立體幾何中的一個(gè)經(jīng)典模型

1、立體幾何中的一個(gè)經(jīng)典幾何模型由四個(gè)直角三角形圍成的四面體是一個(gè)經(jīng)典的幾何模型，俗稱“三節(jié)棍”模型，如圖1四面體中，bacd 圖1均為直角.我們研究它的產(chǎn)生背景、各面所成的角及其棱所在直線與相關(guān)面所成的角的性質(zhì)，為此，定義為底面，為斜面，為主垂面，為副垂面.(主副垂面之分在于)為的主斜線，為副斜線，它們?cè)诘酌鎯?nèi)的攝影也分別稱作主射影和副射影.設(shè)這個(gè)模型的幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定，在其中，空間直角坐標(biāo)系的建立以及相關(guān)向量的計(jì)算不易直接實(shí)現(xiàn)，因此我們有必要探討在這種模型中如何避開利用空間向量的解析法而用純幾何的手段解決有關(guān)角的問(wèn)題.1. “三節(jié)棍”模型的背景：線面角背景：如圖1，是平面的垂線，為垂足，是平面

2、的斜線，是斜足，是平面內(nèi)另一異于的直線，過(guò)作，垂足為，就是斜線與底面所成的角，四面體 即為“三節(jié)棍”模型長(zhǎng)方體切割背景： 如圖2，在長(zhǎng)方體 中兩個(gè)平面和切割所得四面體即為“三節(jié)棍”模型.球體切割背景：如圖3，球o的直徑為，過(guò)作球的兩個(gè)不同截面，再分別過(guò)和分別作共弦的截面和，四面體即為“三節(jié)棍”模型.2. “三節(jié)棍”模型的性質(zhì)：在圖1的“三節(jié)棍”模型中，我們可以得出下面的性質(zhì)，最小角定理：斜線與所成的角，是斜線與內(nèi)過(guò)斜足的所有直線所成角中最小的角.三面角公式：公式1在圖1中，滿足.不僅如此，“三節(jié)棍”模型中各頂點(diǎn)的三個(gè)角中，對(duì)應(yīng)斜面上的角的余弦等于其它兩個(gè)互相垂直的面中對(duì)應(yīng)角余弦之積.如.由各面

3、直角三角形銳角的互余關(guān)系，公式1還可化為：公式二面角公式：1) 主、副垂面所成的二面角，它的平面角等于2) 主垂面與底面所成的角為直二面角.3) 副垂面與底面所成的二面角為直二面角4) 副垂面與斜面所成的二面角為直二面角5) 斜面與底面所成的二面角的平面角為，滿足：= 公式2證明：設(shè)，則 ，所以= bacd o圖46) 主垂面與斜面所成的二面角，設(shè)其平面角為= 公式3證明：如圖4，作垂足為，連接.設(shè)，則，線面角1).副斜線與主垂面所成的角為，滿足.公式4證明：如圖4，按照6)的作圖，即為副斜線與主截面所成的角，即，同樣設(shè)=1則，2).主射影與斜面所成的角為圖5 cdeba則滿足公式5證明：如圖

4、5，過(guò)作，連接，則即為主射影與斜面所成的角，設(shè)，則在中利用等面積關(guān)系得：，3.“三節(jié)棍”模型的應(yīng)用舉例 為說(shuō)明“三節(jié)棍”模型及其相關(guān)規(guī)律在解題中的作用，我們?cè)嚺e下面例題例1. 如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方 形平面平面， (i)求證：平面； (ii)求二面角的余弦值； (iii)證明：在線段存在點(diǎn)，使得，并求的值. 分析：該題中的幾何關(guān)系盡管適合建立空間直角坐標(biāo)系，但我們直接用公式3更快捷的解決問(wèn)題.解：(i)略 (ii)由(i)知平面，=5設(shè)二面角為，則(iii)證明(略)例2.如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線 平面分別是的中點(diǎn)(i)記平面與的交線為，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；(ii)設(shè)(i)中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn).記直線與平面所成的角為，異面直線 與所成的角為，二面角的大小為，求證：解析：本題直接用到了“三節(jié)棍”模型，除了建系