一元二次方程的概念.doc

教學(xué)設(shè)計基本信息名稱一元二次方程的概念執(zhí)教者嚴杰棟課時1課時所屬教材目錄義務(wù)教育人教版九年級上冊二十一章第一節(jié)教材分析一元二次方程是本套初中教材中所學(xué)的最后一種方程，從學(xué)習(xí)意義上說，學(xué)習(xí)本章具有對方程的學(xué)習(xí)進行總結(jié)的作用。本節(jié)課以實際問題為背景，引出一元二次方程的概念，歸納出一元二次方程的一般形式，給出一元二次方程根的概念，這些概念是全章后續(xù)內(nèi)容及二次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)情分析 我所教的班級學(xué)生不足三十人，學(xué)生學(xué)習(xí)能力普遍較差，我教學(xué)的目標是從基礎(chǔ)知識做起，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，逐步深化知識，使多數(shù)學(xué)生學(xué)有所得。教學(xué)目標一、1、 通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，仿照一元一次方程的概念給出一元二次方程的概念。2、 一元二次方程的一般形式及有關(guān)概念。二、1、 通過觀察，歸納一元二次方程的概念。2、 使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程一般表達式以及各種特殊形式。三、1、 通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。2、 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。教學(xué)重難點重點一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程概念解決問題是本節(jié)重點。難點 通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念是本節(jié)難點。教學(xué)策略與 設(shè)計說明 本節(jié)課在學(xué)生已有的方程的概念的基礎(chǔ)上，擴充到一元二次方程的概念，通過呈現(xiàn)給大量的現(xiàn)實背景，并且以學(xué)生已有的方程經(jīng)驗為出發(fā)點，促進學(xué)生新知識的形成，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和進一步運用數(shù)學(xué)知識的能力。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)（注明每個環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)的時間）教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖活動一情境創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入新課（5分鐘）多媒體投影（教材第一頁圖像）：要設(shè)計一座2米高的人體雕塑，是雕塑的上部（腰上部）與下部（要下部）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，那么它的下部應(yīng)設(shè)計為多高？（設(shè)：雕塑下部高x米）。教師回答：這就是我們要學(xué)習(xí)的一元二次方程。學(xué)生用列方程解應(yīng)用題的方法得到方程：x2=2(2x)，整理得：2+2x4=0，這是什么方程？學(xué)生有疑問。用學(xué)習(xí)過的知識得出新的知識?；顒佣栴}啟發(fā)合作探究（20分鐘）問題（1）(多媒體課件）有一塊長方形鐵皮，長100cm，寬50cm,在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600 cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 假設(shè)切去的正方形邊長為x，那么盒底的長是_，寬是_，根據(jù)方盒的底面積為3600 cm2，得：_。整理，得：_。問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場。根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？問題（3）請口答下面問題。 1、上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？2、按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？3、有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？教師對照一元一次方程的概念引領(lǐng)總結(jié)：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式a2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中a2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項問題（4）追問條件，由一般式得出特殊式： （1）為什么a0？b和c能等于0嗎？（2）特殊式：a2+bx=0, a2+c=0學(xué)生根據(jù)要求完成問題一：假設(shè)切去的正方形邊長為x，那么盒底的長是(100-2x)，寬是(50-2x)，根據(jù)方盒的底面積為3600 cm2，得：(100-2x)(50-2x)=3600。整理，得：275x350=0。教師引導(dǎo)學(xué)生分析：設(shè)有x個隊參加比賽，每個隊都要與（x-1）個隊各賽一場，例如甲隊對乙隊和乙隊對甲隊是同一場比賽，所以x個隊全部比賽共有（x-1）場。故（x-1）=28為所得方程。整理得：x2x56。學(xué)生探討后回答：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程。根據(jù)教師講解，教師讓學(xué)生列舉一些一元二次方程的實例。加深學(xué)生對概念的理解。通過解決實際問題，引入一元二次方程的概念，同時可以提供學(xué)生解決實際問題的能力。