第4章 桿系結(jié)構(gòu)單元.ppt

1、第四章 桿系結(jié)構(gòu)單元,桿系結(jié)構(gòu)是由一些桿件單元組成。主要結(jié)構(gòu)類型有：梁、拱、框架、桁架等，如圖（4-1）所示。,圖（4-1）,拱,框架,桁架,本章主要內(nèi)容是： 結(jié)構(gòu)離散為單元的有關(guān)問題 單元（局部）坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)（整體）坐標(biāo)系 單元坐標(biāo)系中各類桿件單元的特性：單元剛度 矩陣、等價節(jié)點(diǎn)力矩陣等。 坐標(biāo)變換矩陣及結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元特性。,2、編號 （1）節(jié)點(diǎn)編號 節(jié)點(diǎn)編號應(yīng)按正整數(shù)不間斷逐點(diǎn)編號。編號時力求單元兩端點(diǎn)號差最小，以便使結(jié)構(gòu)剛度矩陣元素集中在主對角線附近，后面結(jié)構(gòu)剛度矩陣組集中有詳細(xì)說明。,4.1 結(jié)構(gòu)離散,1、離散方法 取桿件與桿件交點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件與支承的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。 相鄰兩節(jié)

2、點(diǎn)間的桿件段是單元。 桿件結(jié)構(gòu)的單元一般只有2個節(jié)點(diǎn)。,（2）單元編號 單元也要逐個依次編號。誰前誰后按實(shí)際情況而定。,3、記錄基本信息 應(yīng)建立一個數(shù)據(jù)文件（DATA.*）來記錄基本信息，以便計算時調(diào)用?；拘畔ǎ?（1）單元總數(shù)（NE）、節(jié)點(diǎn)總數(shù)（NJ）、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)（NDF）。 （2）彈性模量（E）、波桑系數(shù)（AMU）。 （3）單元I端節(jié)點(diǎn)號IO（NE）、 J端節(jié)點(diǎn)號JO（NE） （4）有約束的節(jié)點(diǎn)數(shù)（ NRJ ）、有約束的節(jié)點(diǎn)號（KRJ(NRJ)）、受約束的自由度（KRL(NDF, NRJ)）。,（5）單元截面面積（A）、截面慣性矩（ZI） （6）節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：X(NJ)、Y(NJ) （

3、7）分布力荷載集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) （8） 受集中力作用的節(jié)點(diǎn)數(shù)（MJL）、受集中力作用的節(jié)點(diǎn)號（NJL（MJL）、集中力數(shù)值（VJL（NDF，MJL）。,DATA.FRA (1) NE、NJ、NDF 25, 18, 3 (2）E、AMU 3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、JO（NE） 1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11, 11, 12

4、, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18 (4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（KRL(NDF,NRJ)） 3， 1,2,3, 9*1 A(NE)、ZI(NE) X(NJ)、Y(NJ) qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) (8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL) 數(shù)據(jù)填寫順序應(yīng)和程序?qū)?yīng)。,4、示例,練習(xí) 對平面鉸接桁架進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散，并作出數(shù)據(jù)文件。,已知：E=2.1109kN/m2 P1=P3=10kN, P2=50kN, 15cm2 (斜桿） A = 65cm2 (上下弦桿） 40cm2 (豎桿）,4.2 單元（局部）坐標(biāo)系,桿系結(jié)構(gòu)單元在結(jié)構(gòu)

5、中的位置是復(fù)雜的。如圖（4-1）桁架所示。,圖（4-1）,如果每一個單元都在統(tǒng)一的整體坐標(biāo)系XY中寫單元剛度矩陣?？赡軐?dǎo)致結(jié)構(gòu)中處于不同位置的同一類型單元，其單元剛度矩陣不相同。這不利于計算機(jī)編程運(yùn)算。,桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點(diǎn)i、j。,約定：單元坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)i；節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中x軸的正向。 y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則（圖4-2）,容易理解，采用適合于單元具體方位的坐標(biāo)系將會改善上述狀況，得出規(guī)格化的結(jié)果。這種屬于每個單元的坐標(biāo)系稱為單元坐標(biāo)系，也稱局部坐標(biāo)系。,為了便于對單元坐標(biāo)系中的單元特性進(jìn)行識別

