人教A版選修23 2.4正態(tài)分布 課件（59張）.ppt

2 4正態(tài)分布 主題正態(tài)分布1 由函數(shù) x x 的解析式 觀測其圖象 x 的值 你能說出該函數(shù)曲線在平面直角坐標(biāo)系中的大體位置嗎 提示 因?yàn)?0 0 所以 x 0 即該函數(shù)曲線位于x軸上方 與x軸不相交 2 由函數(shù) x x 的解析式 觀測其冪指數(shù)解析式 你能說出該函數(shù)曲線的對稱性以及最大值嗎 提示 由于e的冪指數(shù)t 可看作一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù) 顯然其開口向下 對稱軸方程為x 因此該函數(shù)曲線關(guān)于直線x 對稱 在x 時(shí)達(dá)到最大值 3 結(jié)合頻率分布直方圖以及正態(tài)曲線的定義 試說明曲線與x軸之間的面積是多少 提示 因?yàn)轭l率分布直方圖中 各個(gè)小矩形的面積之和為1 再結(jié)合正態(tài)曲線的定義可知 正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1 結(jié)論 正態(tài)分布的相關(guān)概念1 正態(tài)曲線 函數(shù) x x 其中實(shí)數(shù) 0 為參數(shù) 我們稱 x 的圖象為正態(tài)分布密度曲線 簡稱正態(tài)曲線 2 正態(tài)曲線性質(zhì) 1 曲線位于x軸 與x軸不相交 2 曲線是單峰的 它關(guān)于直線 對稱 3 曲線在x 處達(dá)到峰值 4 曲線與x軸之間的面積為 上方 x 1 5 當(dāng) 一定時(shí) 曲線的位置由 確定 曲線隨著 的變化而沿x軸平移 6 當(dāng) 一定時(shí) 曲線的形狀由 確定 越小 曲線越 表示總體的分布越 越大 曲線越 表示總體的分布越 如圖所示 瘦高 集中 矮胖 分散 3 正態(tài)分布及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 1 正態(tài)分布 如果對于任何實(shí)數(shù)a b a b 隨機(jī)變量x滿足p a x b 則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布 記為 x n 2 2 正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 p x p 2 x 2 p 3 x 3 0 6827 0 9545 0 9973 微思考 1 正態(tài)分布是離散型隨機(jī)變量的分布嗎 提示 不是 它是一種連續(xù)型隨機(jī)變量分布 2 由正態(tài)曲線 過點(diǎn) a 0 和 b 0 與x軸垂直的兩條直線及x軸所圍成的平面圖形的面積表示什么 提示 表示隨機(jī)變量落在區(qū)間 a b 的概率的近似值 3 在正態(tài)分布 x x 中 參數(shù) 和 0 分別表示隨機(jī)變量的哪一個(gè)數(shù)字特征 提示 表示正態(tài)分布的均值 表示正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差 4 在正態(tài)分布曲線中 曲線的 胖瘦 是由哪個(gè)量決定的 曲線的左右位置是由哪個(gè)量決定的 提示 曲線的 胖瘦 是由參數(shù) 決定的 曲線的左右位置是由參數(shù) 決定的 預(yù)習(xí)自測 1 正態(tài)分布n 0 1 在區(qū)間 2 1 和 1 2 上取值的概率為p1 p2 則二者大小關(guān)系為 a p1 p2b p1p2d 不確定 解析 選a 根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn) 圖象關(guān)于x 0對稱 可得在區(qū)間 2 1 和 1 2 上取值的概率p1 p2相等 2 設(shè)隨機(jī)變量x n 2 則隨著 的增大 概率p x 3 將會(huì) a 單調(diào)增加b 單調(diào)減少c 保持不變d 增減不定 解析 選c 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x 不論 怎么變化 p x 3 總等于0 9973 3 若f x x r 則下列判斷正確的是 a 有最大值 也有最小值b 有最大值 無最小值c 無最大值 有最小值d 無最大值 也無最小值 解析 選b f x 是 1 1的正態(tài)分布密度函數(shù) 所以在x 1時(shí)取得最大值 無最小值 4 設(shè)隨機(jī)變量x n 2 且p x c p x c 則c等于 解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)可知圖象關(guān)于x 對稱 而本題關(guān)于x c對稱 答案 5 設(shè)有一正態(tài)總體 