過程裝備力學(xué)基礎(chǔ)(彈性力學(xué)).ppt

1、過程裝備力學(xué)基礎(chǔ) Mechanical Basis of Process Equipment,主講教師：欒德玉 學(xué)時：32 學(xué)分：2.0 課程性質(zhì)：專業(yè)選修課 Tel:青島科技大學(xué)機電工程學(xué)院,教材及參考書目,教 材:,過程裝備力學(xué)基礎(chǔ)(第二版)，陳旭主編，2006, 化學(xué)工業(yè)出版社,參考書目:,高等彈性力學(xué)，王敏中等，2002，北京大學(xué)出版社,化工機械力學(xué)基礎(chǔ)， 黃載生，1990，化學(xué)工業(yè)出版社 化工容器設(shè)計， 王志文主編. 1990，化學(xué)工業(yè)出版社 化工設(shè)備設(shè)計， 聶德清主編. 1991，化學(xué)工業(yè)出版社 過程設(shè)備設(shè)計， 鄭津洋等主編. 2001，化學(xué)工業(yè)出版社,彈

2、性力學(xué)，徐秉業(yè)等 ，2007，清華大學(xué)出版社,第一章 彈性力學(xué)基本方法 和平面問題解答 第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念 第二節(jié) 彈性力學(xué)的平面問題 第三節(jié) 彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答,又稱作彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個分支; 研究物體在彈性范圍內(nèi)由于外力載荷或者溫度改變，在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變形和應(yīng)力分布等; 為解決工程結(jié)構(gòu)的強度、剛度、穩(wěn)定性等問題提供相應(yīng)的理 論依據(jù)和分析方法。,一.基本內(nèi)容,彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)理論學(xué)科，它的研究方法被廣泛的應(yīng)用于其他學(xué)科和領(lǐng)域。彈性力學(xué)不僅是諸如有限單元法、復(fù)合材料力學(xué)、斷裂力學(xué)、塑性力學(xué)和結(jié)構(gòu)動力分析等課程的基礎(chǔ)，也是很多大型結(jié)構(gòu)分析軟件(例如

3、Ansys等)的核心框架。 彈性力學(xué)也是一門基礎(chǔ)技術(shù)學(xué)科，是近代工程技術(shù)的必要基礎(chǔ)之一。在現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)分析，特別是航空、航天、機械、土建和水利工程等大型結(jié)構(gòu)的設(shè)計中，廣泛應(yīng)用著彈性力學(xué)的基本公式和結(jié)論。,第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的聯(lián)系和區(qū)別,第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,彈性力學(xué)的研究方法決定了它是一門基礎(chǔ)理論課程，若將理論直接用于分析工程問題具有很大的困難。原因主要是它的基本方程偏微分方程邊值問題數(shù)學(xué)上求解的困難。由于經(jīng)典的解析方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此探討近似解法是彈性力學(xué)發(fā)展中的特色。近似求解方法，如差分法和變分法等

4、，特別是隨著計算機的廣泛應(yīng)用而發(fā)展的有限元素方法，為彈性力學(xué)的發(fā)展和解決工程實際問題開辟了廣闊的前景。,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),基本任務(wù),在彈性階段的應(yīng)力和位移,強度、剛度和穩(wěn)定性,計算方法,結(jié)構(gòu)或構(gòu)件,分析和改進,第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,彈性力學(xué)課程的主要學(xué)習(xí)目的是使學(xué)生掌握分析彈性體應(yīng)力和變形的基本方法，為今后進一步的研究實際工程構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的強度、剛度、可靠性、斷裂和疲勞等問題建立必要的理論基礎(chǔ)和分析方法。,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,建筑工程,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),彈性力學(xué)在工程中的應(yīng)用,第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,建筑工