6、，引入以下符號：,e單元坐標(biāo)單元位移 Fe單元坐標(biāo)單元力 ke單元坐標(biāo)單元剛度矩陣,單元的2個節(jié)點(diǎn)中取任何一個作為i均可，只要指定好i節(jié)點(diǎn)和j節(jié)點(diǎn)，x軸的 正向就確定了。 對于梁單元， y軸和z軸 分別為橫截面上的兩個慣性主軸。,下面，開始討論幾種桿系結(jié)構(gòu)單元在單元坐標(biāo)中的一些特性。,4.3 鉸接桿單元,圖4-3示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長度為l，彈性模量為E，軸向分布載荷為qx。單元有2個結(jié)點(diǎn)i，j，單元坐標(biāo)為一維坐標(biāo)軸x。,1、一維鉸接桿單元,單元力向量為：,（4-2）,（1）位移模式和形函數(shù), 位移模式,單元結(jié)點(diǎn)位移向量為：,（4-1）,因?yàn)橹挥?個結(jié)點(diǎn)，每個結(jié)點(diǎn)位移只有1個自

7、由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：,（4-3）,式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條件 x=xi 時， u=ui x=xj 時， u=uj 確定。,由此可確定a1、a2 。再將其代入式（4-3），得,（4-4）,a1,a2, 形函數(shù),將式（4-4）改寫為下列形式,（4-5）,式中e由式（4-1）確定，形函數(shù)N為,（4-6）,（2）應(yīng)變矩陣,一維鉸接桿單元僅有軸向應(yīng)變,將式（4-5）、（4-6）代入上式，得,上式也可寫為,（4-7）,式中B為應(yīng)變矩陣,（4-8）,由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,（3）應(yīng)力矩陣,將式（4-7）代入上式，得,（4-9）,式中S為應(yīng)力矩陣,（4-10）,(4) 等價節(jié)點(diǎn)力,單元上作

8、用分布力qx，則等價節(jié)點(diǎn)力計算公式仍為以下形式,當(dāng)分布力集度qx為常數(shù)時，有,（4-11）,式（4-11）概念是將分布力引起的合力按靜力等效原則分配到單元節(jié)點(diǎn)上。由于位移模式是線性函數(shù)，因此按公式（4-11）計算結(jié)果與靜力等效分配是一致的。,(5) 單元坐標(biāo)單元剛度矩陣,單元坐標(biāo)單元剛度矩陣仍式（2-33）推出,（2-33）,對于等截面鉸接桿單元， dv=Adx A 單元截面面積。 有,將式（4-8）代入上式，得,（4-12）,2、平面鉸接桿單元,（1）單元坐標(biāo)單元位移向量,（2）位移模式和形函數(shù),由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（4-3）、（4-4）。（y方向位移不引起單元力）,

9、形函數(shù),（4-13）,（3）應(yīng)變矩陣, 位移模式,（4-7）,應(yīng)變矩陣 B為,（4-14）,（4）應(yīng)力矩陣,（4-9）,應(yīng)力矩陣 S為,（4-15）,(5) 等價節(jié)點(diǎn)力,（4-16）,(6) 單元坐標(biāo)單元剛度矩陣,對于等截面鉸接桿單元，,3、空間鉸接桿單元,（1）單元坐標(biāo)單元位移向量,圖4-5,（4-18）,（2）形函數(shù),（4-19）,（3）應(yīng)變矩陣,（4-20）,（4）應(yīng)力矩陣,（4-21）,(5) 等價節(jié)點(diǎn)力,（4-22）,(6) 單元坐標(biāo)單元剛度矩陣,對于等截面鉸接桿單元，,4.4 梁單元,1、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元,圖4-5,（1）單元坐標(biāo)單元位移和單元力, 單元位移,（4-2

10、4）,其中，,vy方向位移，即撓度。 角位移。, 單元力,（4-26）,其中， Q剪力 M彎矩,（4-27）,（2）位移函數(shù)和形函數(shù),設(shè)單元坐標(biāo)位移模式為,（4-28）, 位移模式, 形函數(shù),由單元兩端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移條件，解出式（4-28）中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫為以下形式：,梁單元內(nèi)一點(diǎn)有2個位移： v、,因?yàn)椋?=dv/dx （4-25） 僅一個位移是獨(dú)立的，取 v 。,（4-29）,式中,（4-30）,（4-31）,（3）應(yīng)變矩陣, 單元彎曲應(yīng)變b與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系。 由材料力學(xué)知，梁單元上任一點(diǎn)的應(yīng)變和該點(diǎn)撓度之間關(guān)系為：,（4-32）,將式（4-29）代入

