高中數(shù)學(xué) 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修

1、2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差1理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念2能計算簡單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實際問題(重點)3掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1離散型隨機(jī)變量的方差的概念閱讀教材P64P66上面第四自然段，完成下列問題1離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則(xiE(X)2描述了xi(i1,2，n)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度稱D(X)為隨機(jī)變量

2、X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(2)意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小2隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系隨機(jī)變量的方差是總體的方差，它是一個常數(shù)，樣本的方差則是隨機(jī)變量，是隨樣本的變化而變化的對于簡單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差1下列說法正確的有_(填序號)離散型隨機(jī)變量的期望E()反映了取值的概率的平均值；離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的平均水平；離散型隨機(jī)變量的期望E()反映了取值的波動水平；離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的波動水平【解析】錯誤因為離

3、散型隨機(jī)變量的期望E()反映了取值的平均水平錯誤因為離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度錯誤因為離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的波動水平，而隨機(jī)變量的期望E()反映了取值的平均水平正確由方差的意義可知【答案】2已知隨機(jī)變量，D()，則的標(biāo)準(zhǔn)差為_【解析】的標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】3已知隨機(jī)變量的分布列如下表：101P則的均值為_，方差為_【解析】均值E()x1p1x2p2x3p3(1)01；方差D()(x1E()2p1(x2E()2p2(x3E()2p3.【答案】教材整理2離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)閱讀教材P66第5自然段P66探究，完成下列問題1服從兩點分布與二項分布的

4、隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點分布，則D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，則D(X)np(1p)2離散型隨機(jī)變量方差的線性運算性質(zhì)設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aXb)a2D(X)1若隨機(jī)變量X服從兩點分布，且成功概率P0.5，則D(X)_，E(X)_.【解析】E(X)0.5，D(X)0.5(10.5)0.25.【答案】0.250.52一批產(chǎn)品中，次品率為，現(xiàn)連續(xù)抽取4次，其次品數(shù)記為X，則D(X)的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】由題意知XB，所以D(X)4.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作

5、型離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)及應(yīng)用(1)已知隨機(jī)變量X服從二項分布，即XB(n，p)，且E(X)7，D(X)6，則p等于()A.B.C. D.(2)已知的分布列為：010205060P求方差及標(biāo)準(zhǔn)差；設(shè)Y2E()，求D(Y)【精彩點撥】(1)利用二項分布的方差計算公式求解(2)利用方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義求解；利用方差的線性運算性質(zhì)求解【自主解答】(1)np7且np(1p)6，解得1p，p.【答案】A(2)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.1對于變量間存在關(guān)系

6、的方差，在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(ab)a2D()，這樣處理既避免了求隨機(jī)變量ab的分布列，又避免了繁雜的計算，簡化了計算過程2若B(n，p)，則D()np(1p)，若服從兩點分布，則D()p(1p)，其中p為成功概率，應(yīng)用上述性質(zhì)可大大簡化解題過程再練一題1為防止風(fēng)沙危害，某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)3，D(X)，求n，p的值【解】由題意知，X服從二項分布B(n，p)，由E(X)np3，D(X)np(1p)，得1p，p，n6.求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

7、編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是，求E()和D()【精彩點撥】首先確定的取值，然后求出的分布列，進(jìn)而求出E()和D()的值【自主解答】的所有可能取值為0,1,3，0表示三位同學(xué)全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則P(0)；1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了則P(1)；3表示三位學(xué)生全坐對了，即對號入座，則P(3).所以，的分布列為013PE()0131；D()(01)2(11)2(31)21.求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法1已知分布列型(非兩點分布或二

8、項分布)：直接利用定義求解，具體如下，(1)求均值；(2)求方差2已知分布列是兩點分布或二項分布型：直接套用公式求解，具體如下，(1)若X服從兩點分布，則D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則D(X)np(1p)3未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況4對于已知D(X)求D(aXb)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aXb)a2D(X)求解再練一題2有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為，求E()和D()【解】這3張卡片上的數(shù)字之和為，這一變量的可能取值為6,9,12.6表示取出的3張卡片