5、程,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,航空航天工程,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,船舶機械工程,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,第一章 緒論,1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù),第一節(jié) 彈性力學(xué)的內(nèi)容和基本概念,外力包括體積力和面積力，簡稱體力和面力,基本物理量有外力，應(yīng)力、應(yīng)變和位移,二 彈性力學(xué)中基本物理量,1. 體力(Body force),分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力，慣性力和電磁力等。 物體各點的體力一般是不相同的，如高速旋轉(zhuǎn)物體所受 的慣性力.,2. 面力(Surface force),分布

6、在物體表面上的力，例如流體壓力，表面接觸力等。 分布在物體表面上的力一般是不均勻的。,彈性力學(xué)中的基本物理量,物體受外力作用或其溫度發(fā)生改變時，其內(nèi)部會產(chǎn)生內(nèi)力。 內(nèi)力在各點的集度就是各點的應(yīng)力,應(yīng)力沿著作用截面的法向和切向可以分解為法向應(yīng)力和切 向應(yīng)力，即正應(yīng)力和切應(yīng)力,結(jié)論：物體內(nèi)的同一點，不同截面上的應(yīng)力是不同的。,問題：如何來描述一點的應(yīng)力狀態(tài)(各個截面上的應(yīng)力 大小和方向)？,彈性力學(xué)中的基本物理量,過P點作一個微小的平行六面體，其棱邊平行于坐標(biāo)軸，各個面上的應(yīng)力均可沿坐標(biāo)軸進行分解。,應(yīng)力分量的表示方法：,正應(yīng)力：,切應(yīng)力：,注:1.沒有考慮由于位置不同引起 的應(yīng)力變化。 2.沒有

7、考慮體力的影響,圖1-1 彈性體內(nèi)某一點的應(yīng)力,彈性力學(xué)中的基本物理量,如果某個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，則這個截面 上的應(yīng)力分量以沿著坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負方向時為 負。反之，某個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負方向，則這 個截面上的應(yīng)力分量以沿著坐標(biāo)軸負方向時為正，沿坐標(biāo)軸正 方向時為負。,應(yīng)力分量的正負號規(guī)定：,切應(yīng)力互等(力矩平衡),一點的應(yīng)力狀態(tài),物體內(nèi)任意一點,只有三個相互垂直面上的6個應(yīng)力分量是相互獨立的，若某點的這6個應(yīng)力分量是已知的,則經(jīng)過該點的任意一個斜面上的應(yīng)力分量均可以用這6個應(yīng)力分量表示。,故P點的應(yīng)力狀態(tài)可以表示為：,彈性力學(xué)中的基本物理量,變形(De

8、formation)和應(yīng)變(Strain),變形：物體在外力作用下形狀的改變,線應(yīng)變或正應(yīng)變：過該點的線段每單位長度的伸縮，例如：,切應(yīng)變：過該點的兩條線段之間 的直角的改變，例如：,注: 1：線應(yīng)變(或正應(yīng)變)以伸長為正， 縮短為負。 2: 切應(yīng)變以直角變小為正，變 大為負。,彈性力學(xué)中的基本物理量,問題：物體內(nèi)的同一點，沿著不同的方向，應(yīng)變是不同的， 則如何來描述一點的應(yīng)變狀態(tài)？,可以證明，對于物體內(nèi)任意一點，如果已知三個相互垂直方向的正應(yīng)變和與之對應(yīng)的切應(yīng)變，則可以求得經(jīng)過該點的任一線段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過該點的任意兩個線段之間的角度的改變。,故P點的應(yīng)變狀態(tài)可以表示為：,彈性力學(xué)中

9、的基本物理量,位移(Displacement),位移即為位置的移動，通常包括剛性位移和由于自 身變形產(chǎn)生的位移； 物體內(nèi)任意一點的位移，通常用它在三個坐標(biāo)軸x,y,z上的投影u，v，w來表示，并稱之為該點的位移 分量； 位移分量以沿坐標(biāo)軸正向時為正，沿坐標(biāo)軸負方向時為負。 位移及其分量的量綱是長度,第一章 緒論,彈性力學(xué)中的基本物理量,彈性力學(xué)的基本問題,彈性體內(nèi)的任意一點的體力分量、 面力分量、應(yīng)力分 量、應(yīng)變分量和位移分量，都是隨之該點的位置而變化的， 故這些量一般都是位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。,第一章 緒論,彈性力學(xué)中的基本假設(shè),彈性力學(xué)中的基本假設(shè)：,描述：假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組