11、（4-32），得單元彎曲應(yīng)變和單元位移之間關(guān)系,（4-34）,（4-33）,（4）應(yīng)力矩陣,（4-35）,(5) 等價節(jié)點(diǎn)力,對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時可將其作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷處理。 這里考慮的是把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價節(jié)點(diǎn)力問題。當(dāng)梁單元上作用有橫向分布荷載qy(x)時（圖4-6），,圖4-7,qy (x)dx,橫向分布荷載qy(x)的勢能Vq為：,（4-36）,形函數(shù)矩陣由式（4-30）和（4-31）給出。對于具體問題，只要將qy(x)代入上式進(jìn)行積分即可。表1給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點(diǎn)力。,q,幾種橫向分布荷載等價節(jié)點(diǎn)力 表 1,(6) 單元坐標(biāo)

12、單元剛度矩陣,梁單元剛度矩陣公式為,將式（4-34）代入上式進(jìn)行積分，并注意到,Iz梁截面對Z軸（主軸）的慣性矩,得單元坐標(biāo)單元剛度矩陣ke:,（4-37）,單元剛度矩陣式(4-38)適合于連續(xù)梁分析。,2、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元,圖4-8,（1）單元坐標(biāo)單元位移和單元力, 單元位移,（4-39）,其中，,ux方向（軸向）位移。 vy方向位移，即撓度。 角位移。, 單元力,（4-40）,其中， N軸向力 Q剪力 M彎矩,對于小變形問題，可以認(rèn) 為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按4.3節(jié)一維鉸接桿單元和4.4節(jié)兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元的結(jié)果（式4-

13、3和式4-28）簡單集合而成。,（2）位移函數(shù)和形函數(shù), 位移模式,以下形函數(shù)和一些基本矩陣都可按此思路推演。,（4-41）, 形函數(shù),式中形函數(shù)N為：,（4-42）,（4-43）,其中,（3）應(yīng)變矩陣, 單元彎曲應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系。 承受軸向力、剪力、彎矩的梁單元上任一點(diǎn)的應(yīng)變，應(yīng)為該點(diǎn)撓度（v）引起的應(yīng)變和軸向位移（u）引起的應(yīng)變之和。,考慮到式（4-8）和（4-34），單元應(yīng)變矩陣為：,（4-44）,(5) 等價節(jié)點(diǎn)力,（4）應(yīng)力矩陣,（4-46）,應(yīng)力矩陣形式同式（4-35）：,將式（4-36）、（4-11）膨脹成61矩陣后相加，并注意到式（4-43），有,最后得等價節(jié)點(diǎn)力矩陣,（

14、4-47）,表2給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點(diǎn)力。,幾種橫向分布荷載等價節(jié)點(diǎn)力 表 2,(6) 單元坐標(biāo)單元剛度矩陣,梁單元剛度矩陣公式為,式(4-48)用于分析平面框架。,3、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁 單元,圖4-10,此類單元適用于格柵以及受面外荷載的平面框架。之所以仍稱為平面梁單元，是由于結(jié)構(gòu)本身是平面結(jié)構(gòu)，而節(jié)點(diǎn)也是3個自由度。,x、Mx截面繞扭心軸的扭轉(zhuǎn)角和相應(yīng)扭矩。 y、My截面繞y軸的彎曲轉(zhuǎn)角和相應(yīng)彎矩。 w、Q截面形心的橫向位移和相應(yīng)橫向剪力。,如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互不獨(dú)立的。例如，橫向剪力不通過扭心，它會引起對扭心軸的扭矩。,這里只討論截面

15、形心與扭心重合或可以近似認(rèn)為重合的情形。則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互獨(dú)立的。,此外，這里的扭轉(zhuǎn)限于純扭轉(zhuǎn)或稱均勻扭轉(zhuǎn)。其特點(diǎn)是扭矩和扭率（單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角）成正比。即,（4-49）,扭矩平衡條件,（4-50）,由此得,（4-51）,式中GJ為截面扭轉(zhuǎn)剛度。,只需要將式（4-48）中的Iz換成Iy，并注意編號次序。同時考慮到式（4-51），即得,4、空間梁單元,空間梁單元，每個節(jié)點(diǎn)有6個自由度，單元自由度為12。圖4-11給出了空間梁單元節(jié)點(diǎn)位移分量的正方向及其編號。單元力的正向及其編號與單元位移相同。,圖4-11a,圖4-11b,綜合前述結(jié)果，得空間梁單元單元坐標(biāo)單元剛度矩陣(式4-53）（式

16、4-57）。,（4-54）,（4-55）,（4-56）,（4-57）,4.5 單元特性在兩類坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換,在4.3、4.4節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于單元坐標(biāo)單元剛度矩陣。,進(jìn)行系統(tǒng)分析時，需要把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸的分量表示出來，以便建立節(jié)點(diǎn)平衡方程。因此，在進(jìn)行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標(biāo)系中的單元力以及單元剛度矩陣都轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中去。此外，還需要把結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)系中去，以計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。因此了解坐標(biāo)變換是必要的。,設(shè)XYZ為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)（整體）系，xyz為單元（局部）坐標(biāo)系，,約定下列符號：,結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位

