（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 選做02 矩陣試題（含解析）

1、專題2 矩陣 【三年高考全收錄】1【2017年高考江蘇】已知矩陣 （1）求； （2）若曲線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求的方程【答案】（1）0210；（2）（2）設(shè)為曲線上的任意一點，它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?，則，即，所以因為點在曲線上，所以，從而，即因此曲線在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線【考點】矩陣乘法、線性變換【名師點睛】（1）矩陣乘法注意對應(yīng)相乘：；（2）矩陣變換：表示點在矩陣變換下變成點2.【2016年高考江蘇】已知矩陣 矩陣B的逆矩陣，求矩陣AB.【答案】【解析】試題分析：先求逆矩陣的逆： ，再根據(jù)矩陣運算求矩陣AB.試題解析：解：設(shè)，則，即，故，解得，所以.因此

2、，. 【考點】逆矩陣，矩陣乘法【名師點睛】矩陣乘法及逆矩陣需明確運算法則，實質(zhì)是考查一種運算法則：，類似求矩陣特征值及特征向量也是如此.3【2015江蘇高考，21】已知，向量是矩陣的屬性特征值的一個特征向量，矩陣以及它的另一個特征值.【答案】,另一個特征值為【考點定位】矩陣運算，特征值與特征向量4【2014江蘇，理21B】選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，向量，是實數(shù)，若，求的值.【答案】【解析】由題意得，解得.5【2013江蘇，理21B】選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A，B，求矩陣A1B.【答案】【解析】解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則，即，故a1，b0，c0，從而A的逆矩陣為A1

3、，所以A1B.6【2012江蘇，理21B】選修42：矩陣與變換已知矩陣A的逆矩陣，求矩陣A的特征值【答案】11，24.【解析】解：因為A1AE，所以A(A1)1.因為，所以，于是矩陣A的特征多項式為f()234.令f()0，解得A的特征值11，24. 【2018年高考命題預(yù)測】縱觀近幾年江蘇高考試題，對矩陣的考查，主要考查矩陣的運算，矩陣變換，矩陣的特征值與特征向量及二階逆矩陣題目難度一般為中、低檔，著重考查利用基本概念、基礎(chǔ)知識求解矩陣，高考對這部分要求不是太高，會進行矩陣的乘法運算，會利用矩陣運算進行平面變換，會判斷一個二階矩陣有否逆矩陣及求得逆矩陣，會求矩陣的特征值與特征向量，并用特征值

4、與特征向量進行矩陣的乘方運算備考中應(yīng)嚴格控制訓(xùn)練題的難度高考對這部分要求不是太高，高考中在附加題部分.預(yù)測2017年矩陣仍是考試的重點復(fù)習(xí)建議：在復(fù)習(xí)矩陣知識過程中，注意培養(yǎng)、強化與提高計算能力，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力. 【2018年高考考點定位】高考對矩陣的考查，主要考查矩陣的運算，考查矩陣變換，考查矩陣的特征值與特征向量及二階逆矩陣的運算【考點1】矩陣的運算與矩陣變換【備考知識梳理】1乘法規(guī)則(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法法則：a11a12a11b11a12b21(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：.(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個二階矩陣，其乘法法則如下

5、：.(4)兩個二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律，即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl，(Ak)lAkl(其中k，lN*)2常見的平面變換(1)恒等變換：因為，該變換把點(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示恒等變換(2)反射變換：因為，該變換把點(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示關(guān)于y軸的反射變換；類似地，分別表示關(guān)于x軸、直線yx和直線yx的反射變換(3)伸縮變換：因為，該變換把點(x，y)變成點(x，ky)，在此變換中，點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成原來的k倍，故矩陣表示y軸方向上的伸縮變換；類似地，矩陣可以用來表示水平伸縮變換(4)旋轉(zhuǎn)變換：把點A(x，y)繞著坐標(biāo)原點

6、逆時針旋轉(zhuǎn)角的變換，對應(yīng)的矩陣是.(5)切變變換：表示的是沿x軸的切變變換沿y軸的切變變換對應(yīng)的矩陣是.(6)投影變換：，該變換把所有橫坐標(biāo)為x的點都映射到了點(x,0)上，因此矩陣表示的是x軸上的投影變換類似地，表示的是y軸上的投影變換【規(guī)律方法技巧】1待定系數(shù)法在平面變換中的應(yīng)用通過二階矩陣與平面向量的乘法求出變換前與變換后坐標(biāo)之間的變換公式，進而得到所求曲線(或點)，求解時應(yīng)注意待定系數(shù)法的應(yīng)用2矩陣相等實質(zhì)上是矩陣對應(yīng)元素相等，體現(xiàn)了方程思想，要注意矩陣對應(yīng)元素相等3矩陣的乘法只滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律4對于平面圖形的變換要分清是伸縮、反射、還是切變變換5伸縮、反射、切變變換這