它的概率密度曲線是函數(shù)f x 的圖象 且f x 則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 解析 由正態(tài)曲線知 即 10 2 答案 10 2 6 已知某工廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的卡車輪胎的使用壽命 單位 km 服從正態(tài)分布n 36203 48272 一汽車公司一次性從該廠買了500個(gè)輪胎 利用正態(tài)分布估計(jì)使用壽命在36203 2 4827 36203 2 4827范圍內(nèi)的輪胎個(gè)數(shù)是多少 解析 因?yàn)榭ㄜ囕喬サ氖褂脡勖恼龖B(tài)分布n 36203 48272 所以p 36203 2 4827 36203 2 4827 0 9545 因?yàn)槠嚬疽淮涡詮脑搹S買了500個(gè)輪胎 所以使用壽命在36203 2 4827 36203 2 4827范圍內(nèi)的輪胎個(gè)數(shù)約是500 0 9545 477 個(gè) 類型一正態(tài)分布的概念與性質(zhì) 典例1 1 把一條正態(tài)曲線c1沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位 得到一條新的曲線c2 下列說法中不正確的是 a 曲線c2仍然是正態(tài)曲線b 曲線c1和曲線c2的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 c 以曲線c2為概率密度曲線的總體的均值比以曲線c1為概率密度曲線的總體的均值大2d 以曲線c2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線c1為概率密度曲線的總體的方差大2 2 如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線 其解析式為f x 試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布參數(shù) 2的值 解題指南 1 正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只改變對稱軸位置 曲線的形狀沒有改變 所得的曲線依然是正態(tài)曲線 2 給出了一個(gè)正態(tài)曲線 就給出了該曲線的對稱軸和最大值 從而就能求出總體隨機(jī)變量的均值 方差 解析 1 選d 在正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)的過程中 始終保持不變 所以曲線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即正態(tài)分布曲線的最大值不變 方差 2也沒有變化 設(shè)曲線c1的對稱軸為x 那么曲線c2的對稱軸則為x 2 說明均值從 變到了 2 增大了2 2 從給出的正態(tài)曲線可知 該正態(tài)曲線關(guān)于直線x 20對稱 最大值是 所以 20 由得 所以 2 2 故 20 2 2 方法總結(jié) 利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求參數(shù) 的方法 1 正態(tài)曲線是單峰的 它關(guān)于直線x 對稱 由此性質(zhì)結(jié)合圖象求 2 正態(tài)曲線在x 處達(dá)到峰值由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求 拓展 1 若隨機(jī)變量x n 2 則y ax b n a b a2 2 其理由如下 因?yàn)閑 ax b ae x b a b d ax b a2d x a2 2 因此 y ax b n a b a2 2 2 正態(tài)分布的性質(zhì)表示的含義性質(zhì)1說明函數(shù)的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)的子集 且以x軸為漸近線 性質(zhì)2是曲線的對稱性 關(guān)于直線x 對稱 性質(zhì)3說明函數(shù)在x 時(shí)取得最大值 性質(zhì)4說明隨機(jī)變量在 內(nèi)的概率等于1 性質(zhì)5說明當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差一定時(shí) 變化時(shí)曲線的位置變化情況 性質(zhì)6說明當(dāng)均值一定時(shí) 變化時(shí)總體分布的集中 離散程度 鞏固訓(xùn)練 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布n 1 1 0 和n 2 2 0 的密度函數(shù)圖象如圖所示 則有 a 1 2c 1 2 1 2 1 2 解析 選a 正態(tài)分布n 1 1 0 的對稱軸x 1 