17、移 F結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力 k結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元剛度矩陣,1、坐標(biāo)變換矩陣定義,把單元位移從結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)系的變換矩陣定義為坐標(biāo)變換矩陣，用符號R表示。有,繼續(xù)使用前單元坐標(biāo)中的符號：,e單元坐標(biāo)單元位移 Fe單元坐標(biāo)單元力 ke單元坐標(biāo)單元剛度矩陣,式（4-58）給出了結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移轉(zhuǎn)換為單元坐標(biāo)單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時是坐標(biāo)變換矩陣R的定義式。 本節(jié)只了解R的存在和概念和相關(guān)關(guān)系，有關(guān)坐標(biāo)變換矩陣R 的具體形式、內(nèi)容留在4.6節(jié)中專門討論。,2、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力,單元力在單元位移上作的功，不因其坐標(biāo)系的改變而變。則有,（4-58）,將式（4-58）代入，,對上式兩端進(jìn)行轉(zhuǎn)置，注意到,消去，得,

18、即得,（4-59）,式（4-59）表明：結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力等于單元坐標(biāo)單元力前乘坐標(biāo)變換矩陣的轉(zhuǎn)置。,必須指出：式（4-58）是從整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系到局部（單元）坐標(biāo)系的變換式；式（4-59）是從局部（單元）坐標(biāo)系到整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系的變換式。,在單元坐標(biāo)系中，有,3、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元剛度矩陣,上式兩端左乘RT，,注意到式（4-58）、（4-59），有,k結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元剛度矩陣。 得,（4-60）,式（4-60）給出了把單元坐標(biāo)單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換式。,引入,4.6 坐標(biāo)變換矩陣計算式,坐標(biāo)變換矩陣的計算式因單元類型不同而異。,1、平面鉸接桿單元,設(shè)OXY為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)，oxy為單元

19、坐標(biāo)。為從單元 i 端出發(fā)的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量為X、Y；在單元坐標(biāo)系中的分量為x、y。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量X、Y 在單元坐標(biāo)x軸上投影的代數(shù)和給出x 。同理， X、Y 在單元坐標(biāo)y軸上投影的代數(shù)和給出y 。,由圖4-12得：,圖4-12,（4-61）,寫成矩陣形式，,取,x對X、Y的方向余弦 y對X、Y的方向余弦,同理可得單元j節(jié)點(diǎn)在單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的位移向量：,有,組合上述結(jié)果，得平面鉸接桿單元的單元坐標(biāo)單元位移和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移之間關(guān)系：,i、j兩節(jié)點(diǎn)間的位移變換關(guān)系互不耦合。,上式可寫成,坐標(biāo)變換矩陣R的計算式：,用單元節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值（Xi、Yi和Xj、Y

20、j ）描述方向余弦：,i,j,(e),（4-62a）,式中，（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。,2、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元,如果在連續(xù)梁中使用這類單元，通?？蓪卧鴺?biāo)和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)取得一致。此時，無須進(jìn)行坐標(biāo)變換。,3、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元,此時，節(jié)點(diǎn)自由度為3，見圖4-13。,于是得到：,4、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁單元,此時，xy平面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XY平面仍在同一平面上，因而z軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的Z軸指向相同，只須取,圖4-14,在單元坐標(biāo)系中，單元每個節(jié)點(diǎn)（如i）有3個位移分量： xi、yi和wi,，它的變換式和承受軸力

21、、剪力、彎矩的平面梁單元（圖4-13）中向量,的變換式相同。 并且，恒有,向量,，其變換和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元中的,相同。,由此知：,5、空間鉸接桿單元,空間鉸接桿單元的每個節(jié)點(diǎn)有3個相互垂直的線位移分量（u、v、w）。單元自由度為6，如圖4-15。,其中，坐標(biāo)變換矩陣R的內(nèi)容與式（4-63）相同。,5、空間鉸接桿單元,空間鉸接桿單元的每個節(jié)點(diǎn)有3個相互垂直的線位移分量（u、v、w）。單元自由度為6，如圖4-15。,圖4-15,設(shè)向量（圖4-16）在單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系兩個坐標(biāo)系中的分量被表示 為：,（1）一般空間鉸接桿單元 一般空間鉸接桿單元指非豎直桿單元。,圖4-16,有,（