7、三種幾何變換稱為初等變換，對應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合6在解決通過矩陣進行平面曲線的變換時，變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決，在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆7曲線(或點)經(jīng)過二階矩陣變換后的曲線(或點)的求法，類似于平面解析幾何中的代入法求軌跡，此類問題的關(guān)鍵是求對坐標(biāo)之間的變換公式8注意兩個易錯點：（1）二階矩陣的乘法運算律中，易忽視ABBA，ABAC/ BC，但滿足(AB)CA(BC)（2）易混淆繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90的變換與繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90的變換【考點針對訓(xùn)練

8、】1求使等式M成立的矩陣M.【答案】.【解析】設(shè)M，則M，則即M.2，已知直線l：axy1在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xby1.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若點P(x0，y0)在直線l上，且A，求點P的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）(1,0)【解析】(1)設(shè)直線l：axy1上任意點M(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M(x，y)由，得又點M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1，依題意得解得(2)由A，得解得y00.又點P(x0，y0)在直線l上，所以x01.故點P的坐標(biāo)為(1,0)【考點2】矩陣的特征值與特征向量【備考知識梳理】1逆變換與逆矩陣(1)逆變換：設(shè)是一個線性

9、變換，如果存在線性變換，使得1，則稱變換可逆，并且稱是的逆變換(2)逆矩陣：設(shè)A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BAABE2，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣(3)逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)：設(shè)A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的性質(zhì)：設(shè)A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)1B1A1.(4)定理：二階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)det Aadbc0.2逆矩陣與二元一次方程組(1)定理：如果關(guān)于變量x，y的二元一次方程組(線性方程組)的系數(shù)矩陣A可逆，那么該方程組有唯一解1.(2)推論：關(guān)于變量x，y的二元一次方程組其中a，b，c，d是不

10、全為零的常數(shù)，有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的行列式0.3特征值和特征向量設(shè)矩陣A，如果存在數(shù)以及非零向量，使得A，則稱是矩陣A的一個特征值，是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量4特征向量的性質(zhì)設(shè)1，2是二階矩陣A的兩個不同特征值，1，2是矩陣A的分別屬于特征值1，2的特征向量，對于任意的非零平面向量，設(shè)t11t22(t1，t2為實數(shù))，則對任意的正整數(shù)n，有Ant11t22.【規(guī)律方法技巧】1求逆矩陣的常見方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)A是一個二階可逆矩陣，ABBAE2；(2)公式法：|A|adbc，有A1，當(dāng)且僅當(dāng)|A|0；(3)從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣；(4)利用逆矩陣的性質(zhì)(AB

11、)1B1A1.2求特征值和特征向量的方法(1)矩陣M的特征值滿足(a)(d)bc0，屬于的特征向量a滿足M.(2)求特征向量和特征值的步驟： 解f()0得特征值；解(a)xby0，取x1或y1，寫出相應(yīng)的向量3注意3個易錯點：（1）并不是每一個二階矩陣都是可逆的：矩陣A可逆的充分必要條件是它對應(yīng)的行列式|A|滿足|A|adbc0，且A1.（2）不是每個矩陣都有特征值與特征向量，矩陣M有特征值的充分必要條件是方程0有解（3）屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線【考點針對訓(xùn)練】1已知矩陣A將直線l：xy10變換成直線l.(1)求直線l的方程；(2)判斷矩陣A是否可逆？若可逆，求出矩陣A的逆矩陣A1

12、；若不可逆，請說明理由【答案】（1）l的方程為4xy70；（2）A1. (2)0，矩陣A可逆設(shè)A1，AA1，解之得A1.2已知矩陣M，向量.(1)求矩陣M的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量；(2)求M3.【答案】（1）特征值11的一個特征向量為1，特征值22的一個特征向量為2.；（2）.【解析】(1)矩陣M的特征多項式為f()232，令f()0，得11，22.當(dāng)11時，解方程組得一個非零解因此，矩陣M屬于特征值11的一個特征向量為1；當(dāng)22時，同理可得矩陣M屬于特征值22的一個特征向量為2.(2)設(shè)m1n2，得解得m1，n2.所以M3M3(122)M312M32122223. 【兩年模擬詳

