《直線與圓的位置關(guān)系》教案(新人教B必修)

【學(xué)情分析及教學(xué)建議】學(xué)情分析（1）學(xué)生已有知識分析：通過初中平面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生已明確了直線和圓及圓與圓的位置關(guān)系及其幾何特征。又通過前面章節(jié)的學(xué)習(xí)能夠利用直線方程或圓的方程解決有關(guān)問題，具備了一定的應(yīng)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。（2）學(xué)生日常經(jīng)驗分析學(xué)生對直線和圓以及圓與圓的位置關(guān)系的認識在初中主要是通過一定的幾何量來直觀判斷的，缺乏抽象的邏輯思維的培養(yǎng)，即用坐標法通過方程的解的個數(shù)來研究它們交點的個數(shù)進而得到它們的位置關(guān)系，故應(yīng)培養(yǎng)他們應(yīng)用代數(shù)方法解決幾何問題的意識。（3）學(xué)生思維能力小平分析學(xué)生通過半年多的學(xué)習(xí)和知識積累，學(xué)生的學(xué)習(xí)和思維能力得到了較大的提高，理性思維能力得到了進一步的發(fā)展。因此本節(jié)課的教學(xué)在既要傳授新知識的同時，更要以知識為載體將能力的培養(yǎng)滲透到教與學(xué)的各個環(huán)節(jié)中去，使學(xué)生的各項素質(zhì)得到進一步的升華。（4）學(xué)法點津在求解直線和圓的問題時，要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想，盡可能的運用圓的幾何性質(zhì)，使解法簡捷，在判斷直線與圓的位置關(guān)系時，為避免計算量過大，一般不用判別式，與圓與圓的位置關(guān)系的判斷一樣通常采用幾何法，直線與圓的交點問題則常用根與系數(shù)的關(guān)系簡化運算過程。教學(xué)建議（1）重難點分析：本節(jié)教材的教學(xué)重點是能根據(jù)給定直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，能根據(jù)給定兩圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系.以及求圓的切線方程和求直線被圓截得的弦長。難點是對坐標法的思想即通過方程組解的研究來研究曲線間的位置關(guān)系的理解，以及利用直線與圓的關(guān)系求直線方程或圓的方程。（2）教法建議：關(guān)于圓的教學(xué),在進行一般教學(xué)的基礎(chǔ)上，應(yīng)注意下列幾個問題．通過直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系的探究，向?qū)W生滲透分類、數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括、知識遷移的能力；注意加強運動與變化思想的教學(xué)?？陀^事物是不斷運動、變化的，只有從運動和變化的觀點去觀察、研究它們，才能更準確更深刻地反映客觀事物的本質(zhì)．教學(xué)中。應(yīng)加強運動和變化的思想．例如在講點和圓、直線和圓、角和圓、圓和圓的位置關(guān)系時，都可以通過點與圓、直線與圓、角與圓、圓與圓的相對運動，使學(xué)生看到它們的各種不同的位置關(guān)系．在教學(xué)中應(yīng)始終貫穿這樣一種思想：就是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言去描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、處理代數(shù)問題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義最終解決幾何問題。教學(xué)準備:多媒體、投影儀【情景導(dǎo)入】一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？【引導(dǎo)】師：為解決這個問題，我們以臺風(fēng)中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，其中取10km為單們長度，受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程是什么？