高考數(shù)學復習壓軸題：有關(guān)三角形中的范圍問題（新高考地區(qū)專用）

專題26有關(guān)三角形中的范圍問題

【方法點撥】

1.正弦平方差公式sin*2a3—sin2p=sin(a-P)sin(a+P).

2.化邊、化角、作高三個方向如何選擇是難點，但一般來說，涉及兩內(nèi)角正切間的等量關(guān)系

時作高更簡單些.

【典型題示例】

,,11

例1在銳角△ABC中，a--b2=bc,則------------+2sinA的取值范圍為

tanBtanA

【答案】

【解析】Va2-b2=bc,利用正弦定理可得：sin2A-sin2B=sinBsinC,

由正弦平方差公式得$111(人一5)5111(人+5)=011150111。，

即sin(A-B)sinC=sinBsinC,

易知sinCwO,故sin(A-B)=sinB

又5c為銳角三角形，??.A—5=5,即A=26,

TC

0<25<-

2nrn7i,n

：.—<B<—,—<A<—

TC6432

Q<7i-3B<—

2

11sin1

----------------+2sinA=—-------^+2sinA=------+2sinA

tan5tanAsinBsinAsinA

又工<A<工，.?.且<sinA<l,令/=sinA—<t<l，貝i|=1+2f—<Z<1

3222v7r2

由對勾函數(shù)性質(zhì)知，；+在fe

—,1上單調(diào)遞增,

\27

又于田*限/⑴[+2x1=3,

l2一J6

2

--——i-2sinAG

sinA

例2若AA5c的內(nèi)角滿足sinA+&sinB=2sinC,貝UcosC的最小值是.

【答案]吟至

【分析】將已知和所求都“化邊”，然后使用基本不等式即可.所求COS。的最值可想到余弦

q2z_2_2_

定理用邊進行表示，cosC=-----------------,考慮sinA+，2sinB=2sinC角化邊得到：

lab

a+42b=2c,進而消去c計算表達式的最值即可

【解析】VsinA+^/2sin3=2sinC.

由正弦定理可得a+y[2b=2c,即產(chǎn),

次+加一/a+"（2）3片+2〃一2娘M2加-Z7-2也45#―小

cosC—2ab~lab~8ab~8ab~4'

當且僅當34=2/即號=寵時等號成立.

**?cosC的最小值為也4

111

例3在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C,則氤彳十而萬十高石的最

小值為.

【答案】叵

2

【解析一】（作高線，化斜為直，角化邊）由正弦定理，得：21+62=202,

如圖，作BD_LAC于D,設(shè)AD=x,CD=y,BD=h,

因為24+方2=202,所以，2（y2+/z2）+（x+y）2=2（X2+/z2）,化簡，得：

x2-2xy-3y2=0,解得：x=3y

B

tanA+tanC-1-tanAtanC_1

tan(A+C)=-tanB,------------------=-tanB,

1-tanAtanCtanA+tanCtanB

h2i

11111tanAtanC—1xyxy

--------1----------1----------------1--------H-------------------------1-----F------

tanAtanBtanCtanAtanCtanA+tanChhhh

—i—

%y

4y"3/_13yh屈

■-I----------1------2-------.

h4yh4/14y2

【解析二】(邊化角)

由正弦定理,得：2/+。2=2。2,即2(/+c2_/)=3氏

由余弦定理得：4/JCCOSA=3￡>2,即4ccosA=36,

由正弦定理，得：4sinCcosA=3sinB,即4sinCcosA=3sinQ4+C),化簡得tanC=3tanA,

以tanA主元，化簡一-—?—-—+―--W—tanA+—————>zEtan一”

tan"tan5tanC412tan/V412tan2'

例4在AABC中，角所對的邊分別為"c，若a?+〃+202=8,則AABC的

面積的最大值為

【答案】

5

【解析一】（余弦定理+二次函數(shù)）

看到式子/+b2+2c2=8的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想余弦定理得:

a2+b2-c23a2+3b2-832

cosC=>

2ab4ab2ab

i13253

所以片--(^)2sin?C<—(ab)21-(—~—)2=--(ab)2+—ab—l

1QAQIC

當加二時，fL-AA6C的面積的最大值為

【解析二】（三角形中線長定理+基本不等式）

設(shè)8C邊上的中線為AM,則2（/+/）=02+4加〃

Va2+b2+2c2=8A?2+Z?2=8-2c2

代人得：2（8-2C2）=C2+4AM2,即5c2+4AAf2=i6

22

根據(jù)基本不等式得：5c2+44/=16>2y15cx4AM=4小AM-c

又因為三角形一邊上的中線不小于該邊上的高

所以461加式28君5

所以1628百S,S〈詈，當且僅當中線等于高，即中線垂直于底邊時，等號成立，此

時AABC的面積的最大值為'.

【解法三】（隱圓）

以48的中點為原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

222

設(shè)A（一/0）,2他。）,C（x,y）,則由a+Z>+2c=8,得g—92+,2+^+§2+1+2c2

=8,即f+y2=4等2,所以點C在以原點（0,0）為圓心，'/4一"2為半徑的圓上,所以s肯

【鞏固訓練】

1.（多選題）在△ABC中，角A5c的對邊分別為名4c,若/=b2+bc，則角A可為

()

3兀兀7萬2萬

A.—B.-C.--D.—

44123

什A—C

2.在△ABC中，右COS-=--2-s-in-則cosB的最小值是.

