江蘇省蘇州市第五中學高中數(shù)學 2.3雙曲線學案（無答案）蘇教版選修2-1（通用）

1、23 雙曲線一、學習內容、要求及建議知識、方法要求建議雙曲線的標準方程了解1通過橢圓與雙曲線的定義之間的關系， 讓學生大膽猜測雙曲線的標準方程 鼓勵學生觀察，比較， 類比， 猜想， 培養(yǎng)學生的理性思維能力2能熟練地利用待定系數(shù)法、定義法或轉移代入法求雙曲線方程雙曲線的幾何性質了解1與橢圓類比， 探索a， b， c， e的幾何意義以及它們之間的關系2通過方程研究雙曲線的幾何性質， 進一步感受解析幾何的基本思想直線與雙曲線的位置關系了解直線與雙曲線的位置關系的討論類似于直線與橢圓的位置關系的討論二、預習指導1預習目標(1)通過本節(jié)的學習，能熟練利用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程；(2)掌握雙

2、曲線的簡單的幾何性質，如：范圍、對稱性、頂點(實軸、虛軸)、漸進線和離心率等；(3)能根據(jù)雙曲線的幾何性質確定雙曲線方程；(4)了解雙曲線在實際問題中的初步應用；(5)體會數(shù)形結合、分類討論等思想方法2預習提綱(1)回顧22節(jié)橢圓的相關知識，回答下列問題：橢圓的標準方程是如何建立的?橢圓有哪些幾何性質?(2)閱讀課本第3643頁，回答下列問題：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(大于0小于F1F2)的點的軌跡叫做_，此時兩定點叫做_，兩定點間距離叫做_若常數(shù)等于F1F2，則點的軌跡是_焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為_，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為_，其中a，b，c的關系為

3、_；雙曲線(a0，b0)上的點中，橫坐標x的范圍是，縱坐標y的范圍是；雙曲線(a0，b0)關于_對稱它的對稱中心叫做雙曲線的_；雙曲線的標準方程為(a0，b0)中，點A1(a，0)、A2(a，0)叫做_，線段A1A2叫做雙曲線的_，線段B1B2(B1(0，b)、B2(0，b)叫做雙曲線的_直線_叫做雙曲線的_其中實軸和虛軸等長的雙曲線叫做_；雙曲線(a0，b0)的漸近線方程為_，雙曲線的_，叫做雙曲線的離心率(3)課本第37頁例1、例2是雙曲線及其標準方程的基本題型，采用的方法是_，若將例1條件中的“絕對值”去掉，所求方程為_?第38頁例3是應用問題，思考部分同學們可以借助電腦等技術手段進行研

4、究；第42頁例1介紹了求雙曲線基本量的方法，若將方程改為呢?第33頁例2要注意求雙曲線的標準方程前，先要確定實軸所在的坐標軸3典型例題(1)雙曲線的標準方程待定系數(shù)法：雙曲線的標準方程有兩種形式，其主要是由于坐標系的建立方式不同而引起的因此在根據(jù)題設條件求雙曲線的標準方程時應注意先確定焦點的位置即方程的形式，然后用待定系數(shù)法，通過解方程或方程組得解例1 求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)一個焦點坐標為F1(0，13)，雙曲線上一點P到兩焦點距離之差的絕對值是24；(2)，經過點A(5，2)，且焦點在x軸上；(3)過兩定點(3，)，(，5)分析： 求雙曲線的標準方程需先由條件確定焦點位置(

5、若不確定則要討論)，然后解方程或方程組得a、b解：(1)由題意設雙曲線的標準方程為：(a0，b0) 2a=24， a=12 一個焦點F1(0，13)， c=13， b2=c2a2=25故所求雙曲線的標準方程為：； (2)由題意設雙曲線的標準方程為：(a0，b0) 雙曲線經過點(5，2)， 又a=， a2=20，b2=16，故所求雙曲線的標準方程為：；(3)若焦點在x軸上，則設方程為：(a0，b0) 雙曲線過兩定點， 解得：(舍去)若焦點在y軸上，則設方程為(a0，b0)， 雙曲線過兩定點， 解得：故所求雙曲線方程為：點評：判斷焦點在哪一條坐標軸上，不是比較x2、y2的系數(shù)的大小，而是看x2、y