這艘輪船航行的路線所在直線的方程是什么？生：據(jù)題意知圓的圓心為坐標原點，半徑為3，故其方程為，這艘輪船航行的路線所在直線經(jīng)過（7,0）、（0,4），故直線的方程4x+7y-28=0.師：回答的很好，那么問題輪船是否會受到臺風(fēng)的影響這個實際問題可以轉(zhuǎn)化為什么樣的數(shù)學(xué)問題呢？生：問題可歸結(jié)為直線4x+7y-28=0和圓有無公共點的幾何問題。師：轉(zhuǎn)化的很好，這就是這一節(jié)我們將要學(xué)習(xí)的如何根據(jù)直線和圓的方程來判斷直線和圓的交點個數(shù)即直線和圓的位置關(guān)系，書寫課題：直線和圓的位置關(guān)系。新知探究（一）【引導(dǎo)】師：通過初中學(xué)習(xí)，直線和圓有哪幾種位置關(guān)系？我們是如何判斷直線與圓的這幾種位置關(guān)系的？生：思考并與同桌討論、交流。師:巡視指導(dǎo)糾正學(xué)生語言敘述的不規(guī)范性，同時注意學(xué)生對知識的掌握情況。并用多媒體投影：：若已知圓的半徑為r，圓心到已知直線的距離為d.則：直線與圓的位置關(guān)系――相交、相切、相離。若d<r相交――直線與圓有兩個公共點。若d=r相切――直線與圓只有一個公共點。若d>r相離――直線與圓沒有公共點?！編熒印繋煟焊鶕?jù)我們剛才討論的結(jié)果，我們能否根據(jù)直線和圓的方程利用直線和圓相交、相切、相離的條件來判斷呢？生：討論師：巡視指導(dǎo)，為使學(xué)生明確判斷的方法，可回歸到導(dǎo)入所要解決的問題上去，通過具體問題引導(dǎo)學(xué)生對知識的理解和運用。生答：能。因為若直線和圓的方程確定，那么圓的半徑和圓心到直線的距離都是可求得，從而直線和圓的位置關(guān)系可求。【點拔】師：回答的非常正確，顯然應(yīng)用這種方法可以很簡捷的得出直線和圓的位置關(guān)系。（多媒體投影）判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，即d＜r直線與圓C相交；d＝r直線與圓C相切；d＞r直線與圓C相離。我們把這種方法叫做幾何法?！疽龑?dǎo)】師：通過對直線交點的學(xué)習(xí)，我們可以將求兩直線交點的理論和方法遷移到確定任意兩曲線的交點上去：（多媒體投影）兩條曲線交點的坐標，是這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解?！編熒印繋煟焊鶕?jù)兩曲線交點坐標的這種求法，我們?nèi)绾螐姆匠探M的解的情況來描述直線和圓的位置關(guān)系？生：回想直線和圓的三種位置關(guān)系所對應(yīng)的交點個數(shù)及交點坐標的求法，分小組展開討論。師：巡視指導(dǎo)，并適時引導(dǎo)，如：“我們在前面研究兩直線的位置關(guān)系時，我們是如何通過兩直線方程對應(yīng)的方程組的解來判斷兩直線的位置關(guān)系的？”“若兩直線方程對應(yīng)的方程組有兩解，說明兩直線的位置關(guān)系如何？”生：若直線和圓聯(lián)立的方程組有且僅有一解，說明直線和圓有一個公共點，即直線和圓相切。若有兩解，說明直線和圓有兩個公共點，即直線和圓相交。若方程組無解，說明直線和圓無公共點，即直線和圓相離?！军c拔】師：剛才同學(xué)回答的很好，對知識領(lǐng)會的很到位，一般地（多媒體投影）判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解。如果有解，直線與圓C有公共點。有兩組實數(shù)解時，直線與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線與圓C相切；無實數(shù)解時，直線與圓C相離.我們把這種通過判斷方程組解的個數(shù)來判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法叫做代數(shù)法。（多媒體投影）例1．已知直線:與圓:.試判斷直線與圓的位置關(guān)系。師：請同學(xué)們根據(jù)幾何法完成此題。生：獨立解答，其中有兩同學(xué)板書：（幾何法）圓心(7,1)到直線的距離為,因，故直線與圓相交.【師生互動】師：如何采用代數(shù)方法解答呢？生：就是判斷方程組解的個數(shù)。師：對！初中我們是如何解答此方程組的解的？生：代入消元，變成關(guān)于x或y的一元二次方程，然后通過解一元二次方程從而解出x和y的值?！