學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法化簡方程，從而得到標準形式的一元二次方程，為引入一元二次方程的概念做好充分準備。得出一元二次方程的概念后，使學(xué)生充分感受一元二次方程的特點，從而達到真正理解的目的。活動三例題示范鞏固提高（7分鐘）例1將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項分析：一元二次方程的一般形式是a2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項、合并同類項等 解：去括號，得： 40-16x-10x+42=18 移項，得：42-26x+22=0 其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為-26，常數(shù)項為22例2（學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項鞏固練習(xí) 教材P27 練習(xí)1、2（每組出三名同學(xué)在前后黑板完成，分四組）教師細致講解，學(xué)生認真傾聽。而后學(xué)生快速完成練習(xí)，在黑板上完成的同學(xué)采用同伴互助，異組互批的方式完成。加強實例練習(xí)，使學(xué)生形成初步的運算解題能力?；顒铀淖晕覚z查信息反饋（10分鐘）自我測試設(shè)計 一、選擇題（54=20分） 1在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2 =0 A1個 B2個 C3個 D4個 2方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp為任意實數(shù)4關(guān)于x的方程（m2-4）x2+mx-m=0是一元二次方程的條件是（）Am0 Bm2 Cm= -2 Dm2 二、填空題（45=20分）1方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為_，一次項系數(shù)為_，常數(shù)項為_2關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是_ 3關(guān)于x的方程（m+1）xm-1+mx-1=0是一元一次方程，則m=_三應(yīng)用題（20分）九章算術(shù)“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？” 大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？ 如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個門的寬為_尺，根據(jù)題意，得_ 整理、化簡，得：_學(xué)生在小組內(nèi)合作完成，可進行同伴互助，教師分小組抽查，共性問題統(tǒng)一解答。通過一組叫有難度的練習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到拓展，提高學(xué)生利用當堂學(xué)習(xí)的知識解決問題的能力。課堂小結(jié)2分鐘利用多媒體直接把小結(jié)呈現(xiàn)在屏幕上。1、 一元二次方程的概念。2、 一元二次方程的一般形式。3、 定義要條件化：二次項系數(shù)不等于0。布置作業(yè)1分鐘 課本第四頁，習(xí)題21.1,1、2、3、4、5、6、7。板書設(shè)計 21.1一元二次方程一元二次方程的定義：一元二次方程的一般形式一元二次方程的根例題與練習(xí)習(xí)題 教學(xué)反思1、本節(jié)課的設(shè)計采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生主動參與到教學(xué)活動中來，小組討論，同伴互助，提高教學(xué)效率和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，以體現(xiàn)學(xué)生在課堂上的主體地位。2、本課有實際例子引入，已達到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，有明確知識來源于生活又服務(wù)于生活，讓學(xué)生觀察，討論得出一元二次方程的概念，學(xué)生更容易記憶和掌握，從而體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的原則。3、提高課堂強度，增加練習(xí)量，期望達到良好的學(xué)習(xí)效果。4、對學(xué)生學(xué)習(xí)能力估計過高，練習(xí)題選擇過多，沒能按規(guī)定時間完成教學(xué)預(yù)定任務(wù)?？磥恚诮窈蟮慕虒W(xué)實踐中，要精練教學(xué)內(nèi)容，立足學(xué)生實際，已達到小組合作學(xué)習(xí)理想的教學(xué)效果。有理數(shù)加法使學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的新的知識，而學(xué)生在小學(xué)以學(xué)習(xí)了整數(shù)和分數(shù)的加減和乘除運算，有理數(shù)的運算和小學(xué)的運算最大的區(qū)別是引入了負數(shù)，難度加大了很多，因此本節(jié)課注意從生活實際入手，以便于學(xué)生理解的方式講授新課，從而很好的完成好本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。本課的主要內(nèi)容是有理數(shù)加法法則的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用，在這課內(nèi)容里，加法法則的推導(dǎo)是難點，尤其是異號兩數(shù)相加結(jié)果的判定，學(xué)生很難接受，在教材的安排中，主要是給出算式，聯(lián)系生活中的事例是學(xué)習(xí)的難點，在教學(xué)中，還應(yīng)該重視有理數(shù)的加法和小學(xué)加法的區(qū)別，找到共同的地方，便于學(xué)生掌握本課的內(nèi)容。通過對有理數(shù)加法法則的探索，向?qū)W生滲透分類討論、歸納、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。四.教學(xué)過程 (一)問題與情境 我們已經(jīng)熟悉正數(shù)的運算,然而實際問題中做加法運算的數(shù)有可能超出正數(shù)范圍。