9、上均標(biāo)有2，則P(6).9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，則P(9).12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，則P(12).的分布列為6912PE()69127.8.D()(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.探究共研型均值、方差的綜合應(yīng)用探究1A，B兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求E(X1)，E(X2)【提示】E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430

10、.100.44.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？【提示】不能因為E(X1)E(X2)探究3在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A、B兩臺機(jī)床加工質(zhì)量？【提示】利用樣本的方差方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)【精彩點撥】(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)

11、的概率，再列出，的分布列(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值【自主解答】(1)由題意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分別為10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(

12、108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，D()D(Y)，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高構(gòu)建體系 1設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和，且P(A)m，令隨機(jī)變量則的方差D()等于()AmB2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)【解析】隨機(jī)變量的分布列為：01P1mmE()0(1m)1mm.D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)【答案】D2已知X的分布列為X101P0.50.30.2則D(X)等于()A0.7 B0

13、.61C0.3 D0【解析】E(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.【答案】B3有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，則自動包裝機(jī)_的質(zhì)量較好【解析】因為E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定【答案】乙4如果X是離散型隨機(jī)變量，E(X)6，D(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和D(X1)分別是_，_.【解析】因為E(X1)E(2X5)2E(X)52657，D(X1)D(2X5)4D(X)40.52.【答案】725已知離

14、散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X1012Pabc若E(X)0，D(X)1，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解】由題意，解得a，bc.我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計算出樣本方差分別為D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估計()A甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較【解析】D(X甲)D(X乙)，乙種水稻比甲種水稻整齊【答案】B2設(shè)二項分布B(n，p)的隨機(jī)變量X的均值與方差分

15、別是2.4和1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為()An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1【解析】由題意得，np2.4，np(1p)1.44，1p0.6，p0.4，n6.【答案】B3已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k3,6,9.則D(X)等于()A6B9C3D4【解析】E(X)3696.D(X)(36)2(66)2(96)26.【答案】A4同時拋擲兩枚均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為，則D()()A. B. C. D5【解析】兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的概率為，故B，因此D()10.故選A.【答案】A5已知X的分布列為()X101P則E(X)，D(

16、X)，P(X0).其中正確的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3【解析】E(X)(1)01，故正確；D(X)222，故不正確；P(X0)顯然正確【答案】C二、填空題6(2014浙江高考)隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.【解析】設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()01.【答案】7(2016揚(yáng)州高二檢測)設(shè)一次試驗成功的概率為p，進(jìn)行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)p_時，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為_【解析】由獨立重復(fù)試驗的方差公式可以得到D()np(1p)n2，等號在p1p時成立，所以D()max10025，5.【答案】58一次數(shù)學(xué)測驗由25道選擇題構(gòu)成，每個選

17、擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每個答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率為0.6，則此學(xué)生在這一次測驗中的成績的均值與方差分別為_【解析】設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗中選對答案的題目的個數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)(成績)為Y，則Y4X.由題知XB(25,0.6)，所以E(X)250.615，D(X)250.60.46，E(Y)E(4X)4E(X)60，D(Y)D(4X)42D(X)16696，所以該學(xué)生在這次測驗中的成績的均值與方差分別是60與96.【答案】60,96三、解答題9海關(guān)大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時誤差分別為X1，X2(單位：

18、s)，其分布列如下：X121012P0.050.050.80.050.05X221012P0.10.20.40.20.1根據(jù)這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量【解】E(X1)0，E(X2)0，E(X1)E(X2)D(X1)(20)20.05(10)20.05(00)20.8(10)20.05(20)20.050.5；D(X2)(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20.11.2.D(X1)D(X2)由上可知，A面大鐘的質(zhì)量較好10袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取

19、球的標(biāo)號(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值【解】(1)X的分布列為：X01234PE(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2D(X)，得a22.7511，得a2.又E(Y)aE(X)b，所以當(dāng)a2時，由121.5b，得b2；當(dāng)a2時，由121.5b，得b4.或即為所求能力提升1若X是離散型隨機(jī)變量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，則x1x2的值為()A. B. C3 D.【解析】E(X)x1x2.x242x1，D(X)22.x1x2，x1x23.【答案】C2設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E()24，則D()的值為() 【導(dǎo)學(xué)號：】A8 B12 C. D16【解析】由題意可知B，nE()24，n36.