10、成物體的介 質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙。 結(jié)果：1.根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng) 變和應(yīng)力等均為空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。 2.變形后仍然保持連續(xù)性。,1. 連續(xù)性假設(shè),描述：假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因 此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo) 位置的變化而改變。 結(jié)果：物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。 說明：1.工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾 何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上 講，也可以視為均勻材料。 2.對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均 勻材料。,2. 均勻性假設(shè),描述：假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)。

11、結(jié)果：物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。,3. 各向同性假設(shè),描述：假定物體是完全彈性的。完全彈性指的是物體能完 全恢復(fù)由于外力所引起的變形而沒有任何殘余變形。 結(jié)果：物體在任一瞬時的形變完全取決于它在這一瞬時所 受的外力，而與它過去的受力情況無關(guān)。 說明：1.完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究 限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。 2.研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化 而改變。,4. 完全彈性假設(shè),說明：假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響 下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階 小量，且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1。 結(jié)果：在處理彈性體的平衡方程等問題時，可以用變形以

12、 前的尺寸來代替變形以后的尺寸，而不會引起顯著 的誤差。 說明：可以忽略位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使 基本方程成為線性的偏微分方程組。,5. 小變形假設(shè),彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻 性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都 是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。 彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用 基本假設(shè)。 這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。,補充說明：,在物體內(nèi)任意一點P，割取一個微小的正六面體，如圖l-2所示。它的六面體垂直于坐標(biāo)軸沿x,y,z方向的長度分別為dx，dy和dz。,三、彈性力學(xué)基本方程,圖1-2 單元體受力分析,1.平衡

13、微分方程,在垂直x軸的兩個面上應(yīng)力分別為,在垂直y軸的兩個面上應(yīng)力分別為,在垂直z軸的兩個面上應(yīng)力分別為,正六面體上的外力為體力，沿x，y，z軸的分量為X，Y，Z。體力X，Y，Z也可以認為是均勻分布，其合力作用在體積中心。,沿x軸的力的平衡方程,兩邊同除以dxdydz后可得,同理由,可得,同理由,可得,(1-1),(1-2),對于這一微正六面體的力矩平衡條件同樣可以導(dǎo)出 切應(yīng)力互等定律,2.幾何方程,當(dāng)物體變形后的各點位移分量確定后，各微元體的應(yīng)變分量也相應(yīng)地確定了。所以位移分量與應(yīng)變分量之間有著密切的關(guān)系。,(1-3),3.物理方程,(1-4),在完全彈性的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之

14、間的關(guān)系式，即物理方程，可以用廣義虎克定律給出,(1-5),E是彈性模量，G是切變模量 是泊松比這三個彈性常數(shù)之間有如下關(guān)系,以上導(dǎo)出的3個平衡微分方程式(1-1)6個幾何方程式(1-3)和6個物理方程式(1-4)，是彈性力學(xué)空間問題的15個基本方程。這15個基本方程式中包含15個未知數(shù)：6個應(yīng)力分量 ；6個應(yīng)變分量 ；3個位移分量 ?；痉匠虜?shù)目和未知函數(shù)的數(shù)目相等，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下是能得到解答的。,當(dāng)彈性體的一個方向尺寸很小，例如薄板，在板的邊緣有平行于板面并沿板厚均勻分布的力作用，對于這類問題，由于兩個板面上無外載作用，因而兩個板面上的應(yīng)力分量為零。,一.平面應(yīng)力與平面應(yīng)變,平面問題可

