高二數(shù)學(xué) 期末復(fù)習(xí)專題（解斜三角形）

1、解斜三角形,1.正弦定理及變式 (1) = = =2R; (2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC; (3)sinA= ,sinB= ,sinC= ; (4)sinAsinBsinC=abc. (5)在下列條件下，應(yīng)用正弦定理求解: ()已知兩角和一邊，求其他邊和角； ()已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及其他邊和角.,2RsinB,2.余弦定理及變式 (1)a2=b2+c2-2bccosA; b2= ; c2=a2+b2-2abcosC. (2)cosA= ; cosB= ; cosC= .,a2+c2-2accosB,(3)在下列條件下，應(yīng)運(yùn)用余弦定理求解: ()已知三邊，

2、求三個(gè)角； ()已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角； ()已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角.(此類問題需要討論) 3.三角形的面積公式 S= absinC= = bcsinA.,acsinB,4.應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的步驟 (1)根據(jù)題意畫出示意圖； (2)確定實(shí)際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知條件和未知條件； (3)選用正、余弦定理進(jìn)行求解，并注意運(yùn)算的正確性； (4)給出答案.,5.判斷三角形的形狀特征 必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一. 三角形形狀的判斷依據(jù)： (1)

3、等腰三角形:a=b或A=B； (2)直角三角形:b2+c2=a2或A=90; (3)鈍角三角形:a2b2+c2,或90A180;,(4)銳角三角形：若a為最大邊，且滿足a2b2+c2或A為最大角，且0A90. 6.在ABC中常用的一些基本關(guān)系式 (1)A+B+C= ; (2)sin(B+C)= ,cos(B+C)= ，tan(B+C)= ; (3)sin = ; (4)cos = ; (5)tanA+tanB+tanC= .,sinA,-cosA,-tanA,tanAtanBtanC,7.解斜三角形知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中有著極為廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí).解斜三

4、角形有關(guān)的實(shí)際問題的思維過程可以用下圖表示：,8.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是： 分析：準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方向角、方位角等，必要時(shí)，畫出示意圖，化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題； 建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；,求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解. 9.解斜三角形應(yīng)用題常有以下幾種情形： 實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之

5、；,實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形或多個(gè)三角形，這時(shí)需按順序逐步在幾個(gè)三角形中求出問題的解； 實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形，需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理. 運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決幾何計(jì)算問題，要抓住條件和待求式子的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理.運(yùn)用正弦定理一般是將邊轉(zhuǎn)化為角，而條件中給出三邊關(guān)系的往往考慮用余弦定理求和.,1.在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，則AC=( ),D,A.3 B.3 C.4 D.4,由正弦定理得 = , 所以AC= = =4 .,課堂練習(xí),2.在ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則c

6、osB=( ),D,A. B. C. D.,因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，所以b2=ac. 又c=2a,所以b2=2a2, 所以cosB= = = .,3.在ABC中,sinA:sinB:sinC=2: :( +1),則三角形的最小內(nèi)角是( ),A.60 B.45 C.30 D.以上答案都錯(cuò),由正弦定理 = = =2R， 得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC, 所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1). 因?yàn)閍為最小值，所以A為最小內(nèi)角. 因?yàn)閏osA= = , 且A(0,60)，所以A=45，故選B.,B,4.某人向正東方向走了x km，他向右轉(zhuǎn)150,然后

7、朝新方向走了 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為 千米，那么x的值是（ ）,C,A. B.2 C.2 或 D.3,先根據(jù)已知條件畫出草圖，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，選C.,5.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB=1,BC=4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為 ，SACD= .,由已知，B=60，AB=1，BD=2. 由余弦定理知 AD= = = .,又cosADB= = = , 又0ADB180， 所以ADB=30，所以ADC=150， 所以SACD= ADDCsinADC= .,正、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在一種內(nèi)在聯(lián)系，其主要作用是將已知邊、角互化或統(tǒng)一.一般的，利用

8、公式a=2RsinA等（R為外接圓半徑），可將邊轉(zhuǎn)化角的三角函數(shù)關(guān)系，然后利用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理；利用公式cosA= 等，可將有關(guān)三角形中的角的余弦化為邊的關(guān)系，然后充分利用代數(shù)知識(shí)求邊.,6.ABC中,已知sinA=2sinBcosC, sin2A=sin2B+sin2C,則三角形的形 狀是( ),D,A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2. 所以ABC為直角三角形，A=90， 由sinA=2sinBcosC，得2sin2B=1. 因?yàn)锽為銳角，所以sinB= ,從而B=45

9、，C=45， 所以ABC為等腰直角三角形，故選D.,7.在銳角ABC中，已知cosA= , sinB= ,則cosC的值是( ),B,A. B. C. 或 D.-,因?yàn)閏osA= ,sinB= , 所以sinA= = ,cosB= = , 所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B) =-cosAcosB+sinAsinB =- + = .,8.在ABC中,設(shè)命題p: = = ,命題q:ABC是等邊三角形，則命題p是命題q的( ),C,A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,p: = = ， 由正弦定理 = = ， 所以sinA=sinB=sin

