廣東省廣州市增城區(qū)2024屆九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在下列四個圖案中，不是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件為隨機(jī)事件的是(

)A.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 B.負(fù)數(shù)大于正數(shù)

C.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° D.通常加熱到100℃時，水沸騰3.如果反比例函數(shù)y=ax的圖象分布在第一、三象限，那么a的值可以是(

)A.-3 B.2 C.0 D.-24.如圖，在△ABC中，∠BAC=32°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB'C'，則∠B'AC的度數(shù)為(

)A.28°

B.30°

C.32°

D.38°5.解方程“1x=x”時，小明繪制了如圖所示的函數(shù)圖象，通過觀察圖象，該方程的解為(

)A.x=1

B.x1=1，x2=2

C.x16.某商店將進(jìn)貨價格為20元的商品按單價36元售出時，能賣出200個.已知該商品單價每上漲1元，其銷售量就減少5個.設(shè)這種商品的售價上漲x元時，獲得的利潤為1200元，則下列關(guān)系式正確的是(

)A.(x+16)(200-5x)=1200 B.(x+16)(200+5x)=1200

C.(x-16)(200+5x)=1200 D.(x-16)(200-5x)=12007.如圖，正方形ABCD的邊長為2，AC是以點B為圓心，AB長為半徑的一段圓弧，則AC的長為(

)A.π

B.2π

C.3π

D.4π8.如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O相切于點A，點C，若∠P=60°，PA=3，則AB的長為(

)A.1

B.2

C.3

D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-4,2)，B(-6,-4)，以原點O為位似中心，相似比為12，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是(

)A.(-2,1) B.(2,-1) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)10.如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過等腰直角三角形的兩個頂點A，B，點A在y軸上，則ac的值為(

)A.-4

B.-3

C.-2

D.-1二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O上，則OP的長為______．12.已知△ABC∽△DEF，其相似比為2：3，則它們的周長之比為______．13.一個不透明的口袋中裝有紅色、黃色、藍(lán)色玻璃球共100個，這些球除顏色外都相同.小明通過大量隨機(jī)摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則可估計紅球的數(shù)量約為______個.14.若關(guān)于x的方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值等于

．15.已知點M(x1,y1)，N(x2,y2)在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，且0<x16.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一點A(4,2)，在以M(0,3)為圓心，2為半徑的圓上有一點P，將點P繞點A旋轉(zhuǎn)180°后恰好落在x軸上，則點P的坐標(biāo)是______．

三、計算題：本大題共1小題，共4分。17.解方程：x2+2x-3=0．四、解答題：本題共8小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題4分)

如圖，AD、BC相交于點P，連接AC、BD，且∠1=∠2，AC=6，CP=4，DP=2，求BD的長．19.(本小題6分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OBC的三個頂點均在格點上．

(1)畫出△OBC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△OB'C'；

(2)寫出點B'、C'的坐標(biāo)．20.(本小題6分)

如圖，有3張分別印有第19屆杭州亞運會的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C蓮蓮.現(xiàn)將這3張卡片(卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同)放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片，求下列事件發(fā)生的概率．

(1)第一次取出的卡片圖案為“B琮琮”的概率為______；

(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A宸宸”的概率．21.(本小題8分)

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，∠BAC=60°，l是過點B的一條直線．

(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D，交直線l于點E.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若BD=BE，求證：l是⊙O的切線．22.(本小題10分)

如圖，從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h=-5t2+30t．

(1)當(dāng)小球運動的時間是多少時，小球回落到地面A處？

(2)23.(本小題10分)

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知A(3,1)，點B的坐標(biāo)為(m,-2)．

(1)分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)在y軸上是否存在一點P(不與點O重合)，使得△PDC∽△CDO，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．24.(本小題12分)

已知拋物線y=x2-2(m+1)x+m2+2m(m是常數(shù))與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，頂點為C．

(1)若m=1，求拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)若點E是點C關(guān)于x軸對稱的點，判斷以點A、C、B、E為頂點的四邊形的形狀，并寫出證明過程；

(3)在(1)的條件下，將二次函數(shù)向左平移k(k>0)個單位，得到一條新拋物線，若順次連接新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點所得三角形的面積為25.(本小題12分)

