高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形圖形類問(wèn)題（十大題型）（原卷版+解析）

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問(wèn)題

目錄

方法技巧總結(jié)

解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題;

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更

加直觀化.

必考題型舊納

題型一：妙用兩次正弦定理

例1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四邊形A3CD中/BAC=9(r,ZABC=300,ADLCD,設(shè)NACD=。.

(1)若AABC面積是AACD面積的4倍，求sin26；

jr

(2)若ZAD2=一,求tan。.

例2.(2023?湖北黃岡?高一統(tǒng)考期末)如圖，四邊形ABCD中/3AC=90。，ZABC=60°,AD1CD,設(shè)

ZACD=3.

(1)若AABC面積是AACD面積的4倍，求sin20;

(2)若tanZADB=-,求tan。.

2

例3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在①AB=2AD,②sinZACB=2sinZACD,③邑.=2S通⑺這三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

已知在四邊形A8CZ）中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且______.

（1）證明：tanNABC=3tanNBAC；

（2）若AC=3,求四邊形ABC。的面積.

變式1.（2023.甘肅金昌.高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在平面四邊形A8C。中,

JT37r

ZBCD=-,AB=1,ZABC=—.

Q）當(dāng)BC=也,CD=a時(shí),求△ACD的面積.

JT

⑵當(dāng)ZAOC=—,AO=2時(shí)，求tanZACB.

TT27r

變式2.（2023?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，ZBCD=~,AB^1,ZABC=-.

A

(1)若8C=2,C￡>=J7,求AACO的面積;

JT

⑵若Z.ADC=—,AD—2,求cosZACD.

變式3.(2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在平面四邊形ABCD中，ZABD=ZBCD=90°,/DAB=45。.

(1)若AB=2,ZDBC=30°,求AC的長(zhǎng);

3

(2)若tan/BAC=-,求tan/￡>3c的值.

4

變式4.(2023?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期末)在①———=22“_2，@sinB-cosB=^b~a,③AABC的

cosBcosCa+c-bc

面積

S=^^b(6sinC+ctanCcosB)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.

在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,己知.

⑴求角C；

(2)若點(diǎn)。在邊AB上，且B￡?=2AD,cos2=《，求tan/BCD

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

變式5.(2023?廣東深圳?深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))記AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,

已知bcosA—acosB=b—c.

⑴求A；

(2)若點(diǎn)。在8C邊上，且CD=28。，cosB=—,tanABAD.

3

變式6.(2023?廣東揭陽(yáng)?高三?？茧A段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且

2cosA(ccosB+bcosC)=a.

⑴求角A;

(2)若。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=no°,ZA<9C=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.

題型二：兩角使用余弦定理

例4.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，四邊形A3CD中，cos/R4O=g,AC=AB=3AD.

⑴求sinNAB。；

⑵若/BCD=90。,求tan/CBD.

例5.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=&C=6.

⑴求證：sinC=百sinA；

(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形A8C￡>的面積.

例6.（2023?河北?校聯(lián)考一模）在AABC中，AB=4,AC=26,點(diǎn)。為3c的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)

E,使AE=3DE.

（1）若DE=1,求的余弦值；

JT

⑵若ZA2C=“求線段班的長(zhǎng).

變式7.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

2cos22c=3-5cos21等-c]

⑴求角C；

AC

⑵若點(diǎn)。在AB上，BD=2AD,BD=CD,求大的值.

變式8.（2023?浙江舟山?高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,

ADsinD=2CDsinB.

⑴求證：BC=2CD；

(2)若AD=BC=2,ZA￡>C=120',求A3的長(zhǎng)度.

題型三：張角定理與等面積法

例7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知△ABC中，。，仇c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

2?sinA=（2Z>+c）sinB+（2c+/?）sinC.

（1）求角A的大??；

（2）設(shè)點(diǎn)。為8C上一點(diǎn)，AD是“LBC的角平分線，且AD=2,b=3,求“IBC的面積.

例8.（2023?貴州黔東南?凱里一中校考三模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

2osinA=(2/?+c)sinB+(2c+^)sinC.

(1)求A的大?。?/p>

(2)設(shè)點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，AD是△ABC的角平分線，且AD=4,AC=6,求△ABC的面積.

例9.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在"LBC中，設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且

(c-6)sinC=(a—6)(sinA+sinB).

(1)求A；

(2)若。為BC上點(diǎn)，AD平分角A,且人=3,AD=6,求器.

