第二章 直角三角形的邊角關(guān)系 綜合檢測

第二章直角三角形的邊角關(guān)系綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題4分，共32分)1.(2022浙江金華中考)一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知BC=6m，∠ABC=α，則房頂A離地面EF的高度為()A.(4+3sinα)m B.(4+3tanα)mC.4+3sinαm2.(2023山東煙臺芝罘期中)如圖，已知△ABC的三個頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則cosA的值為()A.33 B.55 3.(2023山東淄博淄川期中)如圖，要在坡角為30°的斜坡上栽兩棵樹(A與B)，要求它們之間的水平距離AC為6m，則斜坡上這兩棵樹之間的距離AB為()A.12m B.33m C.43m D.124.(2021山東煙臺中考)用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器進行計算，其按鍵順序及結(jié)果如下：2yx3-16=按鍵的結(jié)果為m；2ndF64-2x2=按鍵的結(jié)果為n；92-cos60=按鍵的結(jié)果為k.下列判斷正確的是()A.m=n B.n=k C.m=k D.m=n=k5.(2022山東煙臺招遠期中)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC=6，sinA=12，則DEA.23 B.3 C.3 6.(2021山東濟南中考)無人機低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測.如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機對一塊試驗田進行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為135m的A處測得試驗田右側(cè)邊界N處的俯角為43°，無人機垂直下降40m至B處，又測得試驗田左側(cè)邊界M處的俯角為35°，則M，N之間的距離為()(參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù))A.188m B.269m C.286m D.312m7.(2022湖北仙桃中考)由4個形狀相同、大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=()A.13 B.12 8.(2021山東煙臺中考)由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，其中∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16，則OG的長為()A.274 B.14 二、填空題(每小題4分，共20分)9.(2022湖南益陽中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=45，則cosB=10.(2022內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測者眼睛與地面的距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為m.(結(jié)果取整數(shù)，3≈1.7)

11.(2021湖南邵陽中考)如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點E.若sin∠ADE=45，AD=4，則AB的長為12.(2022貴州黔東南州中考)如圖，校園內(nèi)有一棵枯死的大樹AB，距樹12米處有一棟教學(xué)樓CD，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測得點B的仰角為45°，點A的俯角為30°.小青計算后得到如下結(jié)論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點A處砍伐，則樹干倒向教學(xué)樓CD方向會對教學(xué)樓有影響；④若第一次在距A點8米處的樹干上砍伐，則不會對教學(xué)樓CD造成危害.其中正確的是.(填寫序號，參考數(shù)值：3≈1.7，2≈1.4)

13.(2021四川樂山中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，有一個銳角為60°，AB=4.若點P在直線AB上(不與點A，B重合)，且∠PCB=30°，則CP的長為.

三、解答題(共48分)14.(8分)計算：(1)(2022山東東營廣饒期中)3tan30°-(cos60°)-1+8cos45(2)(2022山東威海榮成16校聯(lián)盟期中)sin230°-cos45°·tan60°+sin60°cos45°-tan4515.(2022貴州貴陽中考)(8分)交通安全心系千萬家.高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示.測速儀C和測速儀E到路面的距離CD=EF=7m，測速儀C和E之間的距離CE=750m，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25°，在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60°，小汽車在隧道中從點A行駛到點B所用的時間為38s(圖中所有點都在同一平面內(nèi)).(1)求A，B兩點之間的距離(結(jié)果精確到1m)；(2)若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點A行駛到點B是否超速，通過計算說明理由.(參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)16.(10分)如圖，為了測量一條河流的寬度(AB的長)，小婷從C點出發(fā)沿與河岸平行的河堤行走60米到D點，若分別測得∠BCD=22.5°，∠CDB=135°，∠ADF=67°，求河流的寬度.結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125,217.(2022四川遂寧中考)(10分)某數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角∠GAE=50.2°，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i=5∶12，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角∠EBF=63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米?(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89)18.(2022山東煙臺模擬D卷)(12分)小穎的爸爸駕駛轎車在一條東西走向的公路上行駛，坐在車里的小穎在A處時，發(fā)現(xiàn)D處信號塔和E處信號塔都在他的東北方向，當(dāng)轎車沿正東方向行駛6km到達B處時，E處信號塔在他的北偏東15°方向，轎車由B處繼續(xù)向正東方向行駛6km到達C處，此時D處信號塔在他的北偏西60°方向.(1)求A處與D處信號塔之間的距離；(2)求D處信號塔與E處信號塔之間的距離.(結(jié)果保留根號)