15、分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題,又因為板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿著板的厚度又是連續(xù)分布的，所以在整個板內(nèi)的所有點都有 ， ， 。六個應(yīng)力分量只剩下平行于xOy面的三個應(yīng)力分量，即 , ， 而且它們只是坐標(biāo)x，y的函數(shù)，與z無關(guān)。這類問題稱作平面應(yīng)力問題。,當(dāng)彈性體的一個方向尺寸很大，例如很長的柱形體。在柱形體的表面上有平行于橫截面而不沿長度變化的外力。若柱形體無限長，則柱形體任一點的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是x、y的函數(shù)；此外由于在z方向柱形體的結(jié)構(gòu)型式和受力都相同，因此任一橫截面都可以看做是對稱面。而對稱面在z方向的倫移必須為零，所以柱形體內(nèi)任一點都只有x，y

16、方向的位移u、v。由于對稱， ， ，這樣六個應(yīng)力分量剩下四個，即 ， 這類問題稱做平面應(yīng)變問題。,對于平面應(yīng)力問題： 對于平面應(yīng)變問題，在z方向還作用有正應(yīng)力 但 是自成平衡的,二.平面問題的基本方程,1、平衡方程,平面問題中的平衡微分方程為,(1-6),2、幾何方程,任意點P，沿x軸、y軸取微小長度 PAdx，PBdy。,PA的線應(yīng)變 為,PB的線應(yīng)變 為,PA和PB之間的直角變化即切應(yīng)變 為,平面問題中的幾何方程為,(1-7),3、物理方程,在平面應(yīng)力問題中，,得到平面應(yīng)力的物理方程為 并且,(1-8),在平面應(yīng)變問題中，,得到平面應(yīng)變的物理方程為,(1-9),以上導(dǎo)出的2個平衡微分方程式

17、(1-6)，3個幾何方程式(1-7)和3個物理方程式(1-8)或式(1-9)，是彈性力學(xué)平面問題的8個基本方程。這8個基本方程式中包含8個未知數(shù)：3個應(yīng)力分量 ，3個應(yīng)變分量 ；2個位移分量 。基本方程數(shù)目和未知函數(shù)的數(shù)目相等，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下是能得到解答的。,平面問題的邊界條件有三種,三.平面問題的邊界條件,1、位移邊界條件,若彈性體在邊界上給定位移分量 ，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)。,(1-10),2、應(yīng)力邊界條件,若彈性體在邊界上給定表面力分量 ，它們在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。在邊界上待求的應(yīng)力分量 與給定表面力之間的關(guān)系-即應(yīng)力邊界條件，可由邊界上小單元體的平衡條件得出。,在邊界上取出

18、小單元體，它的斜面AB與物體的邊界重合，如圖所示。用N代表邊界面AB的外法線方向，并令N的方向余弦為,令邊界面AB的長度為ds，則PA和PB的長度分別為 和 。垂直于圖面的尺寸取為一個單位。作為在邊界上的己知面力沿坐標(biāo)鈾的分量為 。,由平衡條件 ，得,略去高階微量并各項同除以ds，并令ds趨于零，則得,式中 是應(yīng)力分量的邊界值。,由平衡條件 ，得,物體邊界上各點應(yīng)力分量與面力分量之間的關(guān)系式，即平面問題的邊界條件為,(1-11),在垂直于x軸的邊界上，x值為常量， ，應(yīng)力邊界條件簡化為,在垂直于y軸的邊界上，y值為常量， ，應(yīng)力邊界條件簡化為,可見，在這種倩況下，應(yīng)力分量的邊界值等于對應(yīng)的面力

19、分量。,當(dāng)物體的一部分邊界具有已知位移，而另一部分邊界具有已知面力時，則具有已知位移的邊界可應(yīng)用式(1-10)，具有已知面力的邊界可應(yīng)用式(1-11)。此外，還可能在同一部分邊界上出現(xiàn)混合邊界條件，即兩個邊界條件中的一個是位移邊界條件，另一個則是應(yīng)力邊界條件。,3、混合邊界條件,在求解彈性力學(xué)問題時，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足基本方程并不困難；但要使得邊界條件也得到完全滿足，卻往往發(fā)生很大的因難(因此，彈性力學(xué)問題在數(shù)學(xué)上被稱為邊界值問題)。,四.圣維南原理,圣維南原理可以這樣來陳述：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對于同一點的主矩也相