變式9.(2023?安徽淮南?統(tǒng)考二模)如圖，在AABC中，AB=2,3sin2B-2cosB-2=0.且點(diǎn)。在線段BC

上.

⑵若BD=2DC,SmZBAD=4y/2,求△ABD的面積.

sinZCAD

變式10.(2023?江西撫州?江西省臨川第二中學(xué)?？级?如圖，在44BC中，AB=4,cos2=；,點(diǎn)。在

線段BC上.

A

(1)若ZADC=—，求AD的長(zhǎng)；

4

(2)若&)=2DC,AACD的面積為”也，求堊碧2的值.

3smZCAD

變式11.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=asins:coss:-cos2GX+((G＞。)，其圖像上相鄰的

最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為,4+1.

⑴求函數(shù)"X)的解析式；

(2)記AABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,》,c,a=4,bc=12,/(A)=l.若角A的平分線AD交BC于。,

求AD的長(zhǎng).

變式12.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知銳角"RC的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為

sinB-sinC

a,b,c,且一=

b+csinA-sinC

⑴求B；

(2)若。=6，角5的平分線交AC于點(diǎn)D,BD=1,求AABC的面積.

題型四：角平分線問(wèn)題

例10.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))在AABC中，已知AB=5,NBAC的

平分線與邊BC交于點(diǎn)。，/D4C的平分線與邊3C交于點(diǎn)E,cos/EAC=±何.

10

(1)若5C=[AC,求AABC的面積;

(2)若cos/AO3=也，求3C.

10

例11.(2023?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,

已知有(Z?sinC+csinB^-4asinBsinC,b2+c2-a2=S>

(1)求<:。54的值及”15(3的面積；

(2),A的平分線與BC交于。，DC=2BD,求。的值.

例12.(2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在“1BC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是b、c,且

2cosC-sin[g++cosA=0.

(1)求角C的大小；

(2)若NACB的平分線交AB于點(diǎn)。，且CD=2,BD=2AD,求AABC的面積.

變式13.(2023?河北唐山?唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在44BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,a+2b=2ccos]B-：J,角C的平分線交AB于點(diǎn)。，且BD=2幣,AD=A/7.

⑴求，ACB的大小；

⑵求CD

變式14.(2023?廣東深圳?校考二模)記AASC的內(nèi)角A、民C的對(duì)邊分別為a、6、c,已知

..2A2

sinBsinCcos—=2sinA.

2

⑴證明：〃+c=3a；

(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)。，且=土也，黑=:，求AABC的面積.

52

變式15.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)〃在邊8C上,

AM是角A的平分線，asinB=—J§Z?cosA,CM=2.MB.

⑴求A;

⑵若AM=26,求BC的長(zhǎng).

變式16.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在①a=6cosC+且csinB；②c=3這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已

3

知條件，補(bǔ)充在下面的橫線上，并給出解答.

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

已知44BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,點(diǎn)。為3C邊的中點(diǎn)，b=AD=幣,且________.

(1)求。的值；

(2)若—ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,求ABCE的周長(zhǎng).

題型五：中線問(wèn)題

例13.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模)已知AABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且滿足

2csinAcosB+2￡>sinAcosC=幣a,c>a.

(1)求角A；

(2)若匕=2,BC邊上中線AO=J7,求AABC的面積.

例14.(2023?四川內(nèi)江??？寄M預(yù)測(cè))在△ABC中，。是邊BC上的點(diǎn)，NBAC=12(T,=1,平分

ABAC,△A3。的面積是△AC。的面積的兩倍.

(1)求△AC。的面積；

(2)求△A8C的邊BC上的中線AE的長(zhǎng).

例15.(2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考二模)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,a2sinC+3acosC=3&)

A=600.

⑴求。的值；

—,—.1

(2)若=求BC邊上中線AT的長(zhǎng).

變式17.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模)在AABC中，內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,4c,c=2^2sinA=3sin2C.

(1)求sin。；

⑵若聞O勺面積為呼’求,邊上的中線。的長(zhǎng).

n8)+COS(￡+8

變式18.(2023?安徽宣城?安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))AABC中，己知百cos=0.AC

邊上的中線為瓦)

⑴求N3；

(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使44BC存在且唯一確定，并求AC和3D的長(zhǎng)度.

22

條件①：cT-b+c-3c=0:條件②a=6；條件③S4ABe=15g.

變式19.（2023?遼寧沈陽(yáng)?東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，設(shè)AMC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,為BC邊上的中線，已知c=l且2csinAcos8=asinA-Z?sin8+』/?sinC,cosABAD=

47

⑴求b邊的長(zhǎng)度；

（2）求AABC的面積；

⑶設(shè)點(diǎn)E,尸分別為邊48,AC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段所交AD于G,且△AEF的面積為面積的

求而.而的取值范圍.