13、解析】1【揚州市20162017學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測】（本小題滿分10分）已知，若點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，求矩陣的特征值.【解析】解：由題意得,即,解得,所以, -5分所以矩陣的特征多項式為， 令，解得或，即矩陣的特征值為5和3. -10分2. 【2017南通揚州泰州蘇北四市高三二模】選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）設(shè)矩陣滿足：，求矩陣的逆矩陣解：法一：設(shè)矩陣，則， 所以， 4分解得，所以 6分 根據(jù)逆矩陣公式得，矩陣 10分法二：在兩邊同時左乘逆矩陣得， 4分設(shè)，則，所以， 6分解得，從而 10分3. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）2017屆高三年級第三次調(diào)研考試】選修

14、4-2：矩陣與變換已知矩陣，若，求矩陣的特征值.【答案】，4. 【2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】選修4-2：矩陣與變換已知矩陣的一個特征值及對應(yīng)的特征向量.求矩陣的逆矩陣.【答案】【解析】解：由題知， ，. ，.5. 【南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬】（選修4-2：矩陣與變換）設(shè)矩陣的一個特征值對應(yīng)的特征向量為 ，求與的值.【答案】，.6. 【2017年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】【選修42：矩陣與變換】（本小題滿分10分）已知矩陣的一個特征值為，求【解析】由得的一個解為，代入得 ，因為 ，所以10分7. 【2017年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】【選修4-2：

15、矩陣與變換】（本小題滿分10分）已知矩陣，求滿足方程 的二階矩陣【解析】設(shè)由得，即，解得，所以10分8. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷03（江蘇卷）】【選修42：矩陣與變換】（本小題滿分10分）已知點，先對它作矩陣M對應(yīng)的變換，再作對應(yīng)的變換，得到的點的坐標(biāo)為，求實數(shù)的值9. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷01（江蘇卷）】選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知二階矩陣有特征值及對應(yīng)的一個特征向量，并且矩陣將點變換為，求矩陣【答案】B 【解析】設(shè)，由及中，得，解得， 10分10【江蘇省揚州中學(xué)20152016學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測】已知矩陣 ，求矩陣【答案】【解析】由逆矩陣公式得，再利用

16、矩陣運算得11【江蘇省蘇中三市（南通、揚州、泰州）2016屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，求點的坐標(biāo)【答案】【解析】設(shè)，依題意，由，得則記旋轉(zhuǎn)矩陣， 則，即，解得，所以點的坐標(biāo)為12【南京市、鹽城市2016屆高三年級第二次模擬考試】已知a，b是實數(shù)，如果矩陣A 所對應(yīng)的變換T把點(2，3)變成點(3，4)（1）求a，b的值（2）若矩陣A的逆矩陣為B，求B2【答案】（1）a1，b5（2）【解析】（1）由題意，得，得63a3，2b64， 所以a1，b5 （2）由（1），得由矩陣的逆矩陣公式得，所以13【江蘇省南京市201

17、6屆高三年級第三次學(xué)情調(diào)研適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)】變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2（1）點P(2，1)經(jīng)過變換T1得到點P，求P的坐標(biāo)；（2）求曲線yx2先經(jīng)過變換T1，再經(jīng)過變換T2所得曲線的方程.【答案】（1）P(-1,2).（2）yxy2.【解析】(1)M1， M1所以點P(2,1)在T1作用下的點P的坐標(biāo)是P(-1,2). (2)MM2M1， 設(shè)是變換后圖象上任一點,與之對應(yīng)的變換前的點是,則M,也就是 即所以,所求曲線的方程是yxy2.14【南京市2016屆高三年級第三次模擬考試】已知曲線C：x22xy2y21，矩陣A所對應(yīng)的變換T把曲線C

18、變成曲線C1，求曲線C1的方程【答案】x2y22【解析】設(shè)曲線C上的任意一點P(x，y)，P在矩陣A對應(yīng)的變換下得到點Q(x，y)則， 即x2yx，xy，所以xy，y 代入x22xy2y21，得y22y2()21，即x2y22，所以曲線C1的方程為x2y2215【蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知變換把平面上的點，分別變換成，試求變換對應(yīng)的矩陣【答案】【解析】設(shè)，由題意，得， 解得. 即16【江蘇省蘇北三市2016屆高三最后一次模擬】已知矩陣，向量，計算.【答案】17【南通市2016屆高三下學(xué)期第三次調(diào)研考試】在平面直角坐標(biāo)系中，直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到直線，求的值.【答案】【解析】設(shè)