第二十五章 銳角的三角比（14類題型突破）

第二十五章銳角的三角比（14類題型突破）重要題型題型一正弦的概念與計(jì)算1．（2023秋·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┰谥校?，那么的值是（

）A．2 B． C． D．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知在中，，，垂足為點(diǎn)，那么下列線段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則的值為．3．（2021秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周長(zhǎng)及面積．題型二余弦的概念與計(jì)算1．（2020秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的頂點(diǎn)在網(wǎng)格圖的格點(diǎn)上，的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，射線與x軸正半軸的夾角為α，那么的值為（）A． B．2 C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，則等于（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，，，則的余弦值為.3．（2023秋·江西吉安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求，的值．題型三正切的概念與計(jì)算1．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與原點(diǎn)O的連線與x軸的正半軸的夾角為，那么的值是()A．2 B． C． D．2．（2023·上海·一模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與軸正半軸的夾角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，，，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)，則t的值是．

3．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）題型四特殊角的三角函數(shù)值1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）的值等于(

)A． B． C． D．12．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)P點(diǎn)的坐標(biāo)是，則P點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)武漢市常青第一中學(xué)?？甲灾髡猩┯?jì)算：．3．（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）計(jì)算：；（2）解方程：．題型五特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算1．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．2．（2019秋·九年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算的結(jié)果是（）A．2 B． C． D．1鞏固訓(xùn)練1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┫铝杏?jì)算結(jié)果是有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算：．3．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谀┯?jì)算：(1)；(2)．題型六根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）若cosα＝，則銳角α的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知α為銳角，若，則α的度數(shù)是(

)A．30° B．45° C．60° D．75°鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，若，，這個(gè)三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，如果滿足，則．3．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）求滿足下列條件的銳角：(1)；(2)．題型七利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是斜邊邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·山東聊城·九年級(jí)臨清市京華中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，，，則值為（）A． B． C． D．2．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有，則△ABC的形狀是．3．（2019春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，2，3，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：____；____；____．（1）觀察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如圖4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理證明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且，求的值．題型八互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2023春·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）三角函數(shù)，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，a、b、c分別為、、的對(duì)邊，若，則的值為．3．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知，且，求的值．題型九解直角三角形1．（2022·福建南平·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若，則矩形ABCD的周長(zhǎng)可表示為（

）A． B．C． D．2．（2021春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）不能判斷是直角三角形的條件是（

）．A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，若，則（）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，則sinB＝．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．初中階段，我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系（如圖）：．一般地，當(dāng)、為任意角時(shí)，與的值可以用下面的公式求得：；．例如：．根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：_______；（2）在中，，請(qǐng)你求出和的長(zhǎng)．題型十仰角俯角問(wèn)題1．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹的高度，小明站在點(diǎn)C處測(cè)得樹頂A的仰角為，若小明的測(cè)量點(diǎn)到地面距離，測(cè)量點(diǎn)與樹底距離，則這棵樹的高度是（

）A．6m B．m C．m D．m2．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）北京2022年冬奧會(huì)計(jì)劃于2月4日開幕，2月20閉幕．如圖，表示一條跳臺(tái)滑雪賽道，在點(diǎn)A處測(cè)得起點(diǎn)B的仰角為，底端點(diǎn)C與頂端點(diǎn)B的距離為50米．則賽道的長(zhǎng)度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米鞏固訓(xùn)練1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段、分別表示甲、乙建筑物的高，于點(diǎn)，于點(diǎn)，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則乙建筑物的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：）

A． B． C． D．2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點(diǎn)拱門的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

3．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)?？计谀氹u市文化景觀標(biāo)志“天下第一燈”，將炎帝之火、青銅之光和金鳳還巢諸多元素綜合在一起．小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量該燈的高度．如圖所示，他在B處安裝了高為1．5米的測(cè)傾器（即米），其測(cè)得燈頂端E的仰角為37°；他從點(diǎn)B開始沿直線BF方向走了24米（即米），在D處豎立一長(zhǎng)為1．5米的標(biāo)桿CD（即米），發(fā)現(xiàn)水平地面上的點(diǎn)P、標(biāo)桿的頂端C與燈頂E恰好在一條直線上，已知，，，米，根據(jù)測(cè)量示意圖求該燈的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

題型十一方位角問(wèn)題1．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處，則海輪行駛的路程的值為（）