22、4-65）,是坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，是單元坐標(biāo)軸x、y、z在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦：,11、12、13x軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦 21、22、23y軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦 31、32、33z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦,（4-64）,容易理解，式（4-64）可代表空間鉸接桿中一個節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)變換?？臻g鉸接桿單元有2個節(jié)點(diǎn)，所以坐標(biāo)變換矩陣一般可表示為：,（4-66）,下面討論矩陣中，元素ij(i=1、2、3，j=1、2、3)。,對于空間鉸接桿單元，無論單元在結(jié)構(gòu)中的位置如何，都可以把單元坐標(biāo)系的xy面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的XY面取成豎向平面，單元坐標(biāo)系的z軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的

23、Z軸同在水平面內(nèi)（圖4-17）。,圖4-17,j,x軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個方向余弦：,jX,jZ,（4-67）,Xi、Yi、Zi節(jié)點(diǎn)i在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo) Xj、Yj、Zj節(jié)點(diǎn)j在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo),z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個方向余弦：,注意到Y(jié)軸、x軸和線段ij在同一豎直平面內(nèi)。z軸在水平面內(nèi)， z軸與Y軸垂直， z軸也與線段ij垂直。 z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個方向余弦為：,代入式（4-67），得,（4-68）,y軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個方向余弦：,有,因?yàn)閱卧鴺?biāo)系是右手螺旋坐標(biāo)系，故有,按矢量乘法規(guī)則，即得,于是得,（4-69）,綜合式（4-67）、（4-68）、（4-69），得空間鉸接桿單

24、元的矩陣,綜上所述，一般空間鉸接桿單元的坐標(biāo)變換矩陣由式（4-66）、（4-70）、（4-67）確定。,必須指出：對于豎直空間鉸接桿單元，式（4-70）是不能用的，因?yàn)?12+ 132 =0，將導(dǎo)致計算溢出。,（2） 豎直空間鉸接桿單元,豎直的空間鉸接桿單元不外有圖4-18示出的兩種情況：,對于豎直的空間鉸接桿單元，單元坐標(biāo)系中的z軸方向沒有特殊限制，水平面內(nèi)任何方向皆可取作z軸方向。為了計算簡便起見，這里規(guī)定：,z軸方向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的Z軸方向相同。,根據(jù)圖4-18容易確定單元坐標(biāo)軸x、y、z在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的方向余弦，從而直接得到矩陣：,（4-71）,式（4-71）對于圖4-18中的兩種情況

25、都適用。對（a）圖，12=1；對（b）圖， 12=-1。,豎直空間鉸接桿單元的坐標(biāo)變換矩陣R與一般空間鉸接桿單元之不同，在于應(yīng)使用式（4-71）而不要使用式（4-70）去計算矩陣。,6、空間梁單元,和空間鉸接桿單元比較，空間梁單元有以下兩個特點(diǎn)：,特點(diǎn)1：每個節(jié)點(diǎn)有沿單元坐標(biāo)軸方向的兩組位移 向量，即線位移（ui、vi、wi）和角位移 （xi、 yi、 zi）。它們都需要坐標(biāo)變換。,6、空間梁單元,和空間鉸接桿單元比較，空間梁單元有以下兩個特點(diǎn)：,特點(diǎn)1：每個節(jié)點(diǎn)有沿單元坐標(biāo)軸方向的兩組位移 向量，即線位移（ui、vi、wi）和角位移 （xi、 yi、 zi）。它們都需要坐標(biāo)變換。,特點(diǎn)2：空

26、間梁單元單元坐標(biāo)系中的y、z軸是單元橫 截面上的兩個慣性主軸，可能是不能任意確 定的，因而無法保證z軸一定在水平面內(nèi)，即 在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的XZ平面內(nèi)。這就導(dǎo)致矩 陣的計算變得比空間鉸接桿復(fù)雜得多。,因此，坐標(biāo)變換矩陣應(yīng)為：,式（4-72）表明了它和鉸接桿單元式（4-66）的第一項區(qū)別。,（1）可以使用空間鉸接桿單元矩陣的梁單元, 具有軸對稱截面的梁單元,這時，截面內(nèi)過形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。因而，恒可z軸取在水平面內(nèi)。 對于豎直空間梁單元，也可使z軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的Z軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的矩陣（式（4-67）、（4-71） 。, 截面有一根慣性主軸軸在水平面內(nèi),這時，可使用一般空間鉸接桿單元的矩陣（式（4-70）、（4-67）進(jìn)行計算。必須指出，如果是單元是豎直的，只要不能保證z軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的Z,以下兩種情況可以使用鉸接桿單元的矩陣。,軸重合，都不能使用豎向鉸接桿單