6、2系數(shù)的正負號，焦點在系數(shù)為正的那條坐標軸上簡記為“焦點在軸看符號”第(3)問也可以將方程設成mx2+ny2=1(mn0)的形式定義法：由雙曲線定義知：平面內動點與兩定點距離差的絕對值是常數(shù)，且常數(shù)大于0小于兩定點間距離的軌跡才是雙曲線要特別注意絕對值以及常數(shù)的范圍例2 在MNG中，已知NG=4，當動點M滿足條件sinGsinN=sinM時，求動點M的軌跡方程分析：求軌跡方程時，若沒有直角坐標系，應先建立適當?shù)淖鴺讼?，然后將條件坐標化解：以NG所在直線為x軸，以線段NG的垂直平分線為y軸建立直角坐標系 sinGsinN=sinM， 由正弦定理得：MNMG=2 點M的軌跡是以N、G為焦點的雙曲線

7、的右支(除去與x軸的交點) 2a=2，2c=4， a=1，c=2， b2=c2a2=3 動點M的軌跡方程是(x0且y0)點評：雙曲線的定義中，|PF1PF2|=2a(02a2c)若2a=0，則P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線；若2a=2c，則P的軌跡是直線F1F2去掉F1與F2之間的部分PF1=PF2=2a(02a2c)表示雙曲線以F2為焦點的一支，PF1PF2=2a(02a2c)表示雙曲線以F1為焦點的一支例3 某人在以AB為直徑的半圓形區(qū)域內，要到P點去，他只能從半圓形區(qū)域內先到A點，再沿AP到達P點，或先到B點，再沿BP到達P點，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，問怎

8、樣走最近?分析：本題是一道關于幾何建模的應用題，關鍵是在區(qū)域內確定是先往A還是先往B的分界線“最近”的數(shù)學語言是；到P點距離最近半圓內的點有三類：沿AP到P近；沿BP到P近；沿BP、AP到P等距其中類點集是第類與第類點集(分界線)解：設M是分界線上一點，則：MA+AP=MB+BP即MAMB=BPAP=50故M點在以A、B為焦點的雙曲線的左支上在APB中，AP=100，BP=1500，APB=60o故：AB2=17500以AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，則雙曲線?。?1(x25)故當某人在分界線右側時，沿BP走最近；當某人在分界線左側時，沿AP走最近；當某人在分界線上時，沿AP

9、、BP一樣近點評：解決實際應用問題，關鍵是將實際問題數(shù)學化，即建立數(shù)學模型，用數(shù)學的觀點和方法來處理利用定義求焦半徑的長、曲線上一點與兩焦點構成的三角形的周長、面積、角度等例4 設F1、F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足F1PF2=900，求：(1)F1PF2的周長；(2)F1PF2的面積分析：曲線上的點與兩焦點構成的三角形的邊長、面積等問題常利用曲線的定義 解： 點P在雙曲線上 |PF1PF2|=4在F1PF2中，F(xiàn)1F22=PF12+PF222PF1PF2cosF1PF2 F1PF2=900，且F1F2= PF12+PF22=32解方程組得：或 (1) (2)故F1PF2的周長

10、為，面積為4點評：雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形的問題，常利用正弦定理、余弦定理結合雙曲線的定義來處理(2)雙曲線的幾何性質已知雙曲線方程得幾何性質：化標準式例5 分別求下列雙曲線的離心率與漸近線方程：(1)16x29y2=144；(2)3x2y2=3分析：由雙曲線的標準方程求描述雙曲線幾何性質的量時，常先化方程為標準式，并寫出基本量a、b、c，然后求得所需解：(1)原方程化為： 則a=3，b=4，c=5， 漸近線方程為： (2)原方程化為：則，b=1，c=2， 漸近線方程為：點評：雙曲線的離心率跟a、c有關，故只需化方程為標準式到離心率定義即可由雙曲線方程求漸近線方程時可以不將方程化標準式