A．海里 B．海里C．海里 D．海里2．（2023春·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有，兩個(gè)觀測(cè)站，觀測(cè)站在觀測(cè)站的正東方向，有一艘小船在點(diǎn)處，從處測(cè)得小船在北偏西方向，從處測(cè)得小船在北偏東的方向，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是千米則，兩觀測(cè)站之間的距離為千米注：結(jié)果有根號(hào)的保留根號(hào)（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某漁船正在海上處捕魚，先向北偏東的方向航行到處，然后右轉(zhuǎn)再航行到處．在點(diǎn)的正南方向，點(diǎn)的正東方向的處有一條船，也計(jì)劃駛往處，那么它的航向是()A．北偏東 B．北偏東 C．北偏東 D．北偏東2．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知B港口位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東方向，且其到A觀測(cè)點(diǎn)正北風(fēng)向的距離的長(zhǎng)為，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的方向航行到達(dá)C處，測(cè)得C處位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東方向，則此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離的長(zhǎng)為．

3．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一輪船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為32海里．

(1)若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(2)如果輪船繼續(xù)向正東方向航行有危險(xiǎn)，輪船自A處開始改變航行方向，沿南偏東度方向航行確保安全通過(guò)這一海域，求的取值范圍．題型十二坡度坡比問(wèn)題1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長(zhǎng)度米，則坡面的水平寬度長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一斜坡的坡度，小明同學(xué)沿斜坡的坡面從點(diǎn)A向上走了100米到達(dá)點(diǎn)B處，則小明上升的高度為（

）

A．米 B．20米 C．米 D．米鞏固訓(xùn)練1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）小華和小源利用無(wú)人機(jī)測(cè)量某座山的垂直高度．如圖所示，無(wú)人機(jī)在地面上方130米的D處測(cè)得山頂A的仰角為，測(cè)得山腳C的俯角為．已知的坡度為，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，則此山的垂直高度為米．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）

3．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)聊城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，小明為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹的高度，他在點(diǎn)A測(cè)得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點(diǎn)，在此處測(cè)得樹頂端點(diǎn)的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

(1)求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)的過(guò)程中，他上升的高度．(2)大樹的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：，，題型十三三角函數(shù)的其他應(yīng)用1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，為了測(cè)量河岸，兩點(diǎn)的距離，在與垂直的方向上取點(diǎn)，測(cè)得，，那么等于（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器，稱為圭表，如圖是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱高為，已知，冬至?xí)r北京的正午日光入射角約為，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長(zhǎng)）約為（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)校考階段練習(xí)）馬路邊上有一棵樹，樹底距離護(hù)路坡的底端有3米，斜坡的坡角為60度，小明發(fā)現(xiàn)，下午2點(diǎn)時(shí)太陽(yáng)光下該樹的影子恰好為，同時(shí)刻1米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)為0.5米，下午4點(diǎn)時(shí)又發(fā)現(xiàn)該樹的部分影子落在斜坡上的處，且，如圖所示，線段的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)，，在同一條直線上，且，，，則線段的長(zhǎng)約為m.（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

3．（2022·福建寧德·統(tǒng)考一模）某市游樂(lè)園有一座勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪，其前方有一座三層建筑物，小明想利用該建筑物的高度來(lái)估計(jì)摩天輪的高度，他通過(guò)實(shí)際體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，從最低點(diǎn)A處坐上摩天輪，經(jīng)過(guò)3分鐘到點(diǎn)B處時(shí)，該建筑物的屋頂正好在水平視線上．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，該建筑物的第一層約為5米，其余兩層每層約為3.5米，摩天輪最低點(diǎn)A離地面2米，在不考慮其它因素的前提下，估計(jì)摩天輪的高度是多少米．(參考數(shù)據(jù)：，，，最后結(jié)果保留整數(shù)米)

題型十四三角函數(shù)的綜合1．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，則下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，菱形的邊在y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．作射線，將菱形沿射線平移，當(dāng)點(diǎn)C落在原點(diǎn)O的位置上時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．2．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，的平分線交邊于點(diǎn)，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，直線與x軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．

(1)求直線的解析式；(2)P為線段上一點(diǎn)，Q為線段上一點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)R在第二象限內(nèi)，且四邊形為平行四邊形，連接BR，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第二十五章銳角的三角比（14類題型突破）重要題型題型一正弦的概念與計(jì)算1．（2023秋·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┰赗t△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么sinBA．2 B．12 C．55 【答案】D【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinB【詳解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1∴AB=2∴sinB故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶正弦值與各邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB垂足為點(diǎn)D，那么下列線段的比值不一定等于A．ADBD B．ACAB C．ADAC【答案】A【分析】根據(jù)sinα【詳解】A.，∴∠BCD+∠∵CD⊥AB∴∠∴sin由圖得：AC與BD不一定相等，∴sinβ不一定等于B.在Rt△ABC中，C.在Rt△ACD中，D.在Rt△BCD中，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則sinA的值是（