20、同)那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。,在彈性力學(xué)里求解未知的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量，按基本變量的選定可分為應(yīng)力法、位移法和混合法等三種。,五.平面問題的解法,應(yīng)力法是以應(yīng)力分量作為基本未知函數(shù)，綜合運用平衡、幾何和物理方程，得到只包含應(yīng)力分量的微分方程，由這些 微分方程和邊界條件求出應(yīng)力分量，再用物理方程求出應(yīng)變 分量，用幾何方程求出位移分量。,位移法是以位移分量作為基本未知函數(shù)，綜合運用平衡、幾何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由這些 微分方程和邊界條件求出位移分量，再由幾何方程求出應(yīng)變 分量，用物理方程求出應(yīng)力分量。,混合法是同時以某些位移分

21、量和某些應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，綜合運用平衡、幾何和物理方程得到只包含這些位移分量和應(yīng)力分量的微分方程。由這些微分方程和邊界條件求出某些位移分量和某些應(yīng)力分量，再利用適當(dāng)?shù)姆匠糖蟪銎渌奈粗俊?下面用應(yīng)力法求解平面問題。,將平面問題的幾何方程(1-7)中的 對y求兩次導(dǎo)數(shù)， 對x求兩次導(dǎo)數(shù)后相加，得,所以,這個關(guān)系式稱為相容方程或變形協(xié)調(diào)方程。,(1-12),只有當(dāng) ， 、 滿足式(1-12)，變形才能協(xié)調(diào)。,利用物理方程將式(1-12)中的應(yīng)變分量消去，使相容方程中只包含應(yīng)力分量，然后和平衡方程聯(lián)立，就能解出應(yīng)力分量。,對于平面應(yīng)力問題。,將物理方程(1-8)代人式(1-12)得到只包含應(yīng)

22、力分量的相容方程,(1-13),將式(1-13)和平衡方程(1-6)聯(lián)立就可解出應(yīng)力分量。,以應(yīng)力表示的相容方程形式,將平衡方程(1-6)寫成,對x,y分別求導(dǎo)，然后相加，可得,(1-14),將式(1-14)代入式(1-13)，化簡得,(1-15),對于平面應(yīng)變問題，以應(yīng)力表示的相容方程只要在式(1-15)中將 換為 就可得到。其方程為,(1-16),因此用應(yīng)力法求解平面問題時，對于平面應(yīng)力問題，利用平衡方程(1-6)和以應(yīng)力表示的相容方程(1-15)就可解出應(yīng)力分量 。它們應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)力邊界條件。對于平面應(yīng)變問題，利用平衡方程(1-6)和相容方程(1-16)解出應(yīng)力分量，這些應(yīng)力分量也應(yīng)滿足應(yīng)

23、力邊界條件。,(1-17),當(dāng)體力是常量時，則以應(yīng)力表示的相容方程式(1-15)和式(1-16)可化成以下相同的形式,稱做平面問題的拉普拉斯算子。,(1-17),六.應(yīng)力函數(shù),在體力為常量的情況下，將應(yīng)力作為基本變量求解平面問題時歸結(jié)為求解下列微分方程組,(1-6),平衡方程(1-6)是非齊次微分方程組，它的解答包括兩部分，即方程(1-6)的任一特解和齊次方程的通解之和。,(1-18),(1-19),可取下列的特解,將式(1-19)代入是能滿足式(1-6)的。,為了求齊次方程(1-18)的通解，可將式(1-18)改寫為,由微分方程理論可知：若存在 ，則表達式 必是某函數(shù)的全微分。因此表達式 是