0

變式20.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考三模）在①戾也氣一=asinB；②出4sinB=A（2-cosA）這兩個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答.

問(wèn)題：己知AABC中，。也。分別為角A,8,C所對(duì)的邊，.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）已知AB=2,AC=8,若BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,求/A/PN的余弦值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

題型六：高問(wèn)題

例16.（2023?海南海口?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,

a-6,bsin2A=4若sinB.

冗

（1）若6=1,證明：C=A+-；

（2）若8C邊上的高為半，求AABC的周長(zhǎng).

例17.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,m=（sinB,sinC+cosC）,

一-1

n=(cosC-sinC,cosB),m-n=—

2

⑴求sin2A；

(2)若a=3,5c邊上的高線長(zhǎng)近—1,求sin^sinC.

例18.（2023?四川自貢?統(tǒng)考三模）△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,b2+c2=a2+bc.

⑴求A；

（2）若BC上的高AD=—a，求cosBcosC.

變式2L（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為eb,c,且

c-y/3bsinA=a+c——2——b.

2c

⑴求A;

（2）若b=：c,且BC邊上的高為2班，求a.

變式22.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知41BC中，點(diǎn)。在邊A3上，滿足前=彳

且cosg=1，，ACA￡）的面積與△CBD面積的比為2?:3.

⑴求sinA的值；

⑵若AB=5,求邊A3上的高CE的值.

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用

例19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且3c2=6+8〃.

⑴求cosB的最小值；

⑵若M為“BC的重心，ZAMC=90°,求理二等.

smZCMB

例20.（2023?河南開封?開封高中校考模擬預(yù)測(cè)）記AABC的內(nèi)角A民。的對(duì)邊分別為。涉,。，已知

小asinB-acosC=ccosA,b=底,G為△ABC的重心.

（1）若4=2,求。的長(zhǎng)；

（2）若AG=占，求"RC的面積.

3

例21.（2023?廣西欽州?高三校考階段練習(xí)）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

acosB+布asinB=c+b.

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若〃=3,點(diǎn)G是的重心，且AG=?，求AABC內(nèi)切圓的半徑.

變式23.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)〃，b,c分別為AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，AO為5C邊上的中

線，c=l,ABAC=—,2csinAcosB=asinA—bsinB+—bsinC.

2

⑴求AZ）的長(zhǎng)度;

(2)若E為AB上靠近2的四等分點(diǎn)，G為AABC的重心，連接EG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)凡求AF的長(zhǎng)度.

變式24.(2023?四川內(nèi)江?高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥?&4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為

7乙1.B+C

a,b,c,a=o,bsm-----=asmB.

2

(1)求A的大小；

⑵M為AABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交3C于點(diǎn)Q,,求44BC的面積.

請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使AABC存在，并解決問(wèn)題.

①M(fèi)為AABC的重心，AM=2^3；

②M為44BC的內(nèi)心，AD=3y/3；

③M為AABC的外心，AM=4.

變式25.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①2acosA=6cosC+ccosB；②tan8+tanC+石=V§\anBtanC這

兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.

在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若AABC為銳角三角形，且其面積為占，點(diǎn)G為"LBC重心，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段A3

2

上，旦AN=2NB,線段與線段CN相交于點(diǎn)P,求|不|的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案解答計(jì)分.

題型八：外心及外接圓問(wèn)題

例22.(2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模)在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,

b,c是公差為2的等差數(shù)列.

(1)若2sinC=3sinA,求的面積.

(2)是否存在正整數(shù)6,使得AABC的外心在AABC的外部?若存在，求6的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

例23.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在△ABC中，三內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為“，b,c,a=6.

(1)求bcosC+ccosB的值；

(2)若。是△ABC的外心，且退.%+辦+&.女=6，求AABC外接圓的半徑.

4

例24.(2023?全國(guó)伺三專題練習(xí))在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c；36=4c,cosC=-.

(1)求cosA的值；

(2)若AABC的外心在其外部，a=7,求44BC外接圓的面積.

變式26.(2023?高三統(tǒng)考階段練習(xí))在AABC中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的三邊分別為。，b,c,

(tanA+l)(tanB+l)=2,°=2夜，a=2,。為AABC的外心，連接(M,OB,OC.