11、，只需將方程中的常數(shù)項換成0即得，如雙曲線(a0，b0)，將方程中常數(shù)項1換成0即得漸近線方程為：，即本題中只需分別將144和3均換成0即得漸近線方程：和已知雙曲線的幾何性質求標準方程：定型，定a、b 例6 分別求下列雙曲線的標準方程：(1)一個頂點是A(5，0)，離心率為；(2)過點M(5，3)，離心率；(3)一個焦點是F(6，0)，一條漸近線為；(4)焦距是10，虛軸長為8分析：由條件求雙曲線的標準方程常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法時首先需由條件判定焦點所在軸，即方程的形式，若不能判斷，則需要討論焦點位置，其次是求a、b，求a、b時注意利用恒等式：c2=a2+b2解：(1)由題意焦點在x軸上

12、，故可設雙曲線的標準方程為：(a0，b0)則 一個頂點A(5，0)， a=5 ， c=6又b2=c2a2， b2=11故雙曲線的標準方程為： (2)若焦點在x軸上，設方程為：(a0，b0)則 ， 又b2=c2a2， b=a 雙曲線過點M(5，3)， 解方程組得：a2=b2=16故雙曲線的標準方程為：x2y2=16若焦點在y軸上，設方程為：(a0，b0)則同理有：b=a， a2=b2=16(舍去)， 雙曲線的標準方程為：x2y2=16(3)法一：由題意焦點在x軸上，故設方程為：(a0，b0)則由題設解得：故雙曲的標準方程為：法二： 是一條漸近線 雙曲線的漸近線為：， 設雙曲線方程為：2x2y2=

13、(0)即 (6，0)是它的一個焦點， ，即=24故雙曲線的標準方程為：(4)若焦點在x軸上，設方程為：(a0，b0)由題意：2c=10，2b=8， b=4，c=5又a2=c2b2， a2=9， 雙曲線的標準方程為：若焦點在y軸上，則同理有：a2=9，b2=16，即方程為：故雙曲線的標準方程為：或點評：由題設條件求雙曲線的標準方程時，若條件與焦點、頂點等有關，則方程形式確定；若條件與實軸長、虛軸長、焦距、離心率等有關，則方程形式不定，需分類討論，但不是簡單的交換在題設條件中，若出現(xiàn)漸近線方程，則經常采用題(3)法二的處理方法來進行一般地，雙曲線(a0，b0)漸近線相同的雙曲線方程為：(0)若0，

14、則與已知雙曲線焦點所在軸相同；若0，則與已知雙曲線焦點所在軸不同特別地=0時，則為雙曲線的漸近線(3)直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系問題常聯(lián)立兩曲線方程，消元轉化為關于x或y的方程，利用判別式、韋達定理、點差等方法來處理已知直線和雙曲線相交，求弦的中點、弦長、范圍等問題：聯(lián)立方程，利用韋達定理、弦長及式結合判別式解決，若直線過焦點，則可利用定義；由已知條件求直線方程或雙曲線方程：將條件轉化為字母的方程或方程組，解方程或方程組即可例7 直線y=ax+1與雙曲線3x2y2=1相交于A、B兩點(1)當a為何值時，A、B兩點分別在雙曲線的兩支上?當a為何值時，A、B兩點在雙曲線的同一支上

15、?(2)當a為何值時，以AB為直徑的圓過原點分析：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理處理解：由得：(3a2)x22ax2=0(*) 直線與雙曲線交于A、B兩點 即：過設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則，(1)若A、B位于雙曲線的兩支上，則 若A、B位于雙曲線的同一支上，則 或(2) 以AB為直徑的圓過原點， x1x2+y1y2=0 又y1=ax1+1，y2=ax2+1， (a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0 ， a2=1，即：a=1，滿足 故當a=1時，以AB為直徑的圓過原點點評：直線與雙曲線的交點個數(shù)問題，常通過聯(lián)立方程將問題轉化為方程的根的個數(shù)問題若直線與雙曲線有一個