2

3.已知AABC中，sinA+2siaBcosC=0,則tanA的最大值是()

A.BB.C.6D.拽^

333

4.若AABC的內(nèi)角滿足sinA+sin3=2sinC,則角C的最大值是.

5.已知在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若。2=q（a+c）,則

——吧”—的取值范圍是（）

bcosA-acosB

A（0，*）B.g,與）yD.

6.在銳角△ABC中，角力，B,C的對邊分別是a,b,c,a=l,Z?cosA-cosB=l,當

A,B則變化時，sinB-24sin2A存在最大值，則正數(shù)2的取值范圍為.

B.

D.

7.在ZMBC中，設(shè)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若&a,b,c成等差數(shù)列，則

高+福的最小值為

8.在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、6、c,且滿足從一"=*,則

---三的取值范圍為__________.

tanAtanB

2s

9.在銳角AABC中，角A,民C的對邊分別為a,dc,AABC的面積為S,若sin(A+C)=1—

則tanC+J"的最小值為()

2tan(B-C)

A.0B.2C.1D.2^2

【答案或提示】

1.【答案】BC

【解析】a2=b2+be利用正弦定理可得：sin2A-sin2B=sinBsinC?

由正弦平方差公式得sin(A—5)sin(A+5)=sin5sinC,

即sin(A-B)sinC=sinBsinC,

易知sinCwO,故sin(A-jB)=sin_B

A-B=B'即A=25

12

V0<A+B</r,；.0<A+—A<%,：.0<A<-7r,故選：BC.

23

1

2.【答案】2

AC.A.C7i—A.—C

【提示】已知可化為cos—cos——I-sin-sin一=2sin

22222

AC1

=2cos-C弦化切得tan—tan—=—

2222223

1-tan—tan—1-tan—tan一

22V22

AC-I~AC3

tan-+tan-2Jtan—?tan-

22V22

B<—,cosB>—.

2632

3.【答案】A

【提示】化邊、化角、作高三個方向均可解決.

7T

4.【答案】-

3

【解析】由5指4+51115=25111。可得：a+b=2c,c=a+

2

33721。323/1〃

—a2+—b——ab7—a--b~—cib

a2b2-c22A1

cosC=4422丫442」

lablablablab2

：cosC在（0,乃）遞減，0<C<?

5.【答案】C

【解析】由"之=。3+。）得：sin2B=sin2A+sinAsinC,即sin?8—sin?A=sinAsinC

即sin（B+A）sin（B-A）=sinAsinC,

而sin（5+A）=sinCw0,所以sin（jB-A）=sinA

又△ABC為銳角三角形，??.5—A=A,即6=2A,

TV

0<2A<-

27171

—<A4<—

64

0<^--3A<-

2

asinAsin2Asin2A..(10

-------------------=-----------------------------=--------------=sinAG—,——

bcosA-acosBsinBcosA-sinAcosBsin(B-A)122,

6.【答案】A

【解析】由Q=1,Z?COSA-COSJB=1得：bcosA-acosB=a

根據(jù)正弦定理得：sin5cosA-sinAcosB=sinA,即sin(5—A)=sinA

又5c為銳角三角形，：.B-A=A,即5=2A,

TV

0<2A<-

n.7i兀c.

2—<A<——<2A<—n

TV6432

0<7T-3A<-

2

sinB-22sin2A=sin2A-2(1-cos2A)=sin2A+2cos2A-2

=A/1+^2sin(2A+^>)-/l(tan0=2)

*/—<2A<—

32

...欲使sinB-Z^sin?A存在最大值，必有2A+0='

0<,故tanO<tan。=X<tan工，BP0<2<

663

7.【答案】2(遮+1)

【解析】由題得2b=&a+c,cosB=n+c~b=~"。+?),

2ac2ac

所以cosB=獷+產(chǎn)窕n2J”沁梟="，所以0<B<750,.0<sinS<叵,

2ac2ac44

因為2sinB=V2sinX+sinC,???V^sinZ+sinC<耳+、,■1Aqi二4

276+72

-2-

LLLAr-,2sinA.3sinC4、歷卜sin43sinC

百斤以3iV2>(31V2、V2sirii4+sinC_4V2+sinC+sinA>\sinCsinA_4yf2+2\[6_

sinAsinC—'sinAsinC，，+丁，+丁一仿+丁，+丁

~'2-~~2~-2~~~2~

2(V3+1).

故答案為：2(V3+1).

8.【答案】

【分析】由余弦定理化簡已知式，再由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換得3=2A,

由銳角三角形求得48的范圍，待求式切化弦，通分后利用已知條件化為一二，由正弦函

smB

數(shù)性質(zhì)可得范圍.

【解析】因為Z?2-Q2=QC，由余弦定理得A?=〃2+。2_2QCCOS5,

所以ac=—2accosB,c=2acosB+a,

由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA,

所以sinA=sin(A+B)-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB

=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)，

因為△ABC為銳角三角形，所以A=3—A,B=2A,C=%—3A,

由4B,C€(0，D，得BG

11_cosAcosB_sinBcosA