16利用三角函數(shù)測高（練習(xí)）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系第六節(jié)利用三角函數(shù)測高精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2019·全國九年級課時練習(xí)）使用測傾器測量傾斜角的步驟有：（1）記下此時鉛垂線所指的度數(shù)；（2）使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的刻度線重合；（3）轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M；（4）把支桿豎直插入地面.則正確的步驟應(yīng)為（）A．（1）（2）（3）（4） B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1） D．（3）（4）（2）（1）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本測量理論知識，由測量的基本步驟順序，即可得到答案.【詳解】解：使用測傾器測量傾斜角的步驟有：把支桿豎直插入地面；使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的刻度線重合；轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M；記下此時鉛垂線所指的度數(shù)；所以正確的順序是：（4）（2）（3）（1）；故選擇：C.【點(diǎn)睛】本題考查基本的測量理論，要求學(xué)生根據(jù)幾何知識，結(jié)合實(shí)際操作，做出判斷．2．（2019·全國九年級課時練習(xí)）如圖，兩建筑物的水平距離為a米，從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為α，測得C點(diǎn)的俯角為β.則較低建筑物CD的高度為（）.A．a(chǎn)米 B． C． D．a(chǎn)(tanβtanα)【答案】D【解析】【分析】作AE∥BD交DC的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形．用含BD的式子表示出DE、CE，即可得出答案．【詳解】作AE∥BD交DC的延長線于點(diǎn)E，∴∵，，∴DE=atanα，CE=atanβ，∴CD=DE?CE=a(tanα?tanβ).故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.在圖形中利用輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.3．如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為()A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米【答案】C【解析】試題解析：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO為α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故選C．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題．4．如圖，王師傅在樓頂上A點(diǎn)處測得樓前一棵樹CD的頂端C的俯角為60°，若水平距離BD＝10m，樓高AB＝24m，則樹CD高約為()A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【解析】過點(diǎn)C作AB的垂線CE,在Rt△AEC中,CE=BD=10,∠CAE=30°,因?yàn)樗?AE=,所以CD=BE=AB－AE=24－10故選C.5．（2019·全國九年級課時練習(xí)）如圖，測量人員在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿著傾角為30°的山坡前進(jìn)1000米到達(dá)D處，在D處測得山頂B的仰角為60°，則山高BC大約是（精確到0.01米）（）；A．1366.00米 B．1482.12米 C．1295.93米 D．1508.21米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目所給的度數(shù)可判定△ABD是等腰三角形，AD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的長和CE的長，從而可求出山高的高度．【詳解】解：∵∠BAC=45°，∠DAC=30°，

∴∠BAD=15°，

∵∠BDE=60°，∠BED=90°，

∴∠DBE=30°，

∵∠ABC=45°，

∴∠ABD=15°，

∴∠ABD=∠DAB，

∴AD=BD=1000，

過點(diǎn)D作DF⊥AC，

∵AC⊥BC，DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°

∴四邊形DFCE是矩形

∴DF=CE

在直角三角ADF中，∵∠DAF=30°，

∴DF=AD=500，

∴EC=500，BE=1000×sin60°=500．

∴BC=500+500(米)．故選A【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，關(guān)鍵是根據(jù)角判斷特殊的三角形，直角三角形或者等腰三角形，從而求出解．6．（2020·云南九年級零模）如圖，小明想測量斜坡旁一棵垂直于地面的樹的高度，他們先在點(diǎn)處測得樹頂?shù)难鼋菫?，然后在坡頂測得樹頂?shù)难鼋菫?，已知斜坡的長度為，斜坡頂點(diǎn)到地面的垂直高度，則樹的高度是（）A．20 B．30 C．30 D．40【答案】C【分析】先根據(jù)CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】在Rt△CDE中，∵CD=20m，DE=10m，∴sin∠DCE=，∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF∥AE，∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴BC=（m），∴AB=BC?sin60°=20×=30（m）．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，在熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100米【答案】D【解析】【分析】在熱氣球C處測得地面B點(diǎn)的俯角分別為45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的長，據(jù)此即可求出AB的長．【詳解】∵在熱氣球C處測得地面B點(diǎn)的俯角分別為45°，∴BD＝CD＝100米，∵在熱氣球C處測得地面A點(diǎn)的俯角分別為30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD＝＝100米，∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．8．如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=（）米．A．250 B．500 C．250 D．500【答案】C【解析】試題分析：設(shè)PC=x米，根據(jù)Rt△PBC的性質(zhì)可得：BC=x米，根據(jù)Rt△PAC的性質(zhì)可得：AC=x米，AB=ACBC=xx=500，解得：x=250米，故選C．二、填空題9．（2019·山東泰安市·中考模擬）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為_____海里．（結(jié)果保留根號）【答案】40【解析】【分析】根據(jù)題意畫出草圖，再利用三角函數(shù)就可以求解出的距離。【詳解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝80，∠PAC＝30°，∴PC＝40海里，在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝40海里，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，通過構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)來計算未知量，此類題目應(yīng)當(dāng)引起注意，是經(jīng)常的考題模式。10．如下圖,建筑物AB和CD的水平距離為30m,從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為30°,測得C點(diǎn)的俯角為60°,則建筑物CD的高為________