16、交點，則有兩種可能情形：一是直線和雙曲線相切；二是平行于漸近線若直線與雙曲線有兩個交點，兩點可能位于雙曲線的同一支上，也可能位于雙曲線的兩支上，此時可利用方程的根的符號來解決但卻必須注意方程的最高次項系數(shù)可能為0的情形例8 已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，過雙曲線的右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點，若OPOQ且PQ=4，求雙曲線方程 分析：設雙曲線方程，將OPOQ和PQ=4轉化為變量的方程組，解方程組即可解：設雙曲線方程為：(a，b0)右焦點F(c，0)P(x1，y1)、Q(x2，y2)則PQ：由得：(5b23a2)x2+6a2cx3a2c25a2b2=0(*)則： OPOQ，

17、x1x2+y1y2=0 y1y2=(x1c)(x2c)， 8x1x23c(x1+x2)+3c2=0， 8a2b2=3b2c23a2c2即：3b48a2b23a4=0， (b23a2)(3b2+a2)=0， b2=3a2 c2=a2+b2， c=2a， 方程(*)化為：4x2+4ax9a2=0，且x1+x2=a，x1x2=a2 PQ=4， 即a2=1，b2=3，檢驗知：0，故雙曲線方程為：點評：解析幾何問題處理的基本方法是代數(shù)化，在代數(shù)化過程中應注意處理條件的靈活性，本題若直接將“PQ=4”代數(shù)化，則計算較煩且容易出錯因此在處理直線與曲線位置關系時，一是選擇恰當?shù)姆匠绦问?，如本題中雙曲線方程可設

18、為mx2ny2=1(m0，n0)，以簡化方程；二是注意條件的靈活處理，本題先由“OPOQ”得出a、b間關系，然后再利用“PQ=4”求a、b，大大簡化了計算過程和計算量4 自我檢測(1)若動點P到點F1(3，0)、F2(3，0)的距離的差的絕對值為4，則動點P的軌跡方程是_(2) 若動點P到點F1(0，2)、F2(0，2)的距離之差為2，則動點P的軌跡方程是_ (3)雙曲線的離心率為，則實數(shù)k的值為_(4)若雙曲線的實軸長與虛軸長之比為，則雙曲線的離心率為_(5)實軸長為6，一條漸近線方程是3x+2y=0的雙曲線的標準方程為_三、課后鞏固練習A組1方程，化簡結果是_2在雙曲線的標準方程中，已知a

19、=6，b=8，則其方程是_3焦點分別是(0，2)、(0，2)，且經過點P(3，2)的雙曲線的標準方程是_4已知F1(，0)、F2(，0)，若PF1PF2=6，則P點的軌跡方程是_；若PF1PF2=，則P點的軌跡方程是_5雙曲線的焦距是_6雙曲線的焦點坐標為_7過點(1，1)且的雙曲線的標準方程為_8若P是以F1、F2為焦點的雙曲線上的一點，且PF1=12，則PF2=_9設P是雙曲線上一點，分別是雙曲線的兩個焦點若，則 等于_ 10雙曲線(a0，b0)，過焦點F1的弦AB長為m，另一焦點為F2，則ABF2的周長為_ 11已知動點P滿足PAPB=8，A(0，5)、B(0，5)，則P的軌跡方程為_1

20、2雙曲線的實軸長為_，虛軸長為_，漸近線方程為_，離心率為_13雙曲線的漸近線方程是_ 14雙曲線的離心率為，則雙曲線兩條漸近線的傾斜角分別是_ 15雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為_16離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它漸近線方程是_17中心在原點，一個頂點為A(3，0)，離心率為的雙曲線方程是_18以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程是_ 19已知雙曲線C：-=1的焦距為10 ，點P （2，1）在C 的漸近線上，則C的方程為_20中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線3x4y+12=0上的等軸雙曲線方程是 _21求符合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為F1(，0)、

