Diracδ函數(shù)及其性質(zhì).ppt

1、一、 Dirac 函數(shù),1Dirac函數(shù)的定義 2Dirac函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示 3Dirac 函數(shù)的性質(zhì) 4復(fù)合函數(shù)形式的Dirac函數(shù)h(x) 5二維Dirac函數(shù),早在一個(gè)多世紀(jì)前，物理學(xué)家就感到有必要引入一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源及又窄又強(qiáng)的電脈沖等一類(lèi)物理量，當(dāng)時(shí)用于描述這種物理量的數(shù)學(xué)符號(hào)被稱(chēng)之為沖擊脈沖符號(hào)。 1947年，英國(guó)物理學(xué)家P.A.M.Dirac在他的著作Principle of Quantum Mechanics中正式引入(x)，并稱(chēng)它為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。,(x)函數(shù)之所以被稱(chēng)為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)，原因在于： 一、它不象普通函數(shù)那樣存在

2、確定的函數(shù)值，而是一種極限狀態(tài)，而且它的極限也和普通函數(shù)不同，不是收斂到定值，而是收斂到無(wú)窮大； 二、函數(shù)不象普通函數(shù)那樣進(jìn)行四則運(yùn)算和乘冪運(yùn)算，它對(duì)別的函數(shù)的作用只能通過(guò)積分來(lái)確定。,1Dirac 函數(shù)的定義,對(duì)于自變量為一維的函數(shù)(x)來(lái)說(shuō)，它滿足下列條件：,(1),這表明，(x)函數(shù)在x0點(diǎn)處處為零，在x=0點(diǎn)出現(xiàn)無(wú)窮大極值，x=0點(diǎn)又稱(chēng)為奇異點(diǎn)。 但是，盡管(0)趨近于無(wú)窮大，對(duì)它的積分卻等于1，即對(duì)應(yīng)著函數(shù)的面積或強(qiáng)度等于1，所以(x)又叫做單位脈沖函數(shù)。,很顯然，等式：,(2),成立。,在光學(xué)里，(x)函數(shù)常常用來(lái)表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的具有單位光功率的點(diǎn)光源，由于點(diǎn)光源所占面積趨近于零

3、，所以在x=0點(diǎn)功率密度趨近于無(wú)窮大。,在(1)和(2)中變換原點(diǎn)，得到：,(3),其中a為任意常數(shù)。 因此用(x-a)乘x的函數(shù)，并對(duì)所有x積分的過(guò)程，等效于用a代替x的過(guò)程。,*定義的另外形式：,2(x)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示,1)、歸一化的Gauss分布函數(shù)G(x)：,(4),該函數(shù)具有如下的性質(zhì)：,(5),當(dāng)0時(shí)，G(x)就趨向于(x)，即：,(6),(1),(3),證明：,由(4)式可以看出，當(dāng)x=0，0時(shí)，,而當(dāng)x0，0時(shí)，,由公式(5)得：,所以由公式(6)所定義的函數(shù)滿足(x)函數(shù)的條件(1)式?？梢?jiàn)歸一化的Gauss函數(shù)的序列極限可以表示(x)函數(shù)。,(7),其中

4、0。,證明：,當(dāng)x=0時(shí)，,當(dāng)x0時(shí)，sin(x)/(x) 以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。 所以，當(dāng)時(shí)，,于是有：,當(dāng)0時(shí)，查找定積分表可得到：,所以有：,3)、函數(shù),的極限,也滿足(x)函數(shù)的條,件，即：,(8),其中0。,證明：,當(dāng)x=0時(shí)，,當(dāng)x0時(shí)，sin(x)/(x) 以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以： 當(dāng)時(shí)，sin(x)/(x)0,于是有：,查找定積分表可得到：,于是有：,(8),4)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示Dirac (x)函數(shù)。,根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知，階躍函數(shù)step(x)也稱(chēng)為Heaviside函數(shù)，也可以用H(x)表示，其定義如下：,(

5、9),函數(shù)H(x-a)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)也滿足(x)的條件，即：,(10),很容易看出，當(dāng)xa時(shí)，,而當(dāng)x=a時(shí)，,利用分步法計(jì)算積分，有：,根據(jù)以上討論，再結(jié)合式(3)可知，Heaviside函數(shù)H(x-a)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)可以表示Dirac (x)函數(shù)，即式(10)成立。,證明：,3Dirac函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1)、積分性質(zhì)：函數(shù)的定義式：,即表明了函數(shù)的積分性質(zhì)，這個(gè)積分也可稱(chēng)之為函數(shù)的強(qiáng)度。,性質(zhì)2)、篩選性質(zhì)：式(2)表明了函數(shù)的篩選性質(zhì)。,則是其推論。,(2),而式(3)中的,由此得出推論：,性質(zhì)3)、坐標(biāo)縮放性質(zhì)，設(shè)a為常數(shù)，且不為零，則有：,推論1： (-x)=(x) 說(shuō)明函數(shù)具有偶對(duì)稱(chēng)性。,

6、推論2：,性質(zhì)4)、函數(shù)的乘法性質(zhì)：如果f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則有：,由此得出推論： x(x)=0 和,4復(fù)合函數(shù)形式的函數(shù)h(x),設(shè)方程h(x)=0有n個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，xn，則在任意實(shí)根xi附近足夠小的鄰域內(nèi)有： h(x)= h(xi)( x-xi) 其中h(xi)是h(x)在x=xi處的一階導(dǎo)數(shù)。 如果h (xi)0，則在xi附近可以寫(xiě)出：,h(x)=h(xi)( x-xi)=,上式表明，h(x)是由n個(gè)脈沖構(gòu)成的脈沖系列，各個(gè)脈沖位置由方程h(x)=0的n個(gè)實(shí)根確定，各脈沖的強(qiáng)度則由系數(shù)| h (xi)|-1來(lái)確定。,若h (xi)在n個(gè)實(shí)根處皆不為零，則有：,h (xi)0,推論

7、：,5二維函數(shù)函數(shù),*1、直角坐標(biāo)系的情況 二維函數(shù)表示為(x, y)，它是位于xy平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的一個(gè)單位脈沖。 二維函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有： (x, y)= (x)(y) 二維函數(shù)的性質(zhì)以及其證明過(guò)程與一維函數(shù)的情形相同。,*2、極坐標(biāo)系的情況 (x，y) (r，) ，必須要保證： 1)、脈沖位置相同； 2)、二者強(qiáng)度(即曲面下體積)相同。 只有這樣，坐標(biāo)變換才是等價(jià)的。,幾個(gè)二維函數(shù)在兩種坐標(biāo)系中的位置關(guān)系,表1,考慮到脈沖強(qiáng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面給出兩個(gè)二維函數(shù)坐標(biāo)變換的例子：,顯然，(x，y)和(r)的位置相同。,例1)、,可見(jiàn)，脈沖位置和強(qiáng)度都相同，所以坐標(biāo)變換成立。,證明：,(x，y)曲面下的