第二章直角三角形的邊角關(guān)系綜合檢測答案全解全析一、選擇題1.B過點A作AD⊥BC于點D，圖略.∵題圖是軸對稱圖形，∴AB=AC，∴BD=12BC=3m.在Rt△ADB中，tan∠ABD=AD∴AD=BD·tanα=3tanαm，∴房頂A離地面EF的高度為(4+3tanα)m.2.D如圖，取格點D，連接CD.由網(wǎng)格特點知∠ADC=90°，設(shè)小正方形的邊長為1，則由勾股定理得AD=22，AC=10，所以cosA=ADAC故選D.3.C∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，∴AB=ACcos30°=64.C∵m=23-16=8-4=4，n=364-22=4-4=0，k=92?cos60°=95.A在Rt△ABC中，∵sinA=BCBA=12，BC=6，∵D是AB的中點，∴AD=12AB=6.∵ED⊥AB∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中，∵sinA=12，∴∠A=30°.∵tanA=DE∴DE=6×tan30°=6×33故選A.6.C由題意得∠N=43°，∠M=35°，AO=135m，AB=40m，則BO=AO-AB=95m.在Rt△AON中，tanN=AONO=tan43°∴NO=AOtan43°≈150m.在Rt△BOM中，tanM=BOMO=tan35∴MO=BOtan35°≈135.7m.∴MN=MO+NO=135.7+150≈286(m).7.C如圖，取格點D，連接CD，由題意知點B，C，D在同一直線上.∵網(wǎng)格是由4個形狀相同、大小相等的菱形組成的，∴OD=OB，OA=AD.∵∠O=60°，∴△OBD是等邊三角形.∴BA⊥OD，∠ADB=60°.∴∠ABC=90°-60°=30°.∴tan∠ABC=tan30°=33，故選C8.A在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠AOB=30°，∴OB=OA·cos∠AOB=32同理可得，OC=32OB=322OA……∴OG=32OF=二、填空題9.4解析在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA=BCAB=45，∴cos10.17解析由題意可得∠COD=α=∠AOB=60°，在Rt△COD中，CD=1.7m，tan∠COD=CDDO∴DO=CDtan60°=∴BO=BD-DO=11-1=10(m).在Rt△AOB中，tan∠AOB=ABOB∴AB=OB·tan60°=103≈17(m).∴旗桿AB的高度約為17m.11.3解析∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD=90°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.∴∠ACD=∠ADE.∴sin∠ACD=sin∠ADE=45∴AB=CD=AC2?A12.①③④解析本題通過判斷小青計算得到的各個結(jié)論的對錯考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用.如圖，過點D作DE⊥AB，垂足為E，則AE=DC，DE=AC=12米.①在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AE=DE·tan30°=12×33=4在Rt△BED中，BE=DE·tan45°=12(米).∴AB=AE+BE=43+12≈18.8(米)，故①正確.②CD=AE=43≈6.8(米)，故②不正確.③∵AB>AC，∴若直接從點A處砍伐，則樹干倒向教學(xué)樓CD方向會對教學(xué)樓有影響，故③正確.④∵18.8-8=10.8(米)，10.8米<12米，∴若第一次在距A點8米處的樹干上砍伐，則不會對教學(xué)樓CD造成危害，故④正確.∴正確的是①③④.13.3或2解析①若∠ABC=60°，則BC=12AB=2.當(dāng)點P在線段AB上時，如圖∵∠PCB=30°，∴CP⊥AB.∴PC=BC·cos30°=2×32當(dāng)點P'在AB的延長線上時，如圖.∵∠P'CB=30°，∠ABC=60°，∴∠P'=30°.∴P'C=2PC=23.②若∠A=60°，則點P″只能在線段AB上，如圖.∵∠P″CB=30°，∠ACB=90°，∴∠ACP″=60°.∴△P″AC為等邊三角形.∴P″C=AC=12AB=2綜上，PC的長為3或23三、解答題14.解析(1)原式=3×3=3?2+2+3(2)sin230°-cos45°·tan60°+sin60°cos45°-tan45=1215.解析(1)∵在Rt△ADC中，∠CAD=25°，CD=7m，tan∠CAD=CDAD，∴AD=7tan25°∵在Rt△BFE中，∠EBF=60°，EF=7m，tan∠EBF=EFBF，∴BF=7tan60°∵CD⊥DF，EF⊥DF，∴DF=CE=750m，∴AB=AD+DF-BF=7tan25°+750?∴A，B兩點之間的距離約是760m.(2)小汽車的速度約為76038=20(m/s)∵該隧道限速22m/s，20m/s<22m/s，∴小汽車沒有超速.16.解析如圖，延長AB交CF于點E，由題意得AE⊥CD.因為∠BCD=22.5°，∠CDB=135°，所以∠CBD=22.5°，∠BDE=45°，所以∠BCD=∠CBD，所以DB=CD=60米.在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠BDE=45°，所以BE=BD·sin∠BDE=60×22=30所以DE=BE=302米.在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE所以AE=302·tan67°所以AB=AE-BE=422≈59(米).所以河流的寬度約為59米.17.解析如圖，延長EF交AG于點H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點P，則四邊形BFHP是矩形.∴FB=PH，F(xiàn)H=PB.由i=5∶12可設(shè)BP=5x米，AP=12x米.∵PB2+PA2=AB2，即(5x)2+(12x)2=262，∴x=2(舍負).∴FH=PB=10米，AP=24米.設(shè)EF=a米，BF=b米，∵tan∠EBF=EFBF，∴ab≈2.00∵tan∠EAH=EHAH=EF+HFAP+PH由①②解得a≈47，b≈23.5.∴EF=47米.答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米.18.解析(1)如圖，過D作DM⊥AC于M，設(shè)DM=xkm.在Rt△DAM中，∵∠DAB=45°，∴AM=DM=xkm.在Rt△DCM中，∵∠DC