24、以A(x,y)表示的某函數(shù)的全微分。于是,(a),(b),(c),同樣，表達式 是某函數(shù)B(x，y)的全微分。且,(d),比較(c)式和(d)式，可得到,(e),由(e)式也指出表達式,是某函數(shù),的全微分,且,(f),將(c)、(d)式代人(f)式，就得到式(1-18)的通解,(1-20),(1-21),將通解和特解相加即得微分方程(1-6)的全解,不論 是什么樣的函數(shù)，應(yīng)力分量式(1-21)總能滿足平衡微分方程(1-6)，函數(shù) 稱作平面問題的應(yīng)力函數(shù)。 應(yīng)力分量式(1-21)除必須滿足平衡微分方程外，還應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件。將,式(1-21)代入相容方程式(1-17),(1-22),上式可變?yōu)?/p>

25、,展開為,(1-23),(1-24),這就是用應(yīng)力函數(shù) 表示的相容方程。由此可見，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)是重調(diào)和函數(shù)。,如果體力不計，則 XY0, 式(1-21)簡化為,(1-25),因此，用應(yīng)力法求解平面問題時，如果體力是常量，就只須由微分方程(1-23)解出應(yīng)力函數(shù)然后用式(1-21)求出應(yīng)力分量。但是在求解具體問題時，尋求滿足式(1-23)的應(yīng)力函數(shù)并不困難，而要它嚴(yán)格的滿足邊界條件卻是很困難的。,因此，在具體求解問題時，只能采用逆解法或半逆解法。,所謂逆解法，是先假設(shè)各種形式的滿足相容方程(1-23)的應(yīng)力函數(shù) ，用式(1-21）算出應(yīng)力分量。然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來考察在各種形狀的彈性體上，這些

26、應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。,例如設(shè)應(yīng)力函數(shù) ，其中c為任意常數(shù)。不論 取何值，總能滿足相容方程式(1-23)，若不計體力，由式(1-25)求出對應(yīng)的應(yīng)力分量為,當(dāng)彈性體的形狀為矩形板，且坐 標(biāo)的取法如圖所示。若在板內(nèi)發(fā)生上 述應(yīng)力時，則此矩形板上下兩邊應(yīng)沒 有面力，左右兩邊應(yīng)沒有垂直面力，,從而求得應(yīng)力函數(shù) ，然后來考慮這個應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方 程，以及原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個應(yīng)力函數(shù)求出的其余應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力邊界條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答，如果某一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考慮。,有按直線變化的水

27、平面力。每一邊上的水平面力合成為一個力偶。因此，應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形梁受純彎曲問題。,所謂半逆解法，是針對所要求解的問題根據(jù)彈性體的邊界 形狀和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，,一、極坐標(biāo)中的基本方程,1極坐標(biāo)中的平衡方程,極坐標(biāo)中微元體受力圖,在極坐標(biāo)中，平面 內(nèi)任一點的位置用徑向 坐標(biāo) 和周向(或環(huán)向) 坐標(biāo) 來表示。,沿 和 方向取出微小 六面體，六面體 的長 度為 ，沿周向的交角 為 ，沿z方向為一個 單位長度。在六面體上 作用的內(nèi)力如圖所示。,將六面體所受各力投影到六面體中心 C 的徑向軸上列出徑向平衡方程,- 徑向正應(yīng)力；,- 環(huán)向正應(yīng)力；,切應(yīng)力用 表示，,根據(jù)

28、切應(yīng)力互等定理， 。,對于小變形，,略去高階微量，得,將六面體上所受各力投影到六面體中心 C 的周向軸上，列出周向平衡方程,利用,和切應(yīng)力互等定理，,略去高階微量，得,于是，極坐標(biāo)中的平衡微分方程是,(1-26),這兩個微分方程，包含三個未知函數(shù)，是個靜不定問題。,2極坐標(biāo)中的幾何方程和物理方程,- 徑向線應(yīng)變；,- 周向線應(yīng)變；,- 周向與徑向的切應(yīng)變；,- 徑向位移；,- 周向位移；,先假設(shè)只有徑向位移沒有周向位移，,P、A、B三點的位移分別為,徑向線段PA的線應(yīng)變?yōu)?周向線段PB的線應(yīng)變?yōu)?徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為,周向線段PB的轉(zhuǎn)角為,切應(yīng)變?yōu)?其次，假設(shè)只有周向位移而沒有徑向位移，,P、