(1)求鉆的面積；

(2)過(guò)B作AC邊的垂線交于。點(diǎn)，連接0。，試求cos/OBD的值.

題型九：兩邊夾問(wèn)題

例25.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,若

cosA+sinA----------——=0,則小的值是()

sinB+cosBc

A.2B.V3C.72D.1

例26.(2023?河北唐山?高三?？茧A段練習(xí))在AABC中，a、b、c分別是/A、/B、NC所對(duì)邊的邊長(zhǎng).

若cosA+sinA---------——=0,則土吆的值是（）.

cosB+smBc

A.1B.72C.V3D.2

例27.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AA5c中，已知邊所對(duì)的角分別為4民。，若

2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A>貝!JtanA=

變式27.（2023?江蘇蘇州?吳江中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，已知邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,2,C,若

5-2COS25-3COS2C=2sinAsinBsinC+sin?A,貝!JtanA=.

變式28.（2023?湖南長(zhǎng)沙?高二長(zhǎng)沙一中?？奸_學(xué)考試）在A45c中，已知邊。、b、c所對(duì)的角分別為A、

B>C,若a=#,2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A,則AABC的面積S=.

變式29.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，若（《?4+5皿4）（??3+3118）=2,則角C=_.

變式30.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)S是AABC的

面積，若。2+C?-42=短5,則角A的值為.

33

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題

例28.（2023?福建泉州?高三福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角C的對(duì)邊分別為a,b,c,

/為△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)線段4交8C于點(diǎn)。，此時(shí)屈=3而

(2)^ZADB=—,求".

3a

例29.（2023?山西高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=7,

2ccosB=（3a-2Z?）cosC.

⑴求cosC；

（2）若5=2C,M為御。的內(nèi)心，求△AMC的面積.

例30.(2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè))在中，角A,B,C所對(duì)的邊分

別為b,c.已知2sinB=sinA+cosAtanC.

⑴求C的值；

(2)若AABC的內(nèi)切圓半徑為旨，6=4,求a-c.

2

變式31.(2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在々ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,已知

6b=a(V§cosC-sinCj.

(1)求A；

(2)若a=8,AABC的內(nèi)切圓半徑為百，求AABC的周長(zhǎng).

變式32.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知在AABC中，其角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,且滿足

/7cosC+V3Z?sinC=a+c■

(1)若6=石，求AABC的外接圓半徑；

⑵若a+c=4g,且麗?而=6，求AA5c的內(nèi)切圓半徑

變式33.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知44BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,a=7,b+c=13,

內(nèi)切圓半徑廠=君，則tanA=.

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問(wèn)題

目錄

■方法技巧總結(jié)____________________

解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更

加直觀化.

題型一：妙用兩次正弦定理

例1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四邊形ABCD中4BAC=90。，ZABC=30%ADLCD,設(shè)NACD=O.

(1)若AABC面積是AACD面積的4倍，求sin2。；

TT

(2)若NA05=—,求tan。.

6

【解析】(1)設(shè)=則人5=百4,AD=asin3fCD=acosO,由題意8AA5c=45AA⑺，

則L.Ga=4,acose.asine

所以sin20=.

222

BDy/3a

BDA3

(2)由正弦定理，AABD中,即sin(?-6)§1口工①

sinZBAD~sinZADB

~6

BD2a

BDBC7

ABCD中,--------=---------，即.(乃八京②

sinZBCDsinZCDBsiny+

3

①:②得：2sinl|+^j=3sin^,化簡(jiǎn)得

百cos6=2sin6,所以tan0=

2

例2.(2023?湖北黃岡?高一統(tǒng)考期末)如圖，四邊形ABCD中/BAC=90。，ZABC=60°,ADLCD,設(shè)

ZACD=0.

(1)若AABC面積是AACD面積的4倍，求sin2^;

(2)若tanZAr>2=,，求tan8

2

【解析】⑴設(shè)AB=a,

貝ijAC=耳，AD=j3asm0,CD=Acos。,

=

由題意SjBC4SAAC￡),

則—。?百〃=4-cos。?gasin6,

22

所以sin20=

6

BDAB

(2)由正弦定理,在△ABD中,

sinZBAD~sinZADB'

BDa

即sin(?sin/Q5①

BDBC

在△5CD中,

sin/BCDsinZCDB

BD2a

即疝s71sin(1-ZADB)?

6

sin0八，f八y

-7-------三=2tanZADB=1

②：①得:sin仁+8

sin6=sin優(yōu)+"化簡(jiǎn)得cos夕=(2—石)sin8,

所以tan0=24-^/3.

