2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義最新課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解瞬時(shí)變更率、導(dǎo)數(shù)的概念．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．(重點(diǎn))能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題．(難點(diǎn))[教材要點(diǎn)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一瞬時(shí)變更率與導(dǎo)數(shù)(1)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)________時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變更率________________趨近于常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)稱為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．(2)函數(shù)的瞬時(shí)變更率設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0及其旁邊有定義，當(dāng)自變量在x＝x0旁邊變更量為Δx時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地變更Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，假如當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，平均變更率________________趨近于一個(gè)常數(shù)k，那么常數(shù)k稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變更率．記作：當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→k.還可以說(shuō)：當(dāng)Δx→0時(shí)，函數(shù)平均變更率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時(shí)變更率，記作eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k.(3)函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的________，通常稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作________，即f′(x0)＝________________.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為_(kāi)_______________________．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的瞬時(shí)變更率是________________________________________________________________________．2．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)3．已知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則f′(2)等于()A．1B．－1C．－3D．34．假如函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為1，那么eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx＋1－f1,2Δx)＝()A.eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,4)題型一求瞬時(shí)速度例1以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時(shí)的高度為s(t)＝v0t－eq\f(1,2)gt2，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______．eq\x(狀元隨筆)先求出eq\f(Δs,Δt)，再求eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).方法歸納1．求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間變更量Δt和位移變更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)；(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度.2.求eq\f(Δy,Δx)(當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來(lái)參加運(yùn)算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表達(dá)式后，Δx無(wú)限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可．跟蹤訓(xùn)練1一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．(1)求此物體的初速度；

(2)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度．題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例2(1)曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線的斜率為()A．2B．－4C．3D.eq\f(1,4)(2)求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．eq\x(狀元隨筆)求函數(shù)f(x)在隨意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變更率，再求f′(x0)．方法歸納1．通過(guò)本例(1)進(jìn)一步感受平均變更率與瞬時(shí)變更率的關(guān)系，對(duì)于Δy與Δx的比值，感受和相識(shí)在Δx漸漸變小的過(guò)程中趨近于一個(gè)固定的常數(shù)k這一現(xiàn)象．2．用定義求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變更率eq\f(Δy,Δx)；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).簡(jiǎn)記為：一差、二比、三趨近．跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．題型三求曲線在某點(diǎn)處切線的方程例3已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)處的切線方程；(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？eq\x(狀元隨筆)(1)先求切點(diǎn)坐標(biāo)，再求y′，最終利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程．(2)將切線方程與曲線C的方程聯(lián)立求解．方法歸納1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟(1)求出函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；(2)寫出切線方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特殊留意：若在點(diǎn)(x0，y0)處切線的傾斜角為eq\f(π,2)，此時(shí)所求的切線平行于y軸，所以曲線的切線方程為x＝x0.2．曲線的切線與曲線的交點(diǎn)可能不止一個(gè)．跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(1,2)處的導(dǎo)數(shù)是－1，那么過(guò)點(diǎn)A的切線方程是________．題型四求切點(diǎn)坐標(biāo)例4已知拋物線y＝2x2＋1.求：(1)拋物線上哪一點(diǎn)的切線的傾斜角為45°？(2)拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于直線4x－y－2＝0?eq\x(狀元隨筆)eq\x(設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo))→eq\x(求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù))→eq\x(利用條件建立方程)→eq\x(求出點(diǎn)的坐標(biāo))跟蹤訓(xùn)練4已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線的斜率k＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(1,1)B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(2,8)或(－2，－8)方法歸納依據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟1．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；2．求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；3．求切線的斜率f′(x0)；4．由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；5．點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將(x0，y0)代入求y0，得切點(diǎn)坐標(biāo)．eq\x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)分層作業(yè)十二)6．1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義新知初探·自主學(xué)習(xí)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一(1)Δt趨近于0eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)(2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)(3)瞬時(shí)變更率f′(x0)lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)學(xué)問(wèn)點(diǎn)二曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：∵f(x)＝x2，∴函數(shù)f(x)在x＝1處的瞬時(shí)變更率是lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－12,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.答案：22．解析：f′(2)為函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)B處的切線的斜率，f′(3)為函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)A處的切線的斜率，f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，其幾何意義為割線AB的斜率，由圖可知，0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故選C.答案：C3．解析：由題意知f′(2)＝3.答案：D4．解析：因?yàn)閒′(1)＝1，所以lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝1，所以lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx＋1－f1,2Δx)＝eq\f(1,2)lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,2).答案：A課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：∵Δs＝v0(t0＋Δt)－eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt\o\al(2,0)))＝v0Δt－gt0Δt－eq\f(1,2)g(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0－eq\f(1,2)gΔt，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0，即t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v0－gt0.答案：v0－gt0跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)初速度v0＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(sΔt－s0,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))(3－Δt)＝3，即物體的初速度為3m/s.(2)v瞬＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(－Δt2－Δt,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))(－Δt－1)＝－1，即物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s，方向與初速度方向相反．例2解析：(1)因?yàn)閥′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,x2＋x·Δx)＝－eq\f(1,x2)，所以曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線斜率為k＝－4，故選B.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.答案：(1)B(2)見(jiàn)解析跟蹤訓(xùn)練2解析：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴f′(1)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.例3解析：(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點(diǎn)P(1,1)．y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝3.∴曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－8，))從而求得公共點(diǎn)為P(1,1)或M(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一公共點(diǎn)(－2，－8)．跟蹤訓(xùn)練3解析：切線的斜率為k＝－1.∴點(diǎn)A(1,2)處的切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0例4解析：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，該點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc