河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

高二數(shù)學(xué)考試

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊，選擇性必修第一冊第一章.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

z

1.若復(fù)數(shù)Z滿足——=-l-i,則z=()

1+i

A.2+2iB.-2-2iC.-2iD，2i

2.已知AABC的三個頂點分別為A(l,2),5(3』)，C(5,m),且=則帆=()

A.2B.3C.4D.5

3.若｛。及可是空間的一個基底，則下列向量不共面的為()

A.a,b,a+2bB.a,a+b,a+c

C.a,a-c,cD.b+c,a+c,a+b+2c

4.已知平面a的一個法向量為方=(1,—2,2),點”在a外，點N在1內(nèi)，且麗7=(—1,2,1),則點M

到平面a的距離d=()

A.lB.2C.3D.叵

2

5.續(xù)航能力關(guān)乎無人機的“生命力”，太陽能供能是實現(xiàn)無人機長時續(xù)航的重要路徑之一.某大學(xué)科研團隊

利用自主開發(fā)的新型靜電電機，成功研制出僅重4.21克的太陽能動力微型無人機，實現(xiàn)純自然光供能下的

持續(xù)飛行.為激發(fā)同學(xué)們對無人機的興趣，某校無人機興趣社團在校內(nèi)進行選拔賽，8名參賽學(xué)生的成績依

次為65,95,75,70,95,85,92,80,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)(也叫第75百分位數(shù))為()

A.93B.92C.91.5D.93.5

6.在AABC中，角的對邊分別為a,b,c,若tanB=-石/=J嬴，則"上匚=()

ac

A.6B.4C.3D.2

7.某人忘記了一位同學(xué)號碼的最后一個數(shù)字，但確定這個數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號，則撥號不超過兩

次就撥對號碼的概率為（）

1239

A.-B.-C.一D.——

55520

8.已知圓錐4。在正方體A3CD—A4G。內(nèi)，AB=2,且4。垂直于圓錐4。的底面，當(dāng)該圓錐的底

面積最大時，圓錐的體積為（）

A.島C*D.哼

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知陽河是兩條不同的直線，。是一個平面，則下列命題為真命題的有（）

A.若加//a/〃a,則機〃〃

B.若則相_L〃

C.若加_L。,加_L〃，則或〃〃a

D.若加//?加，〃相交，則〃〃a

135

10.已知事件AB,c兩兩互斥，若尸（4）=工,尸（4°8）=§,。（4°。）=五，則（）

A.P（BnC）=-B.P（B）=-

28

71

C.P（BoC）=—D.P（C）=-

TTTT

IL已知厚度不計的容器是由半徑為2m，圓心角為一的扇形以一條最外邊的半徑為軸旋轉(zhuǎn)一得到的，下列

22

幾何體中，可以放入該容器中的有（）

A.棱長為1.1m的正方體

B.底面半徑和高均為1.9m的圓錐

C.棱長均為2m的四面體

D.半徑為0.75m的球

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.《九章算術(shù)》中將正四棱臺稱為方亭，現(xiàn)有一方亭ABC?！狝耳CD，A3=344=3，體積為13,則

該方亭的高是.

13.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，A（4,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,4），。為的中點，則異面直線3C與

OD所成角的余弦值為.

14.在AABC中，點。在3C邊上，BC=2,^BAD=^CAD,ABAC=ADAB+ACAD,則

AABC的外接圓的半徑為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

某高中為了解本校高二年級學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計他們每天體育鍛煉的時間，

并以此作為樣本，按照[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]進行分組，得到如圖所示的

頻率分布直方圖.已知樣本中休育鍛煉時間在[50,60）內(nèi)的學(xué)生有10人.

（1）求頻率分布直方圖中。和b的值；

（2）估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時，同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）.

16.（15分）

在△ABC中，角的對邊分別是a,0,c,已知sinCbosBug-DcosCsinB,。＞].

（1）證明：cosC=—.

b

（2）若a=2,AABC的面積為1,求c.

17.（15分）

如圖，在四棱錐P-A5CD中，已知底面A38是邊長為2用的菱形，

ZBAD=60°,PA=PB=PD=273,且PE,平面ABCZ）,垂足為E.

p

（1）證明：平面？BE.

（2）求直線AC與平面P3C所成角的正弦值.

18.（17分）

在正四棱柱ABC?！?4GA中，已知AB=1，點瓦EG分別在棱上，且A,E,￡G四

點共面，NBAE=a,NDAG=）3.

（1）若AE=AG,記平面AEEG與底面A3CD的交線為/,證明：BD//I.

7T

（2）若a+￡=—,記四邊形AEFG的面積為S,求S的最小值.