m．【答案】20m【解析】【分析】延長CD交AM于點(diǎn)E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出DE．CD=CEDE．【詳解】解：延長CD交AM于點(diǎn)E，則AE=30．∴同理可得∴（米）故答案為【點(diǎn)睛】考查利用解直角三角形知識解決實(shí)際問題的能力．11．（2020·海南中學(xué)九年級期末）一艘觀光游船從港口以北偏東的方向出港觀光，航行海里至處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東方向，馬上以海里每小時的速度前往救援，海警船到達(dá)事故船處所需的時間大約為________小時（用根號表示）．【答案】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根據(jù)時間=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C處所需的時間．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，∴CD=AC=30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°37°=53°，∴BC=（海里），∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：20÷40=（小時）．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2019·全國九年級課時練習(xí)）如圖，某同學(xué)用一個有角的直角三角板估測學(xué)校旗桿AB的高度．他將與角相鄰的直角邊水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜邊與旗桿的頂點(diǎn)在同一直線上，他又量得DB的距離為5m，則旗桿AB的高度約為________m.（結(jié)果精確到lm，取1.73）【答案】10【分析】在△ACE中，CE⊥AE，tan∠ACE=，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【詳解】解：由題意可知，在△ACE中，CE⊥AE，且∠ACE=60°，BD=5，而tan∠ACE=，∴AE＝CE×tan60°＝≈8.6．又∵EB=1.5，∴AB=AE+EB≈10（米）．故答案為10.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象到解直角三角形中，然后利用三角函數(shù)的定義解決問題．提升篇提升篇三、解答題13．（2020·西安市鐵一中學(xué)九年級其他模擬）如圖，小明想用所學(xué)的知識來測量長安塔的高度，他先在E處用側(cè)傾器測得塔頂A的仰角α為30°，然后，他從E處迎著塔的方向走了71.1米到F處，再用側(cè)傾器測得塔頂A的仰角β為45°，已知點(diǎn)E、F、B在同一水平面上，側(cè)傾器的高度為1.6米，請你利用小明測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求長安塔的高度AB（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【答案】99米【分析】設(shè)CD延長線于AB交于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得四邊形GBEC、四邊形GBFD、四邊形DFEC是矩形，可得BG＝DF＝CE＝1.6，DC＝EF＝71.1，DG＝BF，設(shè)AG＝DG＝BF＝x，在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，AG＝x，CG＝DG+DC＝x+71.1，再根據(jù)三角函數(shù)可得tan30°＝，代入數(shù)據(jù)解出x，進(jìn)而可求出長安塔的高度．【詳解】設(shè)CD延長線于AB交于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知：四邊形GBEC、四邊形GBFD、四邊形DFEC是矩形，∴BG＝DF＝CE＝1.6，DC＝EF＝71.1，DG＝BF，∵∠ADG＝45°，∴AG＝DG＝BF，設(shè)AG＝DG＝BF＝x，在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，AG＝x，CG＝DG+DC＝x+71.1，∴tan30°＝，即，解得x≈97.1，∴AB＝AG+GB＝97.1+1.6≈99（米）．答：長安塔的高度AB約為99米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)圖形作出輔助線并根據(jù)三角函數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵．14．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年級月考）數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組利用矩形建筑物ABED測量廣場燈塔CF的高，如圖所示，在點(diǎn)B處測得燈塔頂端C的仰角為28°，在點(diǎn)D處測得燈塔頂端C的仰角為45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求燈塔CF的高（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）【答案】55米【分析】延長BE交CD于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，設(shè)CH＝xm，利用銳角三角函數(shù)的含義分別表示，再列方程求解即可．【詳解】解：延長BE交CD于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，在Rt中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°設(shè)CH＝xm，在Rt中，∠EGD＝45°，∴GH＝xm在Rt中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝tan28°解這個方程得：x≈45.1，經(jīng)檢驗(yàn)：x≈45.1符合題意．∴燈塔的高CF＝55.1≈55（m）答：燈塔的高為55米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．15．（2021·北京門頭溝