浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年10月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量減法運(yùn)算的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由向量減法運(yùn)算的運(yùn)算法則，因?yàn)椋傻谩９蔬x：A.2.直線的傾斜角為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，然后根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系，即可得到結(jié)果.詳解】由方程得直線斜率，所以傾斜角.故選:C.3.已知，是兩個(gè)不重合的平面，且直線，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由線面、面面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線面關(guān)系，根據(jù)面面垂直的判定判斷線面是否平行，再由充分、必要性定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】解：由，若，則可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線，則直線過(guò)（）A.一、二、三象限 B.一、二、四象限C.二、三、四象限 D.一、三、四象限【答案】D【解析】【分析】用坐標(biāo)軸上的截距得到大致草圖可解.【詳解】直線在軸上截距為，軸上截距為，畫出直線，發(fā)現(xiàn)直線過(guò)一、三、四象限，故選：D.5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】復(fù)數(shù)滿足，由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可得：在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為1，再求解即可.【詳解】解：由在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且復(fù)數(shù)滿足，由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可得：在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為1，即，則點(diǎn)的軌跡方程為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的模的幾何意義，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.6.已知點(diǎn)，平面，其中，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得和平面的法向量，結(jié)合向量的距離公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，可得，又由，可得向量為平面的法向量，且，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C.7.正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）作為一種對(duì)稱穩(wěn)定的幾何結(jié)構(gòu)，在物質(zhì)世界中具有廣泛的應(yīng)用.從晶體材料到生物分子，正八面體結(jié)構(gòu)都發(fā)揮著重要作用，影響著物質(zhì)的性質(zhì).如六氟化硫（化學(xué)式為）分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.則在如圖所示的正八面體中，二面角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖可得為所求的二面角的平面角，后由余弦定理可得答案.【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，，由正八面體定義可知，為所求的二面角的平面角，不妨設(shè)，則，，在中，由余弦定理，得，所以.故選：B.8.已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，在平面內(nèi)，若向量滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定出點(diǎn)的軌跡為圓，即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，所以，滿足的點(diǎn)坐標(biāo)滿足：，即在以為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在如圖所示位置時(shí)，最大，因?yàn)?所以，，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.若，且，則 D.若且，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，得到向量，，，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕傻?，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，，所以，所以B正確；對(duì)于C，若，且，則，解得，所以C正確，對(duì)于D，若且，因?yàn)?，可得，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線有4條對(duì)稱軸 B.的最小值是C.曲線圍成的圖形面積為 D.的最大值是1【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)方程為，結(jié)合曲線的對(duì)稱性，畫出曲線的圖象，結(jié)合圖象，可得判定A正確，把表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的倍，可判定B錯(cuò)誤；結(jié)合圓的面積公式和正方形的面積公式，可判定以C正確；設(shè)表示點(diǎn)與點(diǎn)確定的直線的斜率，結(jié)合圖象，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，可得判定D正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，原方程化為，即，所以曲線是以圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由圖象關(guān)于軸，軸對(duì)稱，所以曲線，如圖所示.，對(duì)于A中，由圖象可得，該曲線關(guān)于軸，軸，和對(duì)稱，所以該曲線有4條對(duì)稱軸，所以A正確，對(duì)于B中，由表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的倍，結(jié)合圖象得，當(dāng)是時(shí)，距離最小值為，所以最小值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，曲線圍成的圖形由四個(gè)直徑為的半圓和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成，所以面積為，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)表示點(diǎn)與點(diǎn)確定的直線的斜率，設(shè)該直線方程為，結(jié)合圖象，當(dāng)，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時(shí)，該切線的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），則的最大值為1，所以D正確.故選：ACD.11.正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且，記點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若平面，且點(diǎn)平面，則的最小值為D.若，則【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，得到點(diǎn)的軌跡為以為球心，1為半徑的球與正方體表面的交線，從而求出軌跡長(zhǎng)度；B選項(xiàng)，與A同理可得；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)的軌跡是線段，則當(dāng)時(shí)，最小，由勾股定理求出答案；D選項(xiàng)，作出輔助線，得到的軌跡為等腰梯形，求出軌跡總長(zhǎng).