－500)x＝4500x；當(dāng)10<x≤15，x∈N*時(shí)，f(x)＝(5000－800)x＝4200x.所以f(x)的解析式是f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5000x，x∈{1，2，3，4，5}，,4500x，x∈{6，7，8，9，10}，,4200x，x∈{11，12，13，14，15}.))]三、解答題9．已知某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為C＝aQ2＋3000，且當(dāng)年產(chǎn)量是100時(shí)，總成本是6000.設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為f(Q)．(1)求f(Q)的解析式；(2)求年產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最小，并求最小值．[解](1)將Q＝100，C＝6000代入C＝aQ2＋3000中，可得1002從而a＝eq\f(3,10)，于是C＝eq\f(3Q2,10)＋3000.因此f(Q)＝eq\f(C,Q)＝eq\f(3,10)Q＋eq\f(3000,Q)，Q>0.(2)因?yàn)閒(Q)＝eq\f(3,10)Q＋eq\f(3000,Q)≥2eq\r(\f(3,10)Q×\f(3000,Q))＝60，且eq\f(3,10)Q＝eq\f(3000,Q)，即Q＝100時(shí)，上述等號(hào)成立．因此，當(dāng)年產(chǎn)量為100時(shí)，平均成本最小，且最小值為60.10．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還須要增加投資0.25萬(wàn)元，經(jīng)預(yù)料可知，市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位：百件)時(shí)，銷售所得的收入約為5t－eq\f(1,2)t2(萬(wàn)元)．(1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位：百件)，試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大？[解](1)當(dāng)0<x≤5時(shí)，產(chǎn)品全部售出，當(dāng)x>5時(shí)，產(chǎn)品只能售出500件．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－0.5＋0.25x，0<x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(1,2)×52))－0.5＋0.25x，x>5，))即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，0<x≤5，,12－0.25x，x>5.))(2)當(dāng)0<x≤5時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，所以當(dāng)x＝4.75(百件)時(shí)，f(x)有最大值，f(x)最大值＝10.78125(萬(wàn)元)．當(dāng)x>5時(shí)，f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬(wàn)元)．故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大．1．(多選)某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．下列結(jié)論正確的是()A．出租車行駛2km，乘客需付費(fèi)8元B．出租車行駛10km，乘客需付費(fèi)25.45元C．某人乘出租車行駛5km兩次的費(fèi)用超過(guò)他乘出租車行駛10km一次的費(fèi)用D．某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了9kmBCD[在A中，出租車行駛2km，乘客需付起步價(jià)8元和燃油附加費(fèi)1元，共9元，A錯(cuò)誤；在B中，出租車行駛10km，乘客需付費(fèi)8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正確；在C中，乘出租車行駛5km，乘客需付費(fèi)8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐兩次需付費(fèi)26.6元，26.6>25.45，C正確；在D中，設(shè)出租車行駛xkm時(shí)，付費(fèi)y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正確．]2．一個(gè)體戶有一批貨，假如月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為2.4%.假如月末售出，可獲利120元，但要付保管費(fèi)5元．這位個(gè)體戶為獲利最大，則這批貨()A．月初售出好 B．月末售出好C．月初或月末售出一樣 D．由成本費(fèi)的大小確定D[設(shè)這批貨物成本費(fèi)為x元，若月初售出時(shí)，到月末共獲利為100＋(x＋100)×2.4%；若月末售出時(shí)，可獲利為120－5＝115(元)．可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．∴當(dāng)成本費(fèi)大于525元時(shí)，月初售出好；當(dāng)成本費(fèi)小于525元時(shí)，月末售出好；當(dāng)成本費(fèi)等于525元時(shí)，月初或月末售出均可．]3．已知直角梯形ABCD，如圖(1)所示，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身，由B→C→D→A沿邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為f(x)．假如函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖(2)所示，則△ABC的面積為_(kāi)_______．圖(1)圖(2)16[由題中圖象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，所以AB＝5＋eq\r(52－42)＝5＋3＝8.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×8×4＝16.]4．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，則x＝________時(shí)，四邊形EFGH的面積最大，最大面積為_(kāi)_______．330[設(shè)四邊形EFGH的面積為S，則S＝13×3－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)13－x3－x))＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．因?yàn)镾＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值為30.]有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次為Q1萬(wàn)元和Q2萬(wàn)元，它們與投入的資金x萬(wàn)元的關(guān)系是Q1＝eq\f(1,5)x，Q2＝eq\f(3,5)eq\r(x).今年有3萬(wàn)元資金投入運(yùn)用，則對(duì)甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤(rùn)？[解]設(shè)對(duì)甲種商品投資x萬(wàn)元，則對(duì)乙種商品投資(3－x)萬(wàn)元，總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則Q1＝eq\f(1,5)x，Q2＝eq\f(3,5)eq\r(3－x).所以y＝eq\f(1,5)x＋eq\f(3,5)eq\r(3－x)(0≤x≤3)．令t＝eq\r(3－x)(0≤t≤e