A．34 B．43 C．35【答案】C【分析】根據(jù)sinA【詳解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，則sinB【答案】5【分析】勾股定理計(jì)算出AB，根據(jù)直角三角形中，角的正弦是角的對(duì)邊比斜邊，推出sinB=AC【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，∴AB=B∴sinB故答案為：513【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義、勾股定理，明白“直角三角形中，角的正弦是角的對(duì)邊比斜邊”是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA

(1)sinB(2)△ABC【答案】(1)3(2)60；150【分析】（1）根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義求得AB=25，根據(jù)勾股定理求得AC=15，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義即可求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵sinA=4∴sinA∴AB=20÷4∴AC=A∴sinB（2）解：△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=25+20+15=60，S△【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，三角形的面積公式等，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型二余弦的概念與計(jì)算1．（2020秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在5×6網(wǎng)格圖的格點(diǎn)上，的值為（

）

A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】由網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)D，

在Rt△ABD中，∴AB=A∴cosB故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求教的余弦值，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．2．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A1,2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，那么cosA．12 B．2 C．55 【答案】C【分析】作軸于H．利用勾股定理求出OA，利用余弦的定義即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作軸于H．∵A1,2∴OH=1，AH=2，∵∠AHO=90°∴OA=O∴cosα故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十七中學(xué)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，則等于（

A．724 B．3124 C．2425【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可求出BC的值，再根據(jù)余弦的計(jì)算方法求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，∴BC=A∴cosB故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，余弦值的計(jì)算方法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，，則∠A的余弦值為.【答案】35/【分析】先利用勾股定理求得斜邊AB的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解可得．【詳解】解：如圖所示，

在Rt△ABC中，∵AC=3，∴AB=A則cosA故答案為：35【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及余弦函數(shù)的定義．3．（2023秋·江西吉安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求cosA，tan【答案】(1)25(2)cosA=【分析】（1）利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦和正切的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7∴由勾股定理，得．

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，∴cosA=AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的余弦值，正切值和勾股定理，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型三正切的概念與計(jì)算1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,1與原點(diǎn)O的連線與x軸的正半軸的夾角為β，那么tanA．2 B．12 C．55 【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，由題意易得OB=2,AB=1，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)由題意得：β=∠∵A2,1∴OB=2,AB=1，∴tanβ故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握求一個(gè)角的正切值是解題的關(guān)鍵2．（2023·上海·一模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)P4，1，點(diǎn)P與原點(diǎn)O的連線與x軸正半軸的夾角是α，那么cotα的值是（A．4 B．14 C． D．17【答案】A【分析】由銳角的余切定義，即可求解．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)P4，1∴cotα故選∶A【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握銳角的三角函數(shù)定義．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）在Rt△ABC中，，C=90°，則下列式子成立的是（

A．sinA=sinB B．sinA=【答案】B【分析】根據(jù)各個(gè)三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：A、∵sinA=BCABB、sinA=BCABC、tanA=BCACD、cosA=ACAB故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵的數(shù)量掌握各個(gè)三角函數(shù)的求法．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是

【答案】2【分析】取格點(diǎn)E,F，連接EF交AB于點(diǎn)G，連接AE，，可得∠AEG=∠APD，證明∠AEF=90°，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)E,F，連接EF交AB于點(diǎn)G，連接AE，

∵ED=FC,ED∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴EF∴∠AEG=∵AF=EB=2,AF∴四邊形AEBF是平行四邊形，∴EG=1∵AE=EF=∴A∴∠∴tan∠故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，求正切，熟練掌握三角函數(shù)的定義將角度轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，PQ⊥

(1)tanM(2)PQQN=______，【答案】(1)PQ?；MP(2)tan【分析】（1）根據(jù)角的正切值可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)角的正切值可進(jìn)行求解【詳解】（1）解：由題意得：tanM故答案為PQ?；MP；（2）解：由題意得：PQQN=tan故答案為tan【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握“直角三角形中一個(gè)銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切（tanA題型四特殊角的三角函數(shù)值1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）sin45°+cosA．2 B．3+12 C．3【答案】A【分析】根據(jù)sin45°=【詳解】解：sin45°+故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)P點(diǎn)的坐標(biāo)是cos30°，tan45°，則P點(diǎn)關(guān)于yA．?32,?1 B．?1,32 【答案】D【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，再利用關(guān)于y軸對(duì)稱橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵P點(diǎn)的坐標(biāo)是（cos30°，tan45°），∴P32∴P點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：?3故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，則（A．12 B．32 C．33【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵∠B=30°，則32，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)武漢市常青第一中學(xué)?？甲灾髡猩┯?jì)算：1?30【答案】5【分析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【詳解】解：(1?=1+=1+=5.故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）計(jì)算：?2（2）解方程：x2【答案】（1）；（2）x1=6，【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根，特殊角銳角函數(shù)值，零指數(shù)冪的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．【詳解】（1）解：原式=?4+3?=?（2）解：x2x?42x?4=±2．解得：x1=6，【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，特殊角銳角函數(shù)值，零指數(shù)冪的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型五特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算1．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（