【詳解】對(duì)于A、B，如圖，等于以為球心，1為半徑的球與正方體表面的交線總長(zhǎng)，所以，故A正確；等于以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線總長(zhǎng)，由于，所以球與過(guò)的三個(gè)正方體表面沒(méi)有交線，與另外三個(gè)面的交線長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，取的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)，連接，可知，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，則當(dāng)點(diǎn)平面時(shí)，平面，又點(diǎn)平面，所以點(diǎn)的軌跡是線段，則當(dāng)時(shí)，最小，由勾股定理得，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)，，共面，從而點(diǎn)的軌跡為平面與正方體表面的交線，連接，則，故四點(diǎn)共面，畫出交線如圖，所以的軌跡為等腰梯形（如圖），故軌跡總長(zhǎng)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過(guò)程；（2）作平行線法：過(guò)直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過(guò)作延長(zhǎng)線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】?2【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到直線的斜率之積為，得到方程，求出.【詳解】因?yàn)椋詢芍本€的斜率之積為，即，所以.故答案為：?2.13.已知在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，若，則________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再利用空間向量求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題意：，，，則，，又所以，解得，即.故答案為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線，過(guò)上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】3【解析】【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義將化為，計(jì)算即可.【詳解】由題意，則圓的半徑，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得.所以只要最小即可，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故答案為：3四、解答題：本大題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知空間三點(diǎn)，，，以向量，為一組鄰邊組成平行四邊形，（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求平行四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及平行四邊形法則求解即可；（2）先根據(jù)空間向量求出，進(jìn)而結(jié)合面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，，，由平行四邊形法則：，所以，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】由題意，，，，所以，所以.16.如圖，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，，，分別是棱，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，，，取中點(diǎn)，連接，則，過(guò)點(diǎn)作，由平面，得平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，于是，即，平面，又平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取得，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.17.已知平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)，（1）若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求的軌跡方程；（2）以為直徑圓交圓于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用軌跡方程求法設(shè)，可求得的軌跡方程為；（2）求出公共弦的方程，利用點(diǎn)到直線距離以及弦長(zhǎng)公式可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則根據(jù)題意可得所以可得，代入圓，得，化簡(jiǎn)得，的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】如下圖所示：因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，，所以以為直徑的圓的方程為，即.圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距為，半徑和，半徑差的絕對(duì)值為，，兩圓相交，由得直線的方程.圓心到直線的距離，圓的半徑，可得，，所以.18.如圖，三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.（1）若，求三棱錐的外接球的表面積；（2）若異面直線和所成角的余弦值為，點(diǎn)是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與平面的夾角為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，，兩兩垂直，所以可將其補(bǔ)成正方體，正方體對(duì)角線就是外接球的直徑，再根據(jù)外接球的表面積計(jì)算公式可求解；（2）根據(jù)異面直線所稱的角的關(guān)系求出，構(gòu)建空間坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，再利用空間向量法求出二面角的余弦值取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩兩垂直，可將其補(bǔ)成正方體，正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑.所以三棱錐的外接球直徑為：，兩邊平方得，所以.【小問(wèn)2詳解】如圖，取中點(diǎn)，由題意，，，設(shè)，，，.則，，，因?yàn)?，所成角的余弦值為，所以，?又，，，解得或（舍去）.所以，此時(shí)，這樣，可以以，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則，，，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，所以設(shè)，，，所以.所以得因?yàn)椋?，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則取，又，，同理可求得平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，設(shè)，，，則，記，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.即的取值范圍是.19.古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動(dòng)點(diǎn)軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們?cè)O(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時(shí)，記，，，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）當(dāng)，時(shí)，若，且與的距離為2，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的面積.（2）若是等腰直角三角形，是直角，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動(dòng)，試探求為何值時(shí)，的軌跡是圓？（3）若是等腰三角形，，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，問(wèn)在此等腰三角形對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使為大于1的定值.若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的軌跡是圓（3）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)【解析】【分析】（1）適當(dāng)建系，以為軸，為軸，同時(shí)，再結(jié)合新定義確定軌跡方程即可求解；（2）適當(dāng)建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，同時(shí).再結(jié)合新定義即可求解；（3）適當(dāng)建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的角平分線為軸，設(shè)，，，結(jié)合新定義列出等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，因?yàn)樵冢g，所以，，，由定義得，所以，化簡(jiǎn)得，表示以為圓心，1為半徑的圓.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積.【小問(wèn)2