編熒印繋煟汉芎?，初中我們的目的是解出方程組的具體的解，而我們現(xiàn)在判斷直線與圓的位置關(guān)系只需關(guān)心方程組解的個數(shù)即可，在解x和y的過程中，有很關(guān)鍵的一步就是得到了關(guān)于x或y的一元二次方程，那么這個關(guān)于x或y的一元二次方程的解與方程組的解有何關(guān)系？根據(jù)這種關(guān)系我們能否直接判斷方程組解的個數(shù)？生：結(jié)合上面具體的題目與同桌交流、探討。師：巡視指導(dǎo)，教師也可加入到學(xué)生的討論中去，以便發(fā)現(xiàn)問題，同時在討論中及時引導(dǎo)如：“如何判斷一元二次方程根的個數(shù)”。生：回答教師提出的問題?！军c拔】（多媒體投影）師：應(yīng)用代數(shù)方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般步驟是：聯(lián)立直線和圓的方程組，消元（消去x或y）得到關(guān)于x或y的一元二次方程，當方程的判別式＞0時，方程組有兩解，即直線和圓有兩個交點，即直線和圓相交;＝0時，方程組有一解，即直線和圓有一個交點，即直線和圓相切;當＜0時，方程組無解，即直線和圓無公共點，即直線和圓相距離。師：請同學(xué)們根據(jù)我們的總結(jié)，用代數(shù)法將該題寫出完整的解題步驟。生:解答（多媒體投影）由方程組(Ⅰ)消去后整理，得，∵,∴方程組(Ⅰ)有兩組不同的實數(shù)解,即直線與圓相交.遷移應(yīng)用（一）（多媒體投影）已知直線L:y=x+b,圓的方程：，當b為何值時，直線和圓相交、相離、相切？【引導(dǎo)】師：這是一道直線與圓的位置關(guān)系的變式題，即已知直線和圓的位置關(guān)系確定參數(shù)b的取值范圍的題目，需要我們具有一定的逆向思維的能力和等價轉(zhuǎn)化的能力？第一板塊問題提出解讀一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？這里設(shè)置的一個漁船能否避開臺風(fēng)的實際問題，其目的有二：一是強調(diào)了數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活、生產(chǎn)實際有著密切的聯(lián)系，二是為了說明利用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系的必要性。第二板塊探索求解解讀在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？提出這兩個問題的目的在于說明，判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：一是幾何角度依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系；二是從代數(shù)角度看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解。第三板塊歸納總結(jié)解讀1、判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法1、代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解。如果有解，直線與圓C有公共點。有兩組實數(shù)解時，直線與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線與圓C相切；無實數(shù)解時，直線與圓C相離，即△＞0直線與圓C相交；△＝0直線與圓C相切；△＜0直線與圓C相離。2、幾何法：判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，即d＜r直線與圓C相交；d＝r直線與圓C相切；d＞r直線與圓C相離。2、求兩曲線交點的方法曲線的交點也就是兩條曲線的公共點，求曲線的交點就是求兩條曲線的公共點的坐標。由曲線上點的坐標和它的方程的解之間的對應(yīng)關(guān)系可知，兩條曲線交點的坐標，應(yīng)該是這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解，方程組有幾組實數(shù)解，這兩條曲線應(yīng)有幾個交點；方程組無實數(shù)解，那么這兩條曲線就沒有交點。也就是說，兩條曲線有交點的條件是這兩條曲線的方程所組成的方程組有實數(shù)解。