）A．sin60。?sin3C．tan60°=sin60°sin30° 【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】A、sin60B、sinC、tan60°=3，sinD、cot30°=3，cos30°cos60°=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查特殊三角函數(shù)值，比較基礎(chǔ)，熟練記憶是關(guān)鍵．2．（2019秋·九年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算tan6A．2 B． C．2 D．1【答案】C【詳解】解：原式=3故選C．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┫铝杏?jì)算結(jié)果是有理數(shù)的是（

）A．1?1?3 B． C．sin60°?1【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算各選項(xiàng)，再判定即可得出答案．【詳解】解：A、1?1?B、2cosC、，結(jié)果是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、3tan故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式運(yùn)算，特殊角三角函數(shù)，有理數(shù)．熟練掌握二次根式運(yùn)算和特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算：tan30°【答案】36/【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可．【詳解】解：tan3故答案為：36【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知30度，60度角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期末）計(jì)算：(1)；(2)6ta【答案】(1)4a?4(2)?【分析】（1）先利用平方差公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算整式的乘法，再合并同類型即可；（2）先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，后計(jì)算加減．【詳解】（1）解：原式==4a?4；（2）原式=6×=6×=2?=?3【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)及整式的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能確定準(zhǔn)確的運(yùn)算順序，并能對(duì)各種運(yùn)算進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算．題型六根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）若cosα＝12A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)cosα＝12【詳解】解：∵cosα＝12∴α＝60°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.2．（2022·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α為銳角，若sinα=32，則A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)60度角的正弦值是32【詳解】解：∵α為銳角，sinα=∴α=60°．故選C．【點(diǎn)睛】此題比較簡(jiǎn)單，只要熟知特殊角度的三角函數(shù)值即可．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，若cosA=32，A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【詳解】解：在△ABC，tanB=∴∠A=30°，∠B∴∠故△ABC故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．2．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，如果滿足，則∠C=．【答案】75°/75度【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值求出∠A=60°，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：∵|sinA?，，∴∠A=60°，，∴∠故答案為：75°．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，掌握兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）求滿足下列條件的銳角α：(1)cosα(2)?3【答案】(1)α=30°(2)α=45°【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】（1）解：由cosα?32=0（2）解：由?3tanα+3【點(diǎn)睛】本題主要是對(duì)特殊銳角三角比的值的綜合運(yùn)用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．題型七利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）若sinα?cosα=mA．1+m2 B．1?m2 C．【答案】D【分析】對(duì)原式左右兩邊進(jìn)行平方計(jì)算，然后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵sinα∴sinα?cos∵，∴1?2sin∴sinα故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，熟記并熟練運(yùn)用基本結(jié)論是解題關(guān)鍵．2．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC，CD是斜邊AB邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．CD=AB?tanB B．CD=AD?cotA C．【答案】D【分析】利用直角三角形的邊角間關(guān)系，計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：∵CD是斜邊AB邊上的高，∴△ACD、在Rt△∵CD=sin在Rt△∵CD=sin在Rt△∵∠A+∴cosA∴CD=sin故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·山東聊城·九年級(jí)臨清市京華中學(xué)校考開學(xué)考試）在△ABC中，∠C=90°，，則值為（）A．43 B．34 C．35【答案】A【分析】先利用同角三角恒等式計(jì)算出cosB=3【詳解】解：∵∠C=90°∴，∴cosB∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系．2．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有tanB?3+sinA【答案】等邊三角形【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出tanB和sinA的值，然后求出∠A、∠B的度數(shù)，即可判斷△ABC的形狀．【詳解】解：由題意得，tanB=，sinA=32，則∠A=60°，∠B=60°，∠C=180°-60°-60°=60°．故△ABC為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．3．（2019春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，2，3，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：____；____；____．（1）觀察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如圖4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理證明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且sinA=5【答案】填空：1；1；1；（1）1；（2）證明見解析；（3）1213【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義和所給信息可完成三個(gè)等式，再由前面的結(jié)論，即可猜想出在中，∠C=90°，sin2A（2）在中，∠C=90°，利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=ac，sinB=（3）利用所得關(guān)系式，結(jié)合已知條件sinA【詳解】；；；（1）觀察上述等式，可猜想：sin2（2）在中，∠C=90°∴sinA=ac，∴；（3）∵sinA=5∴sinB故答案為：填空：1；1；1；（1）1；（2）證明見解析；（3）1213【點(diǎn)睛】本題考查在直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單．題型八互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2023春·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=2A． B．32 C．53 D．【答案】A【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解，即可得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC∴cos故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，A．a(chǎn)=csinA C．c=bcosB【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：、∵sinA∴a=cB、∵tan∴a=bC、∵cos∴c=D、sin故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）三角函數(shù)sin70°，cos70°，A．sin70°>cosC．tan70°>sin【答案】C【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，大于1，故最大；只需比較sin70°和【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin7又∵cos7∴sin7∴tan7故選C．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)．掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若a2=bc【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及解一元二次方程進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵a2=bc，即∴sinB=b又∵sin∴sin∴sinB=5故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義以及解一元二次方程是正確解答的前提．3．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知sinα+cosα=【答案】5【分析】把已知條件兩邊平方得到，再利用，則2sinα?cosα=120169，然后得到sinα?cosα2【詳解】解：∵sinα∴sinα+cos而，∴2sin∴1?2sinα?∴sinα∵0°<α<45°，∴sinα∴sinα而sinα∴2sin∴sinα【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用好，并求出sinα<題型九解直角三角形1．（2022·福建南平·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若∠DCE=β，則矩形ABCD的周長(zhǎng)可表示為（

