高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件9-1

1、推廣,第九章,一元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)微分學(xué),注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數(shù)微分法,及其應(yīng)用,第九章,第一節(jié),一、平面點集,二、多元函數(shù)的概念,三、多元函數(shù)的極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,多元函數(shù)的基本概念,目的要求：了解多元函數(shù)基本概念，會求函數(shù)的 定義域，會求簡單的多元函數(shù)的極限，知道極限 不存在的說明方法；,一、 平面點集,1.平面點集的有關(guān)概念,二維空間：,二元有序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體,即：,記作：,注,二維空間的幾何意義坐標平面,二維空間的元素,坐標平面內(nèi)的點,平面點集：,二維空間的任一子集,記作：,平面點集E通常是具有某種性質(zhì)的點的集合,記作：,E=(x,y)|(x,y)具

2、有性質(zhì)P,(1),(2),注,或,例,第一象限內(nèi)的點,n維空間中的點集：,記作：,(1),y軸上的點,(2),(3),單位圓內(nèi)的點,n維空間：,n元有序?qū)崝?shù)組的全體構(gòu)成的集合,即：,n維空間中的元素：,或,中的一個點或一個n維向量,中的任一子集,2. 鄰域,點集,稱為點 P0 的 鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成,點 P0 的去心鄰域記為,3. 區(qū)域,(1) 內(nèi)點、外點、邊界點,設(shè)有點集 E 及一點 P :, 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P)

3、既有屬于 E的點也有不屬于 E的點,則稱 P 為 E 的內(nèi)點；,則稱 P 為 E 的外點 ;,則稱 P 為 E 的邊界點 .,注： E 的內(nèi)點必屬于 E ,E 的外點必不屬于 E ,E 的,邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,(2) 聚點,若對任意給定的 ,點P 的去心,鄰域,內(nèi)總有E 中的點 ,則,稱 P 是 E 的聚點.,聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E,(因為聚點可以為,E 的邊界點 ),(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集；, 若點集 E E , 則稱 E 為閉集；, 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的

4、邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,。 。, E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域, 整個平面, 點集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域 ;,但非區(qū)域 ., 對點集 D , 若存在正數(shù) r , 使一切點 PD 與定點,O 的距離 OP r ,則稱 D 為有界集 ,界集 .,否則稱為無,二、多元函數(shù)的概念,引例:, 圓柱體的體積, 定量理想氣體的壓強, 三角形面積的海倫公式,二元函數(shù)的定義,記為,f ( D ),因變量,自變量,定義域,值域,注,（2）,注意符號f 和f (x,y)的區(qū)別.,（3

5、）,表示函數(shù)的記號可以任意選取.,（1）,二元函數(shù)也常記作：,n元函數(shù)的定義,把二元函數(shù)定義中的平面點集D換成n維空間 的點集D，映射f:DR就稱為定義在D上的n元函數(shù).,定義1,對于在z=f(x,y)的定義域內(nèi)任意取定的點P(x,y)，對應(yīng)的函數(shù)值為z=f(x,y).,當(dāng)(x,y)遍取D上的一切點時，得到的空間點集,稱為二元函數(shù)的圖形.,M,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,二元函數(shù)的圖形,二元函數(shù)的定義域,使算式有意義的點的集合.,例如, 二元函數(shù),定義域為,圓域,說明:,二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 .,三元函數(shù)

6、,定義域為,圖形為,空間中的超曲面.,單位閉球,三、多元函數(shù)的極限,也記作：,記作:,定義2,或,或,注,二元函數(shù)的極限也稱二重極限.,定義中PP0的方式是任意的。,（一）多元函數(shù)極限的定義,例1.,求證:,證:,故,總有,要證, 若當(dāng)點,趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,在點 (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數(shù)極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例2. 討論函數(shù),函數(shù),（二）多元函數(shù)極限的存在性,四則法則,兩邊夾準則,復(fù)合法則,運算法則,例3 求,解,（三

7、）多元函數(shù)極限的求法,四、 多元函數(shù)的連續(xù)性,定義,定義,（一）多元函數(shù)連續(xù)性的概念,定義,例4,指出下列函數(shù)的間斷點:,(1),(2),在點(0 , 0) 極限不存在,故 ( 0, 0 )為其間斷點.,上間斷.,在圓周,由常數(shù)和具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算得到的一個式子表示的多元函數(shù)稱為多元初等函數(shù).,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.,結(jié)論,例5,求下列函數(shù)的極限:,(1),(2),（二）多元初等函數(shù)的連續(xù)性,（三）有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),有界性和最大值最小值定理,介值定理,解: 原式,例5.求,例6. 求函數(shù),的連續(xù)域.,解:,內(nèi)容小結(jié),1

8、. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,2. 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),有,3. 多元函數(shù)的極限,4. 多元函數(shù)的連續(xù)性,1) 函數(shù),2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù),P62 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8 P130 題 3; *4,思考與練習(xí),解答提示:,P62 題 2.,稱為二次齊次函數(shù) .,P62 題 4.,P62 題 5(3).,定義域,P62 題 5(5).,定義域,P62 題 8.,間斷點集,P130 題 3.,定義域,P130 題 *4.,令 y= k x ，,若令, 則,可見極限 不存