例3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①AB=2AD,②sinNACB=2sinNACD,@SMC這三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

已知在四邊形A8CZ)中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且______.

(1)證明：tanNABC=3tan/BAC；

(2)若AC=3,求四邊形ABC。的面積.

【解析】(1)方案一：選條件①.

ACBCAB

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinABAC~sinZACB

ACCDAD

在AACD中，由正弦定理得,

sinNAT>CsinADAC~sinZACD

因?yàn)镹AFC+NADC=7I,所以sinNABC=sinNADC,

因?yàn)锽C=CZ),所以sin/A4C=sin/ZMC,

因?yàn)镹fiAC+NZMC〈兀，所以/8AC=NZMC,

因?yàn)锳B=2A￡>,所以sinNACB=2sinNACO.

因?yàn)閟inZACB=sin(ZABC+ZfiAC),

sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(ZBAC+TT-ZABC)=sin(ZABC-ABAC},

所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZAfiC-ABAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinZBAC=2(sinZABC-cosABAC—cosZABCsinZBAC),

所以sinNABCcosNfiAC=3cos/ABCsinNBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

方案二：選條件②.

AC_BC

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinABAC'

ACCD

在AACD中，由正弦定理得,

sinZADC~sinZDAC

因?yàn)?ABC+/ADC=7T,所以sin/ABC=sinNADC,

因?yàn)锽C=CD,所以sin/A4C=sin/ZMC.

因?yàn)镹54C+ND4c<兀，所以/BAC=/ZMC.

因?yàn)閟inZACB=sin(ZABC+ZBAC),

sinZACD=sin(ZG4D+ZADC)=sin(ZBAC+n-ZABC)=sin(ZABC-ZBAC),

sinZACB=2sinZACZ),

所以sin(ZABC+ABAC)=2sin(ZABC-ABAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABC-cosABAC-cosZABCsinABAC),

所以sin/ABCcosNBAC=3cos/ABCsinNBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

方案三：選條件③.

因?yàn)閆ABC=g8。AC-sin/AC8,S^CD=JCD?AC?sin/AC￡>,且BC=CD,SLABC=2S^CD,

所以sinNACB=2sinNACD

ACBC

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinZBAC

ACCD

在△AC。中，由正弦定理得,

sinZADCsinZ.DAC

因?yàn)?ABC+/ADC=7t,所以sinNABC=sinNADC,

因?yàn)锽C=C￡>,所以sin/B4C=sin/ZMC,

因?yàn)镹fiAC+NZMCvTi,所以/B4C=/ZMC.

因?yàn)閟inZACB=sin(ZABC+ZBAC),

sinZACD=sin(ZCAD+ZADC)=sin(ZBAC+TT-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),

所以sin(ZABC+ABAC}=2sin(ZABC-ABAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABC-cosABAC—cosZABCsinABAC),

所以sinZABCcosZBAC=3cosZABCsinZBAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

(2)選擇①②③，答案均相同，

由(1)可設(shè)AD=無(wú)，則AB=2x,

在AABC中，由余弦定理得，

信+叱-叱4尤2-5

cosZABC=

2ABBC8x

在AACD中，由余弦定理得,

AD2+CD2-AC1

cosZADC=

2ADCD4x

因?yàn)閏osZABC=cos(7t—ZADC)=—cosZADC,

所以：一］解得A半或一羋（舍去）,

所以cosZABC=

8

376

所以sinZABC=sinZADC=

~8~

所以四邊形ABC。的面積S=35AAe=-ADCZ）sinZADC=^^-.

ZA/1CZ728

變式1.（2023?甘肅金昌?高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面四邊形A8CO中,

7T3冗

ZBCD=-,AB=1,ZABC=——.

24

A

B

Cl--------------------、D

(1)當(dāng)BC=6,CD=彼時(shí),求AACD的面積.

TT

(2)當(dāng)NAOC=—,AD=2時(shí)，求tanZACB.