4

19.（17分）

給定平面上一個圖形。，以及圖形。上的點片,鳥,…，匕，如果對于。上任意的點P，之不為與尸

i=l

無關(guān)的定值，我們就稱斗鳥，…,P為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點.

（1）已知4（0,0）,6（2,0）,6（0,2）,△466為圖形0,判斷點兒，鳥是不是關(guān)于圖形。的一組穩(wěn)定

向量基點；

（2）若圖形。是邊長為2的正方形，幾鳥,4,乙是它的4個頂點，尸為該正方形上的動點，求

|航+g耳+衛(wèi)耳—R4的取值范圍；

（3）若給定單位圓E及其內(nèi)接正2024邊形62…6024,尸為該單位圓上的任意一點，證明42,…,鳥024

2024_

是關(guān)于圓￡的一組穩(wěn)定向量基點，并求Z|尸尸，|2的值.

高二數(shù)學(xué)考試參考答案

z

1.C因為——=-l-i,所以z=—(l+i)2=—2i.

1+i

2.D因為麗=(—2,1),撫=(2,m—1),麗JL豆心，所以麗?蔗=-4+(7〃—1)=0,解得機=5.

3.B因為M=(萬+25)—25,所以。出為+25共面；｛流瓦可是空間的一個基底，假設(shè)己4+反G+0共

面，則存在不全為零的實數(shù)SJ,使得M=S(6+B)+《萬+可，即。=(5+。打+高+北，貝|

s+t=l,s=/=0,無解，故@,4+5,@+不共面；因為方=僅一司+乙，所以扇五一共面；因為

a+b+2c=[b+c^+[a+c),所以囚+不為+己方+5+2)r共面.

\MN-n\1-1-4+21

4.Ad=J----l=J-------1=1.

同3

5.D8名學(xué)生的成績從低到高依次為65,70,75,80,85,92,95,95,且8x75%=6,故上四分位數(shù)為

92+95

=93.5.

6.B因為tanB=-J§'，所以6=3-,由余弦定理可得。？=片—2accosB=/+C?=3ac，

即(a+c)2=4ac,故絲土生=4.

ac

7.B設(shè)4=｛第，次撥號撥對號碼｝「=1,2.撥號不超過兩次就撥對號碼可表示為A+*，所以撥號不

超過兩次就撥對號碼的概率為P(A+44)=P(A)+P(44)=：+：X；=|.

8.C如圖所示，取43,4。,。。],。?64,3中的中點，分別記為"，N,E,F,P,G,連接

BR,BDVEF,FP,PG,GM,MN,NE.

根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形上WEFPG為正六邊形，此時的中點。為該正六邊形的中心，且

AC，平面上WEFPG,當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形"NEFPG時，該圓錐的底面積最大.

設(shè)此時圓錐的底面圓半徑為廣，因為用〃=/底+2?=2叵,所以FP=gBiR=Ji,

所以r=@FP=遠(yuǎn),圓錐的底面積5=兀，=電，圓錐的高AO=』x括、2=相，

2222

所以圓錐的體積V=LS-AO=」X^XG=?.

3322

9.BC對于A,若，〃〃。,八〃a,則直線機,"可能相交或平行或異面，故A錯誤.

對于B,若7〃_L6Z,〃ua,則m_!_〃，故B正確.

對于C,若機_!_%m_L〃，則〃〃a或〃ua,故C正確.

對于D,若掰〃。，〃〃相交，則"〃a或"與a相交，故D錯誤.

10.BCD因為事件A,8,C兩兩互斥，所以尸（BcC）=P（AcB）=P（AcC）=O,故A錯誤.由

131

P（AoB）=P（A）+P（B）=-+P（B）=-,得尸（8）=—,故B正確.

488

由P（ADC）=P（A）+P（C）=；+P（C）=K，得尸⑹弓,故D正確.

117

因為P（BuC）=P（B）+P（C）=—I—=—,所以C正確.

8624

11.AC設(shè)扇形所在圓的半徑為R,對于A,設(shè)正方體的棱長為。，如圖1,則可容納的最長對角線

L2

OA=R=2=yl3amax,解得=為"L15〉1.1,故A正確.

對于C,如圖2,取三段,圓弧的中點5C,。，則四面體O3CD的棱長均為2%，所以可以容納，故C

4

正確.

對于B,如圖2,同選項C的分析，△BCD的外接圓半徑為2叵＜1,9,所以不可以容納，故B錯誤.

3

對于D,如圖3,4,設(shè)球的半徑為乙其中圖4是圖3按正中間剖開所得的軸截面，可知圓0'與圓。內(nèi)

切，2=（yM+OO=r+gM、OM2=r+q戶+MH?=r+5，解得

=73-1^0,732<0.75.所以不可以容納，故D錯誤.

