2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章三角函數(shù)7.4三角函數(shù)應(yīng)用學(xué)案蘇教版必修第一冊(cè)

7.4三角函數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2．體會(huì)三角函數(shù)是描述周期改變現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(難點(diǎn))1．通過(guò)建立三角模型解決實(shí)際問(wèn)題，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．借助實(shí)際問(wèn)題求解，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).生活中普遍存在著周期性改變規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替、四季輪回、潮漲潮散、云卷云舒，心情的起起落落，庭前的花開(kāi)花謝，一切都逃不過(guò)數(shù)學(xué)的眼睛！我們須要學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象．學(xué)問(wèn)點(diǎn)1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念設(shè)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移s和時(shí)間t的關(guān)系為s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物體振動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離，稱為振動(dòng)的振幅；往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間T＝eq\f(2π,ω)稱為這個(gè)振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為振動(dòng)的頻率；ωt＋φ稱為相位，t＝0時(shí)的相位φ稱為初相．1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y＝eq\f(1,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,12)))的振幅為_(kāi)_______，周期為_(kāi)_______，頻率為_(kāi)_______，初相為_(kāi)_______．eq\f(1,4)6eq\f(1,6)－eq\f(π,12)[由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)概念可知，A＝eq\f(1,4)，T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,6)，初相φ＝－eq\f(π,12).]學(xué)問(wèn)點(diǎn)2三角函數(shù)的應(yīng)用(1)三角函數(shù)模型的應(yīng)用①依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的圖象求出函數(shù)解析式．②將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)潔函數(shù)模型．③利用收集的數(shù)據(jù)，進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型．(2)解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟在函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系？[提示]A，b與函數(shù)的最大值ymax，最小值ymin關(guān)系如下：(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；(2)A＝eq\f(ymax－ymin,2)，b＝eq\f(ymax＋ymin,2).2.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))的周期為π.()(2)一個(gè)彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為0.4s，振幅為5cm，則該振子在2s內(nèi)通過(guò)的路程為50cm.()(3)電流強(qiáng)度I(A)隨時(shí)間t(s)改變的關(guān)系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，則當(dāng)t＝eq\f(1,200)s時(shí)，電流強(qiáng)度I為eq\f(5,2)A．()[提示](1)錯(cuò)誤．函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))的周期為2π.(2)錯(cuò)誤．一個(gè)周期通過(guò)路程為20cm，所以2s內(nèi)通過(guò)的路程為20×eq\f(2,0.4)＝100(cm)．(3)正確．[答案](1)×(2)×(3)√類(lèi)型1三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用【例1】已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)間t(s)的改變規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并回答下列問(wèn)題．(1)小球在起先振動(dòng)(t＝0)時(shí)的位移是多少？(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？[解]列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示．(1)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球起先振動(dòng)時(shí)的位移是2eq\r(3)cm.(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和－4cm.(3)因?yàn)檎駝?dòng)的周期是π，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是πs.物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)可用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表示位移y與x的改變規(guī)律，各個(gè)參數(shù)(A、ω、φ、T、f)的意義是什么？[提示]在物理學(xué)中，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)可用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表示物體振動(dòng)的位移y隨時(shí)間x的改變規(guī)律，A為振幅，表示物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，T＝eq\f(2π,ω)為周期，表示物體往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間，f＝eq\f(1,T)為頻率，表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知電流I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖．(1)依據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)假如t在隨意一段eq\f(1,150)秒的時(shí)間內(nèi)，電流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？[解](1)由圖知，A＝300.eq\f(T,2)＝eq\f(1,180)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＝eq\f(1,150)，∴T＝eq\f(1,75)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝150π.I＝300sin(150πt＋φ)．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)，0))為第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，∴150π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,6)，∴所求解析式為I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)．(2)由題意T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)，∴ω≥300π≈942.4，∴所求ω的最小正整數(shù)值是943.類(lèi)型2三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用【例2】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，推斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？[解](1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6)，又t＝0時(shí)，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3時(shí)，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為eq\f(1,2)，函教解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y>1時(shí)，才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，coseq\f(π,6)t>0,2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)沖浪愛(ài)好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即9<t<15.(變條件)若將本例中“大于1米”改為“大于1.25米”，結(jié)果又如何？[解]由y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1.25得coseq\f(π,6)t>eq\f(1,2)，2kπ－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即12k－2<t<12k＋2，k∈Z.又0≤t≤24，所以0≤t<2或10<t<14或22<t≤24，所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有4個(gè)小時(shí)沖浪愛(ài)好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即10<t<14.解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟提示：關(guān)注實(shí)際意義求準(zhǔn)定義域．類(lèi)型3數(shù)據(jù)擬合模型的應(yīng)用【例3】某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是有關(guān)時(shí)間與水深的數(shù)據(jù)：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0依據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函數(shù)y＝Asinωt＋b的圖象．(1)試依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y＝Asinωt＋b的表達(dá)式；(2)一般狀況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5m時(shí)是平安的，假如某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠平安進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天平安離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間(忽視進(jìn)出港所用的時(shí)間)?[解](1)從擬合曲線可知：函數(shù)y＝Asinωt＋b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9－3＝6(h)，此為半個(gè)周期，∴函數(shù)的最小正周期為12h，因此eq\f(2π,ω)＝12，ω＝eq\f(π,6).又∵當(dāng)t＝0時(shí)，y＝10；當(dāng)t＝3時(shí)，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函數(shù)的表達(dá)式為y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時(shí)，水深y應(yīng)大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，可得sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)t≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，則1≤t≤5，取k＝1，則13≤t≤17；而取k＝2時(shí)，25≤t≤29(不合題意，舍)．從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨1時(shí)(1時(shí)到5時(shí)都可以)進(jìn)港，而下午的17時(shí)(即13時(shí)到17時(shí)之間)離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16h.用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖起了關(guān)鍵的作用．解決這類(lèi)題目的步驟如下：(1)搜集實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)，作出“散點(diǎn)圖”；(2)視察散點(diǎn)圖，用三角函數(shù)模型擬合散點(diǎn)圖，得到函數(shù)模型；(3)通過(guò)圖象或解析式探討函數(shù)的性質(zhì)；(4)用得到的性質(zhì)解決提出的實(shí)際問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(0≤t≤24，單位：時(shí))而周期性改變，每天各時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t(時(shí))03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)視察圖，從y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)假如確定在一天內(nèi)的7時(shí)至19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試支配恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．[解](1)描出所給點(diǎn)如圖所示：(2)由(1)知選擇y＝Asin(ωt＋φ)＋b較合適．令A(yù)＞0，ω＞0，|φ|＜π.由圖知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，則sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2)，則－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(πt,6)≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，留意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.再結(jié)合題意可知，應(yīng)支配在11時(shí)到19時(shí)訓(xùn)練較恰當(dāng)．1．函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分別是()A．3π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6) B．6π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6)C．3π，3，－eq\f(π,6) D．6π，3，eq\f(π,6)D[y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅為3，初相為eq\f(π,6).]2．如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)回一次須要的時(shí)間是()A．0.2s B．0.4sC．0.8s D．1.2sC[由圖象知周期T＝0.8－0＝0.8，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)須要0.8s來(lái)回一次．]3．某人的血壓滿意函數(shù)式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時(shí)間(單位：分鐘)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為_(kāi)_______．80[因?yàn)門(mén)＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80.]4．一根長(zhǎng)lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球搖擺時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速