A．22cosβC．22sinβ【答案】B【分析】構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義求得線段BC和CD的表達(dá)式，進(jìn)而求得矩形的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，過(guò)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，∵∠DFC=90°，∠DCE=β，∴，∵矩形ABCD，∴∠BCD=90°∴，∵∠BGC=90°∴，∵，∴，∵∠BGC=90°，∠GBC=β，∴，∵，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義求相應(yīng)線段的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．2．（2021春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）不能判斷ΔABC是直角三角形的條件是（

）．A．∠A:∠B:C．sin2A+【答案】B【分析】對(duì)于A，B可根據(jù)比例關(guān)系分別求出各個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)有一個(gè)角是直角的三角形為直角三角形即可判斷，對(duì)于C，結(jié)合sin2A+cos2A=1，可求得sinB=cosA，即∠A與∠B互余，即可判斷，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∠A:∠B:∠C=2:3:5，設(shè)∠A=2x,∠B=3x,∵∠∴2∠∴△ABC是直角三角形；對(duì)于選項(xiàng)B，∠設(shè)∠∵∠∴解得∠A=∠所以△ABC不是直角三角形；對(duì)于選項(xiàng)C，sin2A+sin2B=1，sin2A+cos2A=1，∴sinB=cosA，即∠A與∠B互余，則△ABC是直角三角形；對(duì)于選項(xiàng)D，AC2+BC2=AB2，則△ABC是直角三角形.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的定義，同角的三角函數(shù)關(guān)系，互余兩角三角函數(shù)關(guān)系，勾股定理的逆定理.要判斷一個(gè)三角形是直角三角形，若已知角，只要判斷有一個(gè)角是90°或者有兩個(gè)角互余（類似本題A，B這種情況，其實(shí)只要能判斷兩角之和等于第三個(gè)角就可判斷它是直角三角形），若已知邊，則需要用勾股定理的逆定理判斷.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosAA．22 B．23 C．10 【答案】A【分析】畫出圖形，根據(jù)余弦的概念可得ACAB=13，根據(jù)勾股定理可得BC與【詳解】解：根據(jù)題意可得：cosA∴在Rt△ABC中，∴tan故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦和正切的概念，解直角三角形，畫出圖形，根據(jù)三角函數(shù)的值轉(zhuǎn)化到直角三角形的邊長(zhǎng)之比，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┰赗t△ABC中，∠C＝90，sinA＝35，則sinB＝【答案】45【詳解】解：在Rt△ABC中，又∵解得：cosAsin故答案為：453．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．初中階段，我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系（如圖）：sinα一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，sin(α+β)與sin(sin(例如：sin1根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：sin7（2）在Rt△ABC中，∠A=75°,∠C=90°,AB=4，請(qǐng)你求出AC和【答案】（1）2+64；（2）【分析】（1）根據(jù)題干中的公式可求．（2）根據(jù)銳角的三角函數(shù)值，求AC和BC的值【詳解】解：（1）=（2）Rt△ABC中，∵∴BC=AB×2∵∠B=90?∴AC=AB×6【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，合理利用題干中告知的公式是本題的關(guān)鍵．題型十仰角俯角問(wèn)題1．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹AB的高度，小明站在點(diǎn)C處測(cè)得樹頂A的仰角為30°，若小明的測(cè)量點(diǎn)到地面距離DC=1.5m，測(cè)量點(diǎn)與樹底距離BC

