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第二章 解析幾何初步,2 圓與圓的方程,應(yīng)用創(chuàng)新演練,2.2 圓的一般方程,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,理解教材新知,考點(diǎn)三,把握熱點(diǎn)考向,把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2展開得,x2y22ax2bya2b2r20,這是一個二元二次方程的形式,那么,是否一個二元二次方程都表示一個圓呢? 問題1:方程x2y22x4y10表示什么圖形? 提示:對x2y22x4y10配方得 (x1)2(y2)24. 此方程表示以(1,2)為圓心,2為半徑長的圓,問題2:方程x2y22x2y20表示什么圖形? 提示:對方程x2y22x2y20配方得 (x1)2(y1)20,即x1且y1. 此方程表示一個點(diǎn)(1,1) 問題3:方程x2y22x4y60表示什么圖形? 提示:對方程x2y22x4y60配方得 (x1)2(y2)21. 由于不存在點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足這個方程,所以這個方程不表示任何圖形,1圓的一般方程的定義 當(dāng)D2E24F0時,二元二次方程 稱為圓的一般方程 2方程x2y2DxEyF0表示的圖形,x2y2DxEy,F0,D2E24F0,D2E24F=0,D2E24F0,1圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化,2一個二元二次方程表示圓需要一定的條件,方程x2y2DxEyF0只有在D2E24F0的條件下才表示圓,例1 判斷方程x2y24mx2my20m200能否表示圓若能表示圓,求出圓心和半徑 思路點(diǎn)撥 解答本題可直接利用D2E24F0是否成立來判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù),一點(diǎn)通 解決這種類型的題目,一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征,即x2與y2的系數(shù)是否相等;不含xy項;當(dāng)它具有圓的一般方程的特征時,再看D2E24F0是否成立,也可以通過配方化成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后,觀察等號右邊是否為正數(shù),答案:A,2下列方程能否表示圓?若能表示圓,求出圓心和半徑 (1)2x2y27x50; (2)x2xyy26x7y0; (3)x2y22x4y100; (4)2x22y24x0.,解:(1)2x2y27x50, x2的系數(shù)為2,y2的系數(shù)為1. 21,不能表示圓 (2)x2xyy26x7y0, 方程中含xy項, 此方程不能表示圓 (3)x2y22x4y100.,法一:由x2y22x4y100知: D2,E4,F(xiàn)10. D2E24F(2)2(4)2410 2040200. 此方程不能表示圓,法二:x2y22x4y100. 配方:(x1)2(y2)25, 方程x2y22x4y100不能表示圓 (4)2x22y24x0, x2y22x0, (x1)2y21. 表示以(1,0)為圓心,1為半徑的圓,3若方程x2y22mx2ym25m0表示圓,求 (1)實數(shù)m的取值范圍; (2)圓心坐標(biāo)和半徑,例2 已知ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0,5),B(1,2),C(3,4),求它的外接圓的方程,并求其外心坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥 先設(shè)其外接圓的方程是x2y2DxEyF0,然后把三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,得關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,解方程組得D,E,F(xiàn)的值代入原方程即可;也可用幾何法求出AB和BC的垂直平分線,進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)和半徑,再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出,則所求圓的方程為x2y26x2y150. 配方,得(x3)2(y1)225. 所以其外接圓的圓心是(3,1),即外心坐標(biāo)為(3,1),一點(diǎn)通 一般地,已知圓上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)或已知圓上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及其他條件求圓的方程時,一般采用圓的一般方程求解,4經(jīng)過P(2,4)、Q(3,1)兩點(diǎn),并且在x軸上截得的 弦長等于6的圓的方程,設(shè)x1、x2是方程的兩根,則x1x2D,x1x2F 由|x1x2|6,得(x1x2)24x1x236, 有D24F36. 由解得D2,E4,F(xiàn)8,或D6,E8,F(xiàn)0, 所以所求圓的方程為x2y22x4y80 或x2y26x8y0.,整理得x2y22x30, 所求曲線方程即為x2y22x30. 將其左邊配方,得(x1)2y24, 此曲線是以點(diǎn)C(1,0)為圓心,2為半徑的圓如圖.,例3 如圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在圖示位置時,拱頂離水面2 m,水面寬12 m,當(dāng)水面下降1 m后,水面寬多少米?,思路點(diǎn)撥 首先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,根據(jù)條件求出圓的方程,再應(yīng)用方程求解,精解詳析 以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以 過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則由已知得A(6,2),B(6,2), 設(shè)圓拱所在的圓的方程為 x2y2DxEyF0,,一點(diǎn)通 在解決圓在實際生活中的應(yīng)用問題時,借助坐標(biāo)系,利用方程求解可取得簡便、精確的效果應(yīng)用解析法的關(guān)鍵是建系,合理適當(dāng)?shù)慕ㄏ祵栴}的解決會有很大幫助,6一輛卡車寬3米,要經(jīng)過一個半徑為5米的半圓形 隧道(雙車道,不得違章),則這輛卡車的平頂車 篷篷頂距離地面的距離不得超過4米,試用數(shù)學(xué) 知識進(jìn)行驗證,解:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則圓的方程為x2y225(y0), 當(dāng)x3時,y4,即高度不得超過4米,圓的一般方程的求法,主要是待定系數(shù)法,需要確定D、E、F的值 對于一些特殊條件下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程對
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