29、A、B三點的位移,分別為,徑向線段PA的線應(yīng)變?yōu)?周向線段PB的線應(yīng)變?yōu)?徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為,周向線段PB的轉(zhuǎn)角為,切應(yīng)變?yōu)?(1-27),分別相加起來，就得到極坐標(biāo)中的幾何方程,在平面應(yīng)力情況下，物理方程為,(1-28),(1-29),在平面應(yīng)變的情況下，將式(1-28)中的 E 量換為 ；,換為,物理方程為,3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程,當(dāng)體力可不計時，平衡微分方程(1-26)的通解可以用極坐標(biāo)的應(yīng)力函數(shù) 表示成為,(1-30),(1-30),式(1-30)必須滿足以應(yīng)力表示的相容方程。,直角坐標(biāo)中的相容方程為,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系：,由此可得,(1-30),所以,因此可得,兩式相

30、加起來，得到,極坐標(biāo)中的相容方程為,(1-31),用極坐標(biāo)求解平面問題時，若體力可以不計，就只需從式(1-31)求解應(yīng)力函數(shù)，然后求出應(yīng)力分量。對于給定問題，這些應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)力邊界條件。,二、平面軸對稱問題,在平面問題中，如果它的幾何形狀、約束情況以及所承受的外載都對稱于某一軸Z則,位移分量也必然對稱于Z軸也就是這些分量僅是徑向坐標(biāo) 的函數(shù)而與 無關(guān)。這類問題稱做平面軸對稱問題。,所有的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和,在軸對稱問題中，應(yīng)力函數(shù) 只是徑向坐標(biāo)r 的函數(shù)，即,在此情況下，式(1-30)簡化為,(1-32),(1-33),相容方程簡化為,這是一個四階變系數(shù)常微分方程，它的通解是,

31、(1-34),因此可得到應(yīng)力分量,(1-35),軸對稱情況下的應(yīng)變分量和位移分量如下：,(1-36),對平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量式(1-35)代人物理方程式(1-28）得,在軸對稱情況下，位移 ，代入幾何方程式,(1-37),將式(1-36)的第一式代入式(1-37) ，并對r 積分得,將式(1-36)第二式代人式(1-37)的第二式，得,為了使u 的兩個表達式一致即滿足位移單值條件，必須使式中的B0，F(xiàn)=0。,(1-39),(1-38),(1-40),由此得出軸對稱平面應(yīng)力情況下的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量的表達式,方程中的積分常數(shù)A、C由邊界條件確定。,三、解法舉例,1沿徑向承受均布壓力

32、的環(huán)板,承受徑向壓力的環(huán)板,這是一個軸對稱平面應(yīng)力問題。環(huán)板內(nèi)、外邊界上所受的面力(即內(nèi)、外壓)為已知，且環(huán)板的邊界垂直于坐標(biāo)軸r，因此，應(yīng)力分量的邊界值就等于對應(yīng)的面力分量。所以應(yīng)力邊界為,代入式(1-38),(1-41),由此可得出,將式(1-41)代入式(1-38)、式(1-39)和式(1-40)中，得環(huán)板的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量為,(1-42),(1-43),(1-44),2圓孔的孔邊應(yīng)力集中,孔邊應(yīng)力集中是局部現(xiàn)象，在幾倍孔徑以外，應(yīng)力幾乎不受孔的影響，應(yīng)力的分布情況以及數(shù)值大小都幾乎與無孔時相同，一般講，應(yīng)力集中的程度越高，集中現(xiàn)象越是局部性的。,孔邊應(yīng)力增大的倍數(shù)與孔的形狀有關(guān)，在各種形狀的開孔中，圓孔孔邊的應(yīng)力集中程度最低。因此，如果必須在構(gòu)件中開孔，應(yīng)當(dāng)盡可能開圓孔。如果不可能開圓孔也應(yīng)當(dāng)采用近 似于圓形的