=18m，則這棵樹AB的高度是（

）A．6m B．63m C．63?1.5m 【答案】D【分析】在Rt△【詳解】解：∵CD⊥BC，AB⊥BC，DE⊥∴四邊形BCDE是矩形，∴DE=BC=18m，BE=CD=1.5m，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AE=DEtan∴AB=AE+BE=63故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，正確構(gòu)造直角三角形并熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）北京2022年冬奧會(huì)計(jì)劃于2月4日開幕，2月20閉幕．如圖，AB表示一條跳臺(tái)滑雪賽道，在點(diǎn)A處測(cè)得起點(diǎn)B的仰角為40°，底端點(diǎn)C與頂端點(diǎn)B的距離為50米．則賽道AB的長(zhǎng)度為（

）

A．50sin40°米 B．50cos40°米 C．【答案】C【分析】根據(jù)sinA【詳解】解：根據(jù)題意可得：BC=50米，∠A=40°，∠C=90°∵sinA∴AB=BC故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正弦=對(duì)邊與斜邊之比．鞏固訓(xùn)練1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段AB、CD分別表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，兩座建筑物間的距離BD為40m．若甲建筑物的高AB為20m，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角α為25°，則乙建筑物的高CD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin2

A． B．38.8m C．40.8m D．56.4m【答案】B【分析】作垂線構(gòu)造直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，

由題意得：AB=ED=20m，AE=BD=40m，在Rt△AEC中，∠CAE=25°∴CE＝AE·tan∴CD=CE+DE=18.8+20=38.8m故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門CD的頂部C的俯角為35°，底部D的俯角為45°，如果A處離地面的高度AB=20米，則起點(diǎn)拱門CD的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，

【答案】6米【分析】作CE⊥AB于E，則四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE=DB，CD=BE，根據(jù)正切的定義求出AE，結(jié)合圖形計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：作CE⊥AB于E，則四邊形為矩形，

∴CE=DB，CD=BE，由題意得：∠DAB=90°?45°=45°，∠CAE=90°?35°=55°∴為等腰直角三角形，∠ACE=90°?∠∴AB=DB=20米，∴CE=DB=20米，∵在Rt△ACE中，∴AE=CE?∴CD=BE=AB?AE=20?14=6（米），故答案為：6米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)校考期末）寶雞市文化景觀標(biāo)志“天下第一燈”，將炎帝之火、青銅之光和金鳳還巢諸多元素綜合在一起．小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量該燈的高度．如圖所示，他在B處安裝了高為1．5米的測(cè)傾器（即AB=1.5米），其測(cè)得燈頂端E的仰角為37°；他從點(diǎn)B開始沿直線BF方向走了24米（即BD=24米），在D處豎立一長(zhǎng)為1．5米的標(biāo)桿CD（即CD=1.5米），發(fā)現(xiàn)水平地面上的點(diǎn)P、標(biāo)桿的頂端C與燈頂E恰好在一條直線上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，DP=1米，根據(jù)測(cè)量示意圖求該燈EF的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】37.5米【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，則四邊形ABDC、四邊形CDFG均為矩形，設(shè)EF=x米，則EG=x?1.5米，證明△CDP∽△EFP，列出比例式求出DF=2x3?1，進(jìn)而求出【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，則四邊形ABDC、四邊形CDFG均為矩形，

∴AC=BD=24米，GF=AB=CD=1.5米，CG=DF．設(shè)EF=x米，則EG=x?1.5∵∠CDP=∠EFP=90°，∠CPD=∴△CDP∴EFPF=CD∴DF=2x又∵AC=BD=24米，CG=DF，∴AG=AC+CG=BD+DF=24+2x∵tan∠EAG=EG∴x?1.5=0.7523+解得：x=37.5，∴該燈的高度EF為37.5米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，同時(shí)考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．題型十一方位角問(wèn)題1．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔302海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB

A．302+1海里 B．C．303+1海里 D．【答案】C【分析】根據(jù)方向角的概念可知，由銳角三角函數(shù)的定義求出AC的值，在Rt△PBC中根據(jù)∠B=30°求出BC的值，由AB=AC+BC【詳解】解：由題意得，，PA=302，∵sin∠∴AC=PA?∵∠B=30°，PC=AC=30，，∴BC=PC∴AB=AC+BC=30+303故選C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟知方向角的概念是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A觀測(cè)站在B觀測(cè)站的正東方向，有一艘小船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得小船在北偏西60°方向，從B處測(cè)得小船在北偏東45°的方向，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離是32千米.則A，B兩觀測(cè)站之間的距離為千米.(注：結(jié)果有根號(hào)的保留根號(hào))（

A．32+3 B．3+33 C．6【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，在中，可得BD=PD=PB2=3千米，在Rt△PAD中，tan6【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，