例如,足球循環(huán)賽中,通常把進球數(shù)記為正數(shù),失球數(shù)記為負數(shù),它們的和叫作凈勝球數(shù)。章前言中,紅隊進4個球,失2個球;藍隊進1個球,失1個球。于是紅隊的凈勝球為 4+(-2), 黃隊的凈勝球為 1+(-1)。 這里用到正數(shù)與負數(shù)的加法。 (二)、師生共同探究有理數(shù)加法法則 前面我們學(xué)習(xí)了有關(guān)有理數(shù)的一些基礎(chǔ)知識,從今天起開始學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算.這節(jié)課我們來研究兩個有理數(shù)的加法. 兩個有理數(shù)相加,有多少種不同的情形? 為此,我們來看一個大家熟悉的實際問題: 足球比賽中贏球個數(shù)與輸球個數(shù)是相反意義的量.若我們規(guī)定贏球為“正”,輸球為“負”,打平為“0”.比如,贏3球記為+3,輸1球記為-1.學(xué)校足球隊在一場比賽中的勝負可能有以下各種不同的情形: (1)上半場贏了3球,下半場贏了1球,那么全場共贏了4球.也就是 (+3)+(+1)=+4. (2)上半場輸了2球,下半場輸了1球,那么全場共輸了3球.也就是 (-2)+(-1)=-3. 現(xiàn)在,請同學(xué)們說出其他可能的情形. 答:上半場贏了3球,下半場輸了2球,全場贏了1球,也就是 (+3)+(-2)=+1; 上半場輸了3球,下半場贏了2球,全場輸了1球,也就是 (-3)+(+2)=-1; 上半場贏了3球下半場不輸不贏,全場仍贏3球,也就是 (+3)+0=+3; 上半場輸了2球,下半場兩隊都沒有進球,全場仍輸2球,也就是 (-2)+0=-2; 上半場打平,下半場也打平,全場仍是平局,也就是 0+0=0. 上面我們列出了兩個有理數(shù)相加的7種不同情形,并根據(jù)它們的具體意義得出了它們相加的和.但是,要計算兩個有理數(shù)相加所得的和,我們總不能一直用這種方法.現(xiàn)在請同學(xué)們仔細觀察比較這7個算式,你能從中發(fā)現(xiàn)有理數(shù)加法的運算法則嗎?也就是結(jié)果的符號怎么定?絕對值怎么算? 這里,先讓學(xué)生思考,師生交流,再由學(xué)生自己歸納出有理數(shù)加法法則: 1.同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加; 2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值,互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0; 3.一個數(shù)同0相加,仍得這個數(shù). (三)、應(yīng)用舉例 變式練習(xí) 例1 口答下列算式的結(jié)果 (1)(+4)+(+3); (2)(-4)+(-3); (3)(+4)+(-3); (4)(+3)+(-4); (5)(+4)+(-4); (6)(-3)+0; (7)0+(+2); (8)0+0. 學(xué)生逐題口答后,師生共同得出 進行有理數(shù)加法,先要判斷兩個加數(shù)是同號還是異號,有一個加數(shù)是否為零;再根據(jù)兩個加數(shù)符號的具體情況,選用某一條加法法則.進行計算時,通常應(yīng)該先確定“和”的符號,再計算“和”的絕對值. 例2(教科書的例1) 解:(1)(-3)+(-9) (兩個加數(shù)同號,用加法法則的第2條計算) =-(3+9) (和取負號,把絕對值相加) =-12. (2)(-4.7)+3.9 (兩個加數(shù)異號,用加法法則的第2條計算) =-(4.7-3.9) (和取負號,把大的絕對值減去小的絕對值) =-0.8 例3(教科書的例2)教師在算出紅隊的凈勝球數(shù)后,學(xué)生自己算黃隊和藍隊的凈勝球數(shù) 下面請同學(xué)們計算下列各題以及教科書第23頁練習(xí)第1與第2題 (1)(-0.9)+(+1.5); (2)(+2.7)+(-3); (3)(-1.1)+(-2.9); 學(xué)生書面練習(xí),四位學(xué)生板演,教師巡視指導(dǎo),學(xué)生交流,師生評價。 (四)、小結(jié) 1.本節(jié)課你學(xué)到了什么? 2.本節(jié)課你有什么感受?(由學(xué)生自己小結(jié)) (五)練習(xí)設(shè)計 1.計算: (1)(-10)+(+6); (2)(+12)+(-4); (3)(-5)+(-7); (4)(+6)+(+9); (5)67+(-73); (6)(-84)+(-59); (7)33+48; (8)(-56)+37. 2.計算: (1)(-0.9)+(-2.7); (2)3.8+(-8.4); (3)(-0.5)+3; (4)3.29+1.78; (5)7+(-3.04); (6)(-2.9)+(-0.31); (7)(-9.18)+6.18; (8)4.23+(-6.77); (9)(-0.78)+0. 4.用“”或“0,b0,那么a+b _0; (2)如果a0,b0,b|b|,那么a+b _0; (4)如果a0,|a|b|,那么a+b _0. 五.教學(xué)反思 “有理數(shù)的加法”的教學(xué),可以有多種不同的設(shè)計方案.大體上可以分為兩類:一類是較快地由教師給出法則,用較多的時間(30分鐘以上)組織學(xué)生練習(xí),以求熟練地掌握法則;另一類是適當加強法則的形成過程,從而在此過程中著力培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納能力,相應(yīng)地適當壓縮應(yīng)用法則的練習(xí),如本教學(xué)設(shè)計. 現(xiàn)在,試比較這兩類教學(xué)設(shè)計的得失利弊. 第一種方案,教學(xué)的重點偏重于讓學(xué)生通過練習(xí),熟悉法則的應(yīng)用,這種教法近期效果較好. 第二種方案,注重引導(dǎo)學(xué)生參與探索、歸納有理數(shù)加法法則的過程,主動獲取知識.這樣,學(xué)生在這節(jié)課上不僅學(xué)懂了法則,而且能感知到研究數(shù)學(xué)問題的一些基本方法. 這種方案減少了應(yīng)用法則進行計算的練習(xí),所以學(xué)生掌握法則的熟練程度可能稍差,這是教學(xué)中應(yīng)當注意的問題.但是,在后續(xù)的教學(xué)中學(xué)生將千萬次應(yīng)用“有理數(shù)加法法則”進行計算,故這種缺陷是可以得到彌補的.第一種方案削弱了得出結(jié)論