如圖，已知矩形ABCD中，AB=a(a>1)，BC=2，點O是BC邊的中點，點E是矩形內(nèi)一個動點，且OE=1．

(1)當(dāng)OE⊥BC時，連接BE、CE，直接寫出∠BEC的度數(shù)；

(2)當(dāng)a=3時，連接DE，若DE⊥OE，求BE的長；

(3)當(dāng)a=2時，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到線段DF，點P是線段DF的中點，當(dāng)點E在矩形ABCD內(nèi)部運動時，求點P運動路徑的長度．

答案和解析1.D

2.A

3.B

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.D

10.C

11.5

12.2：3

13.30

14.1

15.>

16.(3,4)17.解：x2+2x-3=0

∴(x+3)(x-1)=0

∴x118.解：∵∠1=∠2，∠APC=∠BPD，

∴△APC∽△BPD，

∴ACBD=CPDP，

∵AC=6，CP=4，DP=2，

∴19.解：(1)如圖，△OB'C'即為所求．

(2)由圖可得，B'(3,-4)，C'(3,0)．

20.13解：(1)由題意得，第一次取出的卡片圖案為“B琮琮”的概率為13．

故答案為：13．

ABCA(A,A)(A,B)(A,C)B(B,A)(B,B)(B,C)C(C,A)(C,B)(C,C)共有9種等可能的結(jié)果，其中取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A宸宸”的結(jié)果有：(A,A)，(A,B)，(A,C)，(B,A)，(C,A)，共5種，

∴取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A宸宸”的概率為59．

21.(1)解：如圖：AD即為所求；

(2)證明：設(shè)AE交⊙O于點F，

∵AB是直徑，

∴∠C=∠AFB=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠CBA=30°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠FBC=∠CAF=12∠CAB=30°，

∵BD=BE，∠AFB=90°，

∴∠EBF=∠FBD=30°，

∴∠ABE=90°，

∵AB是直徑，

∴l(xiāng)是22.解：(1)當(dāng)h=0時，-5t2+30t=0，

解得t=0或t=6，

答：當(dāng)小球運動的時間是6s時，小球回落到地面A處；

(2)h=-5t2+30t=-5(t-3)2+45，

∴23.解：(1)把A(1,3)代入反比例解析式得：3=k1，即k=3，

則反比例解析式為y=3x；

∵B(m,-2)在反比例函數(shù)y=3x上，

∴-2=3m，即m=-32，即B(-32,-2)，

把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得：

3a+b=1-32a+b=-2，

解得：a=23b=-1，

則一次函數(shù)解析式為y=23x-1；

(2)若P與O重合，顯然成立；

若P與O不重合，在y軸上存在一點P，使得△PDC與△CDO相似，理由為：

過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，如圖所示，

∵C、D兩點在直線y=23x-1上，

∴C、D的坐標(biāo)分別為C(32,0)，D(0,-1)，

∴OC=32，OD=1，DC=24.解：(1)m=1時，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,-1)；

(2)四邊形AEBC是正方形，證明如下：

在y=x2-2(m+1)x+m2+2m中，令y=0得0=x2-2(m+1)x+m2+2m，

解得x=m或x=m+2，

∴A(m,0)，B(m+2,0)；

∵y=x2-2(m+1)x+m2+2m=(x-m-1)2-1，

∴拋物線頂點C(m+1,-1)，

∵點E是點C關(guān)于x軸對稱的點，

∴E(m+1,1)；

∴AE=(m+1-m)2+12=2，EB=(m+1-m-2)2+12=2，BC=(m+2-m-1)2+12=2，CA=(m+1-m)2+(-1)2=2，

∴AE=EB=BC=CA，

∴四邊形AEBC是菱形；

∵A(m,0)，B(m+2,0)；C(m+1,-1)，E(m+1,1)；

∴AB=m+2-m=2，EC=1-(-1)=2，

∴AB=EC，即菱形AEBC對角線相等，

∴四邊形AEBC是正方形；

(3)將拋物線y=x25.解：(1)如圖1，

∵O是BC的中點，

∴OB=OC=1，

∵OE=1，

∴OB=OC=OE，

∴∠BEO=∠EBO，∠CEO=∠ECO，

∵OE⊥BC，

∴∠BOE=∠COE=90°，

∴∠BEO=∠EBO=∠CEO=∠ECO=45°，

∴∠BEC=90°；

(2)如圖2，

連接OD，

∵∠DEO=∠C=90°，OE=C=1，OD=OD，

∴Rt△DEO≌Rt△DCO(HL)，

∴∠DOE=∠DO