由題意得，∠BPD=45°，∠APD=60°，PB=32在中，∵∠BPD=45°∴BD=PD=在Rt△PAD中，解得AD=33∴AB=AD+BD=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某漁船正在海上P處捕魚，先向北偏東30°的方向航行10km到A處，然后右轉(zhuǎn)40°再航行53km到B處．在點(diǎn)A的正南方向，點(diǎn)P的正東方向的C處有一條船，也計(jì)劃駛往A．北偏東10° B．北偏東30° C．北偏東35° D．北偏東40°【答案】C【分析】連接BC，由題意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=53km，根據(jù)cos【詳解】解：如圖，連接BC，由題意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=∴∠∵cos∴AC=∴AC=AB∴∠即B處在C處的北偏東35°方向，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知B港口位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東45°方向，且其到A觀測(cè)點(diǎn)正北風(fēng)向的距離BM的長(zhǎng)為102km，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的BC方向航行47km到達(dá)C處，測(cè)得C處位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東75°方向，則此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC

【答案】8【分析】根據(jù)，BM=102和勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)tan∠BAD=BDAD求出BD【詳解】解：∵∠MAB=45°,BM=10∴AB=過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC．交AC的延長(zhǎng)線于D，在Rt△，tan∠∴AD=∴B即BD∴BD=10∴AD=10在Rt△BCD中，BD∴CD=2∴AC=AD?CD=10

故答案為：83【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形得到邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為162海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一輪船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°方向上，且A，P

(1)若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(2)如果輪船繼續(xù)向正東方向航行有危險(xiǎn)，輪船自A處開始改變航行方向，沿南偏東α度方向航行確保安全通過(guò)這一海域，求α的取值范圍．【答案】(1)有危險(xiǎn)(2)0<α<75°時(shí)，輪船能安全通過(guò)這一區(qū)域【分析】（1）過(guò)P作PB⊥于B，則PB的長(zhǎng)是A沿方向距離P點(diǎn)的最短距離，求出最短距離，再比較比較即可；（2）設(shè)輪船沿南偏東航向是射線AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PB⊥輪船航線于B，則PB的長(zhǎng)是A沿方向距離P點(diǎn)的最短距離，由題意得∠PAB=90°?60°=30°，PA=32，∴在Rt△PAB中，∴sin∠∴PB=16，∵16<162答：若輪船繼續(xù)向正東方向航行有觸礁危險(xiǎn)．（2）解：設(shè)輪船沿南偏東航向是射線AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于當(dāng)時(shí)，角α的度數(shù)最大，∵在Rt△PAD中，，∴sin∠∴∠PAD=45°∴∠EAD=45°?30°=15°∴沿南偏東最大角度為90°?15°=75°方向航行確保安全通過(guò)這一海域，即0<α<75°時(shí)，輪船能安全通過(guò)這一區(qū)域．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是如何構(gòu)造直角三角形并知道求哪一條線段的長(zhǎng)．題型十二坡度坡比問(wèn)題1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，大壩橫截面的迎水坡AB的坡比為1∶2，即BC∶AC=1∶2，若坡面AB長(zhǎng)度10米，則坡面AB的水平寬度AC長(zhǎng)為（

）

A．25 B．5 C．53 【答案】D【分析】根據(jù)坡度的概念得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵坡面AB的坡度為1：2，∴BCAC=由勾股定理得，AC則AC解得AC=45故斜坡的水平寬度AC的長(zhǎng)為45故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念：坡面的鉛直高度和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一斜坡的坡度i=1:2，小明同學(xué)沿斜坡的坡面從點(diǎn)A向上走了100米到達(dá)點(diǎn)B處，則小明上升的高度BC為（

）

A．205米 B．20米 C．405米 D．【答案】A【分析】設(shè)BC=x米，根據(jù)坡度i=1:2，得出AC=2x，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)BC=x米，因?yàn)樾逼碌钠露萯=1:2，則AC=2x米，小明同學(xué)沿斜坡的坡面從點(diǎn)A向上走了100米到達(dá)點(diǎn)B處，所以，100=B解得，x=205故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)坡度表示出兩條直角邊的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從A處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)B處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A．30° B．1:2 C．1:3 D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：AC=16則山坡的坡度為：BC:AC=80:803故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）小華和小源利用無(wú)人機(jī)測(cè)量某座山的垂直高度AB．如圖所示，無(wú)人機(jī)在地面BC上方130米的D處測(cè)得山頂A的仰角為22°，測(cè)得山腳C的俯角為．已知AC的坡度為1:0.75，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，則此山的垂直高度AB為米．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，

【答案】222.9【分析】過(guò)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥DH于點(diǎn)R，設(shè)米，則AH=x?130米，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：過(guò)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥DH于點(diǎn)