12.3設(shè)正四棱臺的高為力.因為A3=3A3I=3,所以方亭—的體積

丫=:九(5上+,5上.5下+5下)=；加(12+1><3+32)=13,解得/i=3.

13.1依題意可得。(2,1,0),麗=(2,1,0),沅=(0,—2,4),貝|

/7YF{\BC,OD—211

cos\BC,OD)=網(wǎng)西=國義下故異面直線BC與OD所成角的余弦值為-.

14.冥1設(shè)NR4C=2e,因為/B4D=44Z),所以NB4D=NC4Z)=/

3

由SA.A/iUBLC=StR^tAXBDLDf+S.AArlzDyCC.，得'—-ACsmlO=—2AD-ABsinO+—2AD-ACsmO,

即AB-ACsin2e=(AZ>AB+AZ>AC)sin￡,又AC=AD-AB+AC-AD,所以sin2(9=sin(9,

TT]

即2sin6?cos6?=sin9,又0<28〈兀，所以0<。<一,所以sin6?>0,貝|cos9=—,

22

所以。=P，所以NB4C=28=女，則AABC外接圓的半徑R=———===空

332sin/R4c下)3

15.解：(1)由題意可知，學(xué)生每天體育鍛煉的時間在［50,60)內(nèi)的頻率為3=0.1,

100

則。二—=0.01,

10

由各組頻率之和為1,可知(0.005+0.01+匕+0.025x2+0.005)x10=1,解得5=0.03.

(2)前3組的頻率之和為(0.005+0.01+0.03)x10=0.45<0.5,

前4組的頻率之和為0.45+0.025x10=0.7>0.5,所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)為x,

所以0.45+(x—70)x0.025=0.5,解得x=72,估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72分鐘.

估計平均數(shù)是(45+95)x0.05+55x0.1+65x0.3+(75+85)x0.25=72分鐘.???

16.(1)證明：因為sinCcos5=(a—l)cosCsiiiB,

所以sinCbosB+cosCsinB=tzcosCsiiiB,即acosCsinB=sin(C+B).

根據(jù)5+C=TI-A,得sin(C+5)=sinA,所以acosCsinB=sinA,

由正弦定理得abcosC=a,所以灰x)sC=l,從而cosC='.

b

(2)解：由(1)可得sinC=Jl_!=1.

Vb2b

因為AABC的面積為1,

所以工absinC=b'——-=y/b2-1=1，解得b=^2,cosC=.

2b2

又a=2,所以由余弦定理得c=2a1cosC=14+2—2x2xJ^x*=&.

17.(1)證明：連接。E,BD,因為尸4=「3=尸。=26,/＞石，平面45。0,

所以EA=EB=ED.

又四邊形A3CD是菱形，BAD=60°.所以△A8D是正三角形，

所以/EBZ)=30°.

由AB=BD=BC=CD,得△BCD是正三角形，ZDBC=600.

所以NEBC=NEBD+NDBC=90°，即5CL5E.

由尸￡J_平面ABCD，可得5CLPE.

因為PEcBE=E，所以平面？BE.

(2)解：以E為坐標(biāo)原點，麗，麗的方向分別為yz軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因為A3=2A/3，所以BE=AE=2顯%=2,PE=7（2A/3）2-22=242,

則

B（0,2,0）,A（A/3,-1,0）,C（-2V3,2,0）,P（0,0,2V2）,BC=（-2^,0,0）,BP=（0,-2,2^）,AC=（-3A/3,3,0）

/、m-BC=0,—2y/3x=0,

.設(shè)沆=（x,y,z）是平面P3C的一個法向量，由〈_,得〈仁取z=l，可得

fh-BP=Q,[-2y+2j2z=0,

沅=（0,0,1）.

設(shè)直線AC與平面PBC所成的角為8,

\m'AC\rz

則sin。=1=,即直線AC與平面PBC所成角的正弦值為但.

|m|AC6xV366

18.（1）證明：連接EG,因為AE=AG,AB=AD,NA3E=NADG=90°,

所以AABE三AADG,則5E=DG.

在正四棱柱A3CD—44C|D|中，易知BE〃DG,所以四邊形3Z）GE是平行四邊形，從而

GE.

又<z平面AEFG,所以平面AEFG.

又HDu平面ABCD,平面ABCDc平面AEFG=/,所以BZ）〃I-

（2）解：易證四邊形AEFG為平行四邊形.以A為坐標(biāo)原點，AB>耘的方向分別為x，yz軸的正

方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

￡(1,0,tantz),G(0,1,tan^),

則AE=(1,0,tana),AG=(0,1,tan?),

AEAG_tancstan/?

cos/￡AG=

|AE|IJ(l+tan2.)(l+tan2/7)

S=\AE\\AG\smZEAG=^(1+tan2cr)(l+tan2/?)xy/1-cos2^EAG,化簡可得