6

37r

【解析】⑴當(dāng)5cM時(shí)，在△的中，AB^ABC^-

由余弦定理得AC?=AB2+BC2—2ABcos/ABC,

即AC2=3_2^COS￥=5,解得AC=6,

所以cosZACB=AU+'C=6=——3M,

2ACBC2M10

因?yàn)?BCD=：，貝i|sinZACD=cosZACB=

210

又CO="

所以AACD的面積是S.rD=-AC-CDsinZACD=-xA/5x5/7x^^=-Vi4.

s22104

ABAC

(2)在“IBC中，由正弦定理得

sinZACBsinZ.ABC

….3兀

ABsin——

即AC=4

sinZACB2cosZACD

ADACADsin—

在AACD中，由正弦定理得，即AC=61

sinZACDsinZADC

sinZACDsinZACD

31

則,整理得sinZACD=A/2COSZACD，

2cosZACDsinZACD

TV

因?yàn)镹ACD<5,

所以tanNACD=應(yīng),

sin仁-NACO

71cosZACD1

因?yàn)镹3CD二所以tan/AC2=tan15-/ACD

2cos(1-ZACDsinZACDtanZACD2

TT27r

變式2.(2023?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末)如圖，在平面四邊形A3CD中，ZBCD=~^B=1,ZABC=—

A

D

(1)若BC=2,C￡>=?,求AACD的面積;

JT

⑵若Z.ADC=—,AD—2,求cosZACD.

6

【解析】(1)因?yàn)锳B=1,NABC=T，3C=2,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB.AC-cos—=7,即AC=近，

由余弦定理得cosZACB=32=近,

2xACxBC14

所以sinZACD=sin(2—ZAc/=cosZACB=迫，

(2)14

所以△ACD的面積S=、ACxCOxsinNACZ)=X2

24

2AC

AC

(2)在△ADC中，由正弦定理得BPsinZACD~~①,

sinZACDsinZA￡)C

2

_______1_1_AC

ABAC

在AABC中，由正弦定理得即sin]?-/AC。]cosZACDf②,

sinZACBsinZABC

①②聯(lián)立可得=半

因?yàn)樗訡OSNACD=F

變式3.(2023?廣東.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在平面四邊形ABCD中，ZABD=NBCD=90°,ZDAB=45°.

(1)若AB=2,ZDBC=30°,求AC的長(zhǎng)；

3

(2)若tanABAC=—,求tanZDBC的值.

4

【解析】(1)在中，因?yàn)镹D4JB=45。，所以AB=2,

在RUBCZ)中，BC=2cos30。=百，

在AABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+3-2x2xV3cosl200=7+2石，

所以AC=，7+26?

(2)設(shè)ZDBC=a,在RtzkBCD中，BC-BDcosa=2cosa,

因?yàn)閠anABAC=$血＞胡.=」，所以cosABAC=-sinABAC,

cosZBAC43

于是cos?ZBAC+sin2ZBAC--sin2ZBAC=1,

9

因?yàn)?。＜/BAC＜90。，

34

所以sinABAC=—,cosABAC=—,

ABCB

在AABC中，由正弦定理得

sinZACBsinZBAC

22cosa

所以sin(9(T—o—NCAB)-3,

5

3

于是cosacos(a+ZCAB)=—,

即4cos2a-3sinacosa=3,

匚匚24cos2a—3sinacosa4-3tancr0

所以-----Z----------9-------=--------9-=3，

cosa+sina1+tana

因?yàn)?。＜a＜90°,所以tanZDBC=tanor=---------.

6

變式4.(2023?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期末)在①———=22一,,②sing-cos8=?一"，③AABC的

cosBcosCa+c-bc

面積

S=——b(6sinC+ctanCcosB)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.

在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,己知,

⑴求角C；

(2)若點(diǎn)。在邊A3上，且瓦)=2AD,cosB=^,求tan/BCD.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

2

【解析】(1)若選擇①：因?yàn)槎﨡。：『結(jié)合余弦定理COSB="+C'"

cosBcosCa+c-blac

sinA2a2sinAa

---------=---------,即nn------

cosBcosClac-cosBcosCc

由正弦定理可得色=當(dāng)sinAsinA

所以

csinCcosCsinC

又4?0,兀），所以siiM>0,所以=—,即tanC=l,

cosCsinC

又Ce（O,兀），所以C=:；

若選擇②：因?yàn)閟inB-COSB=Y^W,

c

結(jié)合正弦定理可得sinB-cosB=?inB-sinA,

sinC

即sinBsinC—cosBsinC=y/2sinB—sinA=yflsinB—sin［兀一（5+C）］,

=V2sinB-sin（B+C）=V2sinB-（sinBcosC+cosBsinC）,

即sinBsinC=V2sinB-sinBcosC，

又3W（0,TI）,sinB>0,故sinC=0-cos。，即sinC+cosC=0，

所以0sin（c+￡|=0,即sin［c+：j=l,

因?yàn)镃?0,兀），C+：eg,引，所以C+；=5,得C=［；

若選擇③：條件艮sinCsinA=—［sin5