拓展閱讀已知是圓上一點，是過點M的圓切線，如何求方程？方法很多，這里介紹一種：設(shè)是上的任意一點，則，所以，即，整理得，因為，所以的方程為。由此我們可得到一個結(jié)論：過圓上一點的切線的方程為--------------------------①這個結(jié)論可推廣到更一般的情形，即“過圓上一點的切線的方程為”------------②和“過圓上一點的切線方程為”----------------------③以上結(jié)論中，點均在圓上，若點在圓外，情況如何呢？我們知道，自圓外一點可作圓的兩條切線，其中兩切點的連線叫做點關(guān)于此圓的切點弦，于是我們又可得到以下一個結(jié)論：“自圓外一點作圓的兩條切線，則點關(guān)于該圓的切點弦所在的直線方程是”-----------------------④事實上，設(shè)過與圓相切的兩條切線的切點分別是、?！?、在圓上，∴由結(jié)論①可知切線MA、MB的方程分別為、，∵在這兩條切線上，∴且，即點、在直線上，∵過兩點只能確定一條直線，因此點關(guān)于圓的切點弦所在的直線方程是。運用以上四個結(jié)論，可很方便地求解一些選擇題和填空題中有關(guān)求圓的切線和切點弦的問題。網(wǎng)站點擊典型例題解析例1：已知直線:與圓:.(1)判斷直線圓的位置關(guān)系;(2)求直線被圓所截得的弦長.點撥運用代數(shù)法或幾何法求解。解答(1)解法一(代數(shù)法):由方程組(Ⅰ)消去后整理，得,∵,∴方程組(Ⅰ)有兩組不同的實數(shù)解,即直線與圓相交.解法二(幾何法):圓心(7,1)到直線的距離為,因，故直線與圓相交.(2)解法一:由方程組，得，設(shè)直線與圓C的兩交點為、，則∴|AB|==8∴直線被圓所截得的弦長為32。解法二:∵圓心(7,1)到直線的距離為,又圓的半徑=6，∴直線被圓所截得的弦長為2=8總結(jié)1、在求解(1)、(2)時，方法一都是運用代數(shù)的方法來求解的，運算雖然煩瑣了一些，但此方法是一種通法,更具有一般性，它對討論直線與二次曲線的相關(guān)問題都適用；而方法二都是運用幾何的方法來求解的，此方法只對圓適用,也是一種較為簡便的方法.2、兩個小題的方法二突出了“適當?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計算”，強調(diào)圖形在解題中的輔助作用，加強了數(shù)與形的結(jié)合。變式題演練已知圓C：，直線：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4＝0(mR).(1)證明：對mR，直線與圓C恒相交于兩點；（2）求直線被圓C截得的線段的最短長度，并求此時m的值。答案：（1）由(2m+1)x+(m+1)y－7m－4＝0得，(2x+y-7)m+x+y-4=0.令2x+y-7＝0且x+y-4=0，得x=3,y=1,∴直線過定點P(3,1).∵,∴直線所過的定點P(3,1)在已知圓內(nèi)?！鄬R，直線與圓C恒相交于兩點。（2）要使直線被圓C截得的線段最短，只要圓心到此弦的弦心距最長，而要使弦心距最長，只要CP。當CP時，∵，∴的斜率為2，即，解得m=，此時直線被圓C截得的線段的最短長度為.例2：從點P（4,5）向圓（x－2）2＋y2＝4引切線，求切線方程。點撥求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個方面：(1)從代數(shù)特征分析；(2)從幾何特征分析．一般來說，從幾何特征分析計算量要小些．解答設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y－5＝k(x－4)即kx－y＋5－4k＝0又圓心坐標為（2,0），r＝2因為圓心到切線的距離等于半徑，即所以切線方程為21x－20y＋16＝0還有一條切線是x=4總結(jié)過圓外已知點的圓的切線必有兩條，一般可設(shè)切線斜率為k，寫出點斜式方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑，寫出有關(guān)k的方程，求出k。因為有兩條，所以應(yīng)有兩個不同的k值，當求得的k值只有一個時，說明有一條切線斜率不存在，即為垂直于x軸的直線，所以補上一條切線x=x1。變式題演練自點A（-3，3）發(fā)出的光線射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓C：相切，求光線所在直線方程。