設(shè)米，則AH=x?130米，∵AB:BC=1:0.75，∴BC=RH=0.75x米，BH=CR=130米，在Rt△DCR中，∵tan∴解得x≈222.9，∴AB=222.9米，故答案為：222.9．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．3．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)聊城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，小明為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度，他在點(diǎn)A測(cè)得大樹頂端B的仰角為45°，沿斜坡走352米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測(cè)得樹頂端點(diǎn)B的仰角為31°，且斜坡的坡比為1:2，E，A，C

(1)求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過(guò)程中，他上升的高度．(2)大樹BC的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：，，tan31°≈0.60)【答案】(1)小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過(guò)程中，他上升的高度為32(2)大樹BC的高度約為米【分析】（1）作DH⊥AE于，在中，DHAH=12，則AH=2DH．由勾股定理得（2）延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)G.設(shè)BC=x米．求出GA=GH+AH=2.5+3=5.5(米).在Rt△BGC中，tan∠DGH=BCGC，則CG=BCtan∠DGH≈x0.60【詳解】（1）作DH⊥AE于

在中，∵DH∴AH=2DH∵A∴(2DH∴DH=32答：小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過(guò)程中，他上升的高度為32米（2）如圖，延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)G.設(shè)BC=x米．由題意，得∠DGH=31°∴GH=∵AH=2DH=3∴GA=GH+AH=2.5+3=5.5(米).在Rt△BGC中，∴CG=BCtan在Rt△BAC中，∴AC=BC=x∵GC?AC=AG∴5解得x=33答：大樹BC的高度約為米.【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角、仰角、三角函數(shù)的概念等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型十三三角函數(shù)的其他應(yīng)用1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，為了測(cè)量河岸A，B兩點(diǎn)的距離，在與AB垂直的方向上取點(diǎn)C，測(cè)得，∠ABC=α，那么AB等于（

）

A．a(chǎn)?sinα B．a(chǎn)?cosα C．【答案】D【分析】由題意知，∠BAC=90°，則tan∠ABC=AC【詳解】解：由題意知，∠BAC=90°∴tan∠ABC=ACAB，即故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器，稱為圭表，如圖是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC高為a，已知，冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即BC的長(zhǎng)）約為（

）

A．a(chǎn)sin26.5° B．a(chǎn)cos26.5° C．a(chǎn)cos265°【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形，可以用含a的式子表示出BC的長(zhǎng)，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，立柱根部與圭表的冬至線的距離為ACtan故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）馬路邊上有一棵樹AB，樹底A距離護(hù)路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角為60度，小明發(fā)現(xiàn)，下午2點(diǎn)時(shí)太陽(yáng)光下該樹的影子恰好為AD，同時(shí)刻1米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)為0.5米，下午4點(diǎn)時(shí)又發(fā)現(xiàn)該樹的部分影子落在斜坡CD上的DE處，且BE⊥CD，如圖所示，線段DE的長(zhǎng)度為（

）

A．33?32m B．33【答案】A【分析】根據(jù)在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，求出AB，延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)F，根據(jù)30度角的直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵同時(shí)刻1米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)為0.5米，AD=3米，∴樹AB的高度是6米；延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)F，

，∵AB=6，，∴AF=∴DF=AF?AD=∴DE=∴線段DE的長(zhǎng)度為33故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及平行投影，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到AB的影長(zhǎng)．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且∠ACB=60°，∠ADB=30°，，則線段AB的長(zhǎng)約為m.（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）

【答案】15【分析】由∠ACB=60°，∠ADB=30°可得∠ADB=∠CAB=∠CAD=30°，可推得AC=CD=17.5m，由三角函數(shù)求出AB即可．【詳解】∵∠ACB=60°，∠ADB=30°，∠ACB=∴∠ADB=∴AC=CD=17.5m，又∵∠ABC=90°∴∠CAB=90°?60°=30°∵cos∠∴3解得AB≈15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．3．（2022·福建寧德·統(tǒng)考一模）某市游樂(lè)園有一座勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪，其前方有一座三層建筑物，小明想利用該建筑物的高度來(lái)估計(jì)摩天輪的高度，他通過(guò)實(shí)際體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，從最低點(diǎn)A處坐上摩天輪，經(jīng)過(guò)3分鐘到點(diǎn)B處時(shí)，該建筑物的屋頂正好在水平視線上．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，該建筑物的第一層約為5米，其余兩層每層約為3.5米，摩天輪最低點(diǎn)A離地面2米，在不考慮其它因素的前提下，估計(jì)摩天輪的高度是多少米．(參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，

【答案】摩天輪的高度約為70米．【分析】延長(zhǎng)DB交OA于點(diǎn)E，通過(guò)旋轉(zhuǎn)時(shí)間可以確定∠AOB=360°×324=45【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)DB交OA于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OA交地