2025年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題09利用導函數(shù)研究函數(shù)的隱零點問題練習(學生版+解析)

專題09利用導函數(shù)研究函數(shù)的隱零點問題(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、不含參函數(shù)的隱零點問題已知不含參函數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有：①關系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點問題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有①有關系式成立，該關系式給出了的關系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關.3、函數(shù)零點的存在性（1）函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得.①若，則的零點不一定只有一個，可以有多個②若，那么在不一定有零點③若在有零點，則不一定必須異號(3)若在上是單調函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一.二、典型題型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上單調性；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），(1)討論函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若恒成立，求函數(shù)的零點的取值范圍．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的導數(shù)；(2)若對任意的，，使得成立，求a的取值范圍；(3)設函數(shù)，若在區(qū)間上存在零點，求a的最小值．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點個數(shù)．3．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．4．（23-24高三下·河南信陽·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.5．（23-24高三下·北京·開學考試）已知函數(shù)，.(1)討論的單調性；(2)設，，求證：當時，有且僅有兩個不同的零點.6．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）已知函數(shù).(1)當時，求在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，討論函數(shù)零點的個數(shù).專題09利用導函數(shù)研究函數(shù)的隱零點問題(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、不含參函數(shù)的隱零點問題已知不含參函數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有：①關系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點問題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設方程的根為，則有①有關系式成立，該關系式給出了的關系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關.3、函數(shù)零點的存在性（1）函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得.①若，則的零點不一定只有一個，可以有多個②若，那么在不一定有零點③若在有零點，則不一定必須異號(3)若在上是單調函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一.二、典型題型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上單調性；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）先求導函數(shù)，結合指數(shù)函數(shù)的單調性分區(qū)間討論即可；（2）分離參數(shù)，構造新函數(shù)利用導數(shù)研究其單調性與最值結合隱零點計算即可.【詳解】（1）由，在時，，若，即在區(qū)間上單調遞增；若，即在區(qū)間上單調遞減；若，令，令，可知在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：時，在區(qū)間上單調遞增；時，在區(qū)間上單調遞減；時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）根據(jù)題意可知恒成立，設，則，令，則定義域上單調遞增，易知，即，使得，即時，，此時單調遞減，時，，此時單調遞增，則，所以，即2．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），(1)討論函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若恒成立，求函數(shù)的零點的取值范圍．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)探討單調性，進而求出零點個數(shù).（2）由（1）的結論，按分段討論給定不等式，構造函數(shù)并利用導數(shù)探討單調性建立不等式求解即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，求導得，而，由得，由得，因此函數(shù)在上遞減，在遞增，又當時，恒成立，，因此函數(shù)在存在唯一零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)是1.（2）由（1）知函數(shù)存在唯一零點，且，①當時，，由得：，即，設，求導得，在上單減，則，解得；②當時，由得：，即，設，求導得，而，則，在上單增，則，解得，綜上得的取值范圍是.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的導數(shù)；(2)若對任意的，，使得成立，求a的取值范圍；(3)設函數(shù)，若在區(qū)間上存在零點，求a的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)1.【分析】（1）求出函數(shù)，再結合復合函數(shù)求導法則求導即得.（2）求出函數(shù)在上的最小值，在上的最大值，再由給定恒成立建立不等式求解.（3）求出函數(shù)，由分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討值域即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，則，由，求導得，所以函數(shù)的導數(shù)是.（2）函數(shù)，求導得，，，則，，函數(shù)在上單調遞增，于是．又，則在上也是單調遞增，，由對任意的，，使成立，等價于，因此，解得，所以實數(shù)a的范圍是．（3）依題意，，由，得，令，，求導得，令，，求導得，即函數(shù)在上單調遞增，顯然，，則存在唯一的，使得，即，即，，則當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在單調遞增，因此，當時，令，求導得，令，當時，，即函數(shù)在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，于是當時，，而函數(shù)在上遞減，值域為，因此當時，函數(shù)無最大值，值域為，函數(shù)在的值域為，要使在存在零點，則，所以a的最小值為1．【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，①若，，總有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故；④若，，有，則的值域是值域的子集．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點個數(shù)．