（1989年全國高考題）答案：圓C的方程為：，它關(guān)于x軸對稱圓的方程為：，設(shè)光線所在的直線方程為：y-3=k(x+3)，則光線所在的直線必與圓相切，故，即，解得，∴光線所在直線方程為或。55ADBXOCY例3：求與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且被直線55ADBXOCY點撥求圓的方程關(guān)鍵是求圓心與半徑，因為圓心在直線x－3y＝0上，故可設(shè)圓心為C（3b,b）又圓與y軸相切，所以r＝｜3b｜，故求解本題的關(guān)鍵是求出b的值。解答因為圓心在直線x－3y＝0上，故可設(shè)圓心為（3b,b），∵所求圓與y軸相切，∴半徑r＝｜3b｜設(shè)直線y＝x被圓截得的弦為AB，過圓心C作CD⊥AB，垂足為D，則｜CA｜＝r＝｜3b｜，｜AD｜＝又｜CD｜＝＝｜b｜，｜CD｜2＋｜AD｜2＝｜AC｜2即2b2

＋7＝9b2，解得b＝±1∴所求圓的方程為（x－3）2＋(y－1)2＝9或（x＋3）2＋(y＋1)2＝9總結(jié)1、因圓心在已知直線上，故在設(shè)圓心的坐標時，只需引進一個未知量，從而達到減少未知量的個數(shù)，簡化計算的目的，這是解決解析幾何問題時的常用技巧，應(yīng)引起重視。2、涉及到圓的弦長問題時，為了簡化運算，常利用垂徑定理或半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進行運算。變式題演練已知圓C的圓心在直線：x－y－1＝0上，且與直線：4x+3y+14=0相切，又圓C截直線：3x＋4y＋10＝0所得的弦長為6，求圓C的方程。答案：∵圓C的圓心在直線：x－y－1＝0上，∴可設(shè)所求圓的方程為∵圓C與直線：4x+3y+14=0相切，∴①∵圓C截直線：3x＋4y＋10＝0所得的弦長為6，∴②由①、②解得，∴圓C的方程為例4：求經(jīng)過原點，且過圓和直線x-y+5=0的兩個交點的圓的方程．點撥先求出直線和圓的交點，根據(jù)圓的一般方程，由三點可求得圓的方程；或利用經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程，由所求圓過原點這一條件確定參數(shù)λ，從而求得圓的方程．解答解法一：由，求得交點(-2,3)或(-4,1)設(shè)所求圓的方程為+Dx+Ey+F=0．∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三點在圓上，∴，解得解法二：設(shè)所求圓的方程為+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．總結(jié)顯然解法二要比解法一簡捷得多，原因在于解法二不需求出直線與圓的交點坐標，且所解的方程也僅僅是一元一次方程。對于求過已知直線與圓的交點的圓方程，常用過直線與已知圓的交點的圓系方程求解。一般地，過直線Ax+By+C=0與圓+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(※)，其中為任意實數(shù)。當直線與圓相交時，方程(※)表示過其交點的一切圓；當直線與圓相切時，方程(※)表示與其相切于直線Ax+By+C=0和圓+Dx+Ey+F=0的切點的一切圓。變式題演練求經(jīng)過直線：及圓C：的交點，且面積最小的圓的方程。答案：設(shè)所求圓的方程為，即，則所求圓的圓心為。要使所求圓的面積最小，只要所求圓的直徑最短，即已知直線與被已知圓截得的弦即為所求圓的直徑，也即所求圓的圓心在已知直線上?！?，解得，∴所求圓的方程為。例5、已知直線x+2y-3=0與圓+x－2cy+c＝0的兩個交點為A、B，O為坐標原點，且OAOB，求實數(shù)c的值。點撥利用條件OAOB尋找c的方程。解答設(shè)點A、B的坐標分別為A(、B(。由OAOB，知，即，∴=0(1)由，得則，(2)又，代入(1)，得(3)由(2)、(3)得，c=3總結(jié)在解析幾何中，遇到兩直線垂直這一條件，一般利用此兩直線的斜率乘積為－1來求解。在本題的解題過程中，我們可發(fā)現(xiàn)如下的一個結(jié)論：“若點A、B的坐標分別為A(、B(，則OAOB=0?！?，這個結(jié)論在求解有關(guān)解析幾何問題時很有用，要引起重視。變式題演練已知圓C：是否存在斜率為1的直線，使被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理