10、C,所以A=B=C a=b=c, 故選C.,9.在ABC中，三個(gè)內(nèi)角滿足2A=B+C，且最大邊與最小邊分別是方程x2-12x+32=0的兩根，則ABC外接圓的面積為( ),A,A.16 B.64 C.124 D.156,由方程x2-12x+32=0，解得x=4或x=8, 不妨設(shè)b=8,c=4, 因?yàn)?A=B+C,所以A+B+C=3A=180,A=60, 由余弦定理得， a2=b2+c2-2bccos60=64+16-284 =48. 所以a=4 . 由正弦定理，得2R=asinA= =8,R=4, 所以S圓=R2=16,故選A.,10.ABC中，已知a=x,b=2,B=45,若解此三角形有兩解

11、,則x的取值范圍是 .,(2,2 ),sinA= x= x, 因三角形有兩解， 所以452,且 x1,解得2x2 .,1.解斜三角形問題往往用到正弦定理與余弦定理以及三角變換，解題時(shí)角度的選取是關(guān)鍵.并關(guān)注角的取值范圍.如已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形，要注意解的情況. 2.對(duì)于解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，要理解題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，抽象或構(gòu)造出三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形，要明確先用哪個(gè)公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法.在演算過程中，要算法簡(jiǎn)練，算式工整、計(jì)算正確，還要注意近似計(jì)算的要求.,對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、

12、方向角、方位角等，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵. 3.利用正、余弦定理可以進(jìn)行邊角互化，有利于判斷三角形的形狀. 4.解決三角形中的問題，要從統(tǒng)一著手，或統(tǒng)一成角的關(guān)系，或統(tǒng)一成邊的關(guān)系，要視情況靈活處理.在解三角形時(shí)，要注意解題的完整性，謹(jǐn)防失根.,11.若P在Q的北偏東44，則Q在P的( ),C,A.東偏北45 B.東偏北44 C.南偏西44 D.西偏南44,由方位角的定義可知，Q應(yīng)在P的南偏西44.,12.如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離s cm和時(shí)間t s的函數(shù)關(guān)系式為s=6sin(2t+ )，那么單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為( ),D,A.2s B. s C.0.5 s

13、 D.1 s,T= =1，故選D.,13.在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是30、60，則塔高為( ),A,米 B. 米 C. 米 D. 米,畫出示意圖(如圖)，由題意可知，DAC=60，OAC=DAB=30， 在AOC中，AO=200， 所以O(shè)C= , 而AD=OC= , 在ABD中，BD= = , 因此塔高為200- = (米)，故選A.,14.有一長(zhǎng)為100米的斜坡，它的傾斜角為45，現(xiàn)要把傾斜角改為30，則坡底需伸長(zhǎng) 米.,50( - ),坡的傾斜角即為坡度，依題意知，該坡的高度不變，即仍為50 ，當(dāng)坡的傾斜角變?yōu)?0時(shí)，坡底的長(zhǎng)度為50 ,所以坡度改后，坡底伸

14、長(zhǎng)了50( - )米.,15.如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30，CBA=75，AB=120m，則這條河的寬度為 m.,60,如圖，在ABC中，過C作CDAB于D點(diǎn)，則CD為所求寬度. 在ABC中，因?yàn)镃AB=30，CBA=75， 所以ACB=75， 所以AC=AB=120 m. 在RtACD中， CD=ACsinCAD=120sin30=60(m). 因此，這條河寬60 m.,面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能夠迅速地建立數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)重要的基本技能.這個(gè)過程并不神秘，就像前面的幾個(gè)例題，在讀題時(shí)把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)

15、建模的過程，在高考中，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題的常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.,(2009湖南卷)在銳角ABC中，BC=1,B=2A,則 的值等于 ，AC的取值范圍為 .,2,設(shè)A=B=2.由正弦定理得 = , 所以 =1 =2. 由銳角ABC得0290045. 故3045 cos , 所以AC=2cos( , ).,(2009全國(guó)卷)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b.,(方法一)在ABC中, 因?yàn)閟inAcosC=3co

16、sAsinC,則由正弦定理及余弦定理有:a =3 c, 化簡(jiǎn)并整理得2(a2-c2)=b2. 又由已知a2-c2=2b,所以4b=b2,解得b=4或b=0(舍).,(方法二)由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA. 又a2-c2=2b,b0，所以b=2ccosA+2. 又sinAcosC=3cosAsinC， 所以sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC, 即sin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC. 由正弦定理得sinB= sinC,故b=4ccosA. 由解得b=4.,(2009寧夏/海南卷)如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾擬,N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.A,B,M,N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如圖所示）,飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù) 據(jù)（用字母表示，并 在圖中標(biāo)出）；用 文字和公式寫出計(jì)