【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解方程，（2）求導，分類討論求解函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調性，結合最值求解.【詳解】（1）依題意，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）令，故，令，，令，．①當時，，在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，在上有唯一的零點，設為，即．在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，在上有且只有一個零點，在上無零點；②當時，單調遞減，又，在內(nèi)恰有一零點；③當時，為增函數(shù)，，單調遞增，又，所以存在唯一，當時，遞減；當時，遞增，，在內(nèi)無零點．綜上所述，曲線與曲線的交點個數(shù)為2．【點睛】方法點睛：本題考查了導數(shù)的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導數(shù)求單調性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性，進而可判斷原函數(shù)的單調性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉化.無論是那種方式，都要敢于構造函數(shù)，構造有效的函數(shù)往往是解題的關鍵.三、專項訓練1．（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當時，求證：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)，進行分類討論即可求出單調性.（2）先對證明式子進行化簡，再令新函數(shù)，求解函數(shù)的單調性和最小值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．因為，所以，由得或．①當時，，所以或，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，，則在上單調遞增；③當時，，所以或，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；時，在上單調遞增；時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）等價于．當時，，則當時，，即證，令，則．而，令，因為函數(shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增．存在，使得，即，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，所以，所以，即，所以.【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的問題，要先對證明式進行等價轉化，構造新函數(shù)，在求的單調性過程中，根據(jù)零點存在定理找到的隱零點，最后再求的最小值即可證明.2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且在點處的切線的斜率為．設函數(shù)的最大值為．(1)求的值；(2)求證：；(3)若不等式，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)2.【分析】（1）根據(jù)題意，求導可得，再由導數(shù)的幾何意義即可得到結果；（2）根據(jù)題意，將函數(shù)最值問題轉化為隱零點問題，然后求導得最值，代入計算，即可證明；（3）根據(jù)題意，令，將不等式問題轉化為最值問題，結合函數(shù)的單調性以及零點存在定理，轉化為零點問題，再結合（2）中的結論，再由導數(shù)的應用代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以．（2）證明：由（1）可知，，且的定義域是，所以，令，則，所以在上單調遞減，即在上單調遞減，且，，由零點存在定理可得，使得，即，即，且當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)的最大值在上單調遞增，所以．（3）令，所以，令，則，所以在上單調遞增，所以在上單調遞增，且，當時，，所以當時，，由零點存在定理可得，，使得，即，即即，且當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的最小值為．由（2）知，，所以，設，所以，所以在上單調遞增，所以，即，所以，所以的最小值．又不等式，所以，所以的最大值為2．【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題以及函數(shù)零點問題，難度較大，解答本題的關鍵在于將隱零點問題轉化為函數(shù)的最值問題.3．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增(2)【分析】（1）當時，求得，結合的單調性和，進而求得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求得，設，求得，得到在上單調遞增，得出存在使得，得到，轉化為，設函數(shù)，利用導數(shù)求得在上單調遞減，結合，求得的取值范圍為，再設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.【詳解】（1）當時，函數(shù)，可得，由函數(shù)在上單調遞增，且，所以當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增．（2）由函數(shù)，可得，其中，當時，設，則，所以在上單調遞增，且當時，，當時，，所以由零點存在定理得存在唯一的使得，即，即，且在上單調遞減，在上單調遞增．當時，，當時，，因此要使函數(shù)有兩個不同的零點，則只需，即，設函數(shù)，則，則在上恒成立，所以在上單調遞減，而，故由得，故的取值范圍為，而，設函數(shù)，則，所以在上單調遞增，故的值域為，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數(shù)或；②，構造函數(shù)或；③，構造函數(shù)或.4．（23-24高三下·河南信陽·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)定義域可化簡函數(shù)，構造新函數(shù)，即求的解集即可，而，所以解集為．（2）引入隱零點x0，利用導數(shù)得到在上單調遞減，在上單調遞增，最后得到的范圍.【詳解】（1）的定義域為∴當時，，令，．當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，則不等式的解集為．（2）當時，，令，恒成立，則在上單調遞增，又，，存在唯一的使，且，所以當時，，由，則在上單調遞減，當時，，由，（分開考慮導函數(shù)符號）當時，在上單調遞增，則，所以當時，，所以在上單調遞增，所以，由題意則，設，則在上恒成立，所以在上單調遞增，此時，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是構造新的函數(shù)，并利用隱零點法求解的范圍..5．（23-24高三下·北京·開學考試）已知函數(shù)，.(1)討論的單調性；(2)設，，求證：當時，有且僅有兩個恒成立，在上沒有零點.綜上所述，在只有兩個零點.【點睛】思路點睛：考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系，利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題，考查數(shù)形結合思想的應用．6．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）已知函數(shù).(1)當時，求在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，討論函數(shù)零點的個數(shù).【答案】(1)(2)(3)有且僅有個零點【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得在上恒成立，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求出參數(shù)的取值范圍；（3）首先可得與是的兩個零點，再利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理判斷即可.【詳解】（1）當時，，所以，，