高中數(shù)學(xué) 2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和特色訓(xùn)練 新人教A版必修5(1).doc

2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和特色訓(xùn)練(一)一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算例1在等比數(shù)列an中，s3，s6，求an.分析要求an，需求首項(xiàng)a1，公比q，由條件可列出關(guān)于a1和q的兩個方程，解方程組即可解：變式訓(xùn)練1在等比數(shù)列an中，a1an66，a3an2128，sn126，求n和q.解：二、利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題例2在等比數(shù)列an中，已知sn48，s2n60，求s3n.分析可用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解，也可用等比數(shù)列的性質(zhì)sn，s2nsn，s3ns2n成等比數(shù)列求解解：變式訓(xùn)練2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，若s1010，s2030，s60630，求s70的值解：三、錯位相減法的應(yīng)用例3求和：snx2x23x3nxn (x0)分析分x1和x1兩種情況解：變式訓(xùn)練3求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n項(xiàng)和解2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和特色訓(xùn)練(二) 一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的證明問題例1設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，sn是其前n項(xiàng)和，證明：log0.5sn1.證明：變式訓(xùn)練1已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為sn，s2n，s3n，求證：sssn(s2ns3n)證明二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用例2為保護(hù)我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計(jì)劃從2010年開始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.(1)以2010年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式；(2)因稀土資源不能再生，國家計(jì)劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2010年最多出口多少噸？(保留一位小數(shù))參考數(shù)據(jù)：0.9100.35.解：變式訓(xùn)練2一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？解三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題例3設(shè)an是等差數(shù)列，bnan，已知：b1b2b3，b1b2b3，求等差數(shù)列的通項(xiàng)an.解變式訓(xùn)練3在等比數(shù)列an中，an0 (nn*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2 an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)最大時，求n的值2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和特色訓(xùn)練(一)參考答案例1 解由已知s62s3，則q1，又s3，s6，即得1q39，q2.可求得a1，因此ana1qn12n2.變式訓(xùn)練1解a3an2a1an，a1an128，解方程組得或?qū)⒋雜n，可得q，由ana1qn1可解得n6.將代入sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.例2 解方法一因?yàn)閟2n2sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.將代入得64，所以s3n6463.方法二因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以sn，s2nsn，s3ns2n也成等比數(shù)列，所以(s2nsn)2sn(s3ns2n)，所以s3ns2n6063.變式訓(xùn)練2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，若s1010，s2030，s60630，求s70的值解設(shè)b1s10，b2s20s10，則b7s70s60.因?yàn)閟10，s20s10，s30s20，s70s60成等比數(shù)列，所以b1，b2，b7成等比數(shù)列，首項(xiàng)為b110，公比為q2.求得b71026640.由s70s60640，得s701 270.例3 解(1)當(dāng)x1時，sn123n.(2)當(dāng)x1時，snx2x23x3nxn，xsnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)snxx2x3xnnxn1nxn1.sn.綜上可得sn.變式訓(xùn)練3解(1)當(dāng)a0時，sn1.(2)當(dāng)a1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，(2n1)，則snn2.(3)當(dāng)a1且a0時，有sn13a5a27a3(2n1)an1asna3a25a37a4(2n1)an得snasn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，sn.綜上，sn.2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和特色訓(xùn)練(二)參考答案例1證明設(shè)an的公比為q，由題設(shè)知a10，q0，當(dāng)q1時，snna1，從而snsn2sna1(n2)a1(n1)2aa0.當(dāng)q1時，sn，從而snsn2saqn0.綜上知，snsn2log0.5s.即log0.5sn1.變式訓(xùn)練1證明方法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，當(dāng)q1時，則snna1，s2n2na1，s3n3na1，ssn2a4n2a5n2a，sn(s2ns3n)na1(2na13na1)5n2a，sssn(s2ns3n)當(dāng)q1時，則sn(1qn)，s2n(1q2n)，s3n(1q3n)，ss2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又sn(s2ns3n)2(1qn)2(22qnq2n)，sssn(s2ns3n)方法二根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，有s2nsnqnsnsn(1qn)，s3nsnqnsnq2nsn，ssssn(1qn)2s(22qnq2n)，sn(s2ns3n)s(22qnq2n)sssn(s2ns3n)例2解(1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口總量s1010a(10.910)s1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3噸變式訓(xùn)練2解用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得an1an，因此，數(shù)列an是首項(xiàng)a125，公比q的等比數(shù)列熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為：sna1a2an125125.故這個熱氣球上升的高度不可能超過125 m.例3解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an1and.數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比qd.b1b2b3b，b2.，解得或.當(dāng)時，q216，q4(q40，a3a55.又a3與a5的