21、F2(，0)，a+b=5；(2)焦點在y軸上，焦距為8，且經過點M(，6)22求符合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)，經過點A(2，5)；(2)經過點M(，)、N(，)23求與雙曲線有相同的焦點，且經過點的雙曲線的標準方程24雙曲線C1與橢圓C2：有公共的焦點，且雙曲線C1經過M(4，)，試求雙曲線C1的方程25求以橢圓的焦點為頂點，且以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的標準方程26求焦點在坐標軸上，過點M(3，4)且虛軸長是實軸長的2倍的雙曲線的標準方程27與雙曲線有共同的漸近線，且經過點M(3，2)的雙曲線方程為_28焦點為(0，6)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為_29求與雙曲線有共同漸近

22、線且焦距為12的雙曲線的標準方程30已知雙曲線的離心率為2，且經過點M(2，3)，求雙曲線的標準方程B組31已知方程表示雙曲線，則k的取值范圍是_32雙曲線2kx2ky2=1的一個焦點是F(0，4)，則k的值為_33在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 _34已知為雙曲線的左右焦點，點在上，則_ 35已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點AC，點M的坐標為（2，0），AM為F1AF2的平分線則|AF2| =_ 36設橢圓和雙曲線的公共焦點分別是，P是兩個曲線的一個交點，則的值為_ 37設F1、F2是雙曲線的兩個焦點，且F1F2=18，過F1的直線交雙曲線的同一支于M、N兩點

23、，若MN=10，MF2N的周長為48，則滿足條件的雙曲線的標準方程是_38過雙曲線的右焦點作垂直于實軸的弦PQ，是左焦點，若，則雙曲線的離心率為 39設雙曲線的個焦點為F，虛軸的個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 40過雙曲線(a0，b0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率是_41雙曲線上有動點P，F(xiàn)1、F2是曲線的兩個焦點，求PF1F2的重心M的軌跡方程42求過點E(5，0)且與圓F：(x+5)2+y2=36外切的圓的圓心軌跡43與兩定圓(x+5)2+y2=49，(x5)2+y2=1

24、都外切的動圓圓心的軌跡方程是_ 44過雙曲線x2y2=a2的中心作直線l與雙曲線交于兩點，則直線l的傾斜角的范圍 為_45直線與雙曲線的交點個數(shù)是_46過點(0，3)作直線l，若l與雙曲線只有一個公共點，這樣的直線共l有_條47已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為，則的方程式為_48直線y=kx+2與雙曲線x2y2=6的右支交于兩個不同的點，則實數(shù)k的取值范圍是_49雙曲線的焦點為，弦AB過且兩端點在雙曲線的一支上，若，則=_50直線l過雙曲線的右焦點，斜率k=2，若l與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是_51已知雙曲線C：y

25、21，P是C上的任意點(1)求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；(2)設點A的坐標為(3，0)，求|PA|的最小值52如圖，是雙曲線C的兩焦點，直線是雙曲線C的右準線，A1, A2雙曲線C的兩個頂點，點P是雙曲線C右支上異于A2的一動點，直線A1P、A2P交雙曲線C的右準線分別于M, N兩點(1) 求雙曲線C的方程；(2) 求證: 是定值53過P(8，1)的直線與雙曲線x24y2=1相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點，求直線的方程54已知點，動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值是2，點C的軌跡與直線y=x2交于D、E兩點，求線段DE的長55求兩條漸進線為x+2y=0和x2y=0且截直線xy3=0所得的弦長為的雙曲線的標準方程C組A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x56設F1、F2為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，若的最小值恰是實軸長的4倍，則該雙曲線離心率的取值范圍是 57如圖，雙曲線的兩頂點為、，虛軸兩端點為、，兩焦點為、若以為直徑的圓內切于菱形，切點分別為則(1)雙曲線的離心率_；(2)菱形的面積與矩形的面積的比值_58已知曲線C：x2y