且在x 1處取得峰值由密度函數(shù)圖象可知 1 2 峰值故 1 2 補(bǔ)償訓(xùn)練 正態(tài)分布密度函數(shù)f x 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 a p 1 b p 1 1 p 1 1 c f x 的漸近線是x 0d 1 n 0 1 解析 選c 由正態(tài)分布密度函數(shù)f x 可知 其對稱軸為x 1 標(biāo)準(zhǔn)差 1 所以p 1 正確 由正態(tài)曲線的性質(zhì)可知 p 1 1 p 1 1 所以選項(xiàng)b正確 由正態(tài)曲線的性質(zhì)可知 f x 的漸近線是y 0 所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤 又由正態(tài)分布密度函數(shù)f x 可知 n 1 1 所以 1 n 0 1 正確 類型二正態(tài)分布下的概率問題 典例2 1 設(shè)隨機(jī)變量x n 3 1 若p x 4 p 則p 2 x 4 a pb 1 pc 1 2pd p 2 設(shè)x n 5 1 求p 6 x 7 解題指南 1 利用正態(tài)分布的圖象特點(diǎn)計(jì)算 注意應(yīng)用對稱性 2 由x n 5 1 知 5 1 故p 4 x 6 0 6827 p 3 x 7 0 9545 由對稱性知p 3 x 4 p 6 x 7 由此可求p 6 x 7 解析 1 選c 由x n 3 1 得 3 所以p 3 x 4 p 故p 2 x 4 2p 3 x 4 1 2p 2 由已知得p 4 x 6 0 6827 p 3 x 7 0 9545 所以p 3 x 4 p 6 x 7 0 9545 0 6827 0 2718 由對稱性得p 3 x 4 p 6 x 7 所以p 6 x 7 0 1359 延伸探究 1 若題 1 中的條件 p x 4 p 改為 p x 4 p 則結(jié)果如何 解析 由x n 3 1 得 3 所以p 3 x 4 p 所以p 2 x 4 2p 3 x 4 2p 1 2 若題 1 的條件不變 求p x4 p 方法總結(jié) 正態(tài)分布概率求解的注意事項(xiàng) 1 注意對稱 解答此類問題的關(guān)鍵在于充分利用正態(tài)曲線的對稱性 把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化 在此過程中注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 2 注意面積 正態(tài)曲線與x軸所圍成的面積值為1 x落在區(qū)間 a b 的概率與由正態(tài)曲線 過點(diǎn) a 0 和 b 0 的兩條x軸的垂線及x軸所圍成的圖形的面積相等 類型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 典例3 設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中 某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)x n 110 202 且知試卷滿分150分 這個(gè)班的學(xué)生共54人 求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格 即90分及以上 的人數(shù)和130分及以上的人數(shù) 解題指南 由題意將所求的問題向 2 2 3 3 這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化 然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率 解析 因?yàn)閤 n 110 202 所以 110 20 p 110 20 x 110 20 0 6827 所以x 130的概率為 1 0 6827 0 15865 所以x 90的概率為0 6827 0 15865 0 84135 所以及格的人數(shù)為54 0 84135 45 人 130分及以上的人數(shù)為54 0 15865 9 人 方法總結(jié) 1 生活中常見的正態(tài)分布 1 在生產(chǎn)中 各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)一般都服從正態(tài)分布 2 在測量中 測量結(jié)果 測量的隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布 3 在生物學(xué)中 同一群體的某種特征都服從正態(tài)分布 4 在氣象中 某地每年某月份的平均氣溫 平均濕度 降雨量等都服從正態(tài)分布 2 利用3 原則求某區(qū)間內(nèi)取值概率的基本方法 1 根據(jù)題目給出的條件確定 與 的值 2 將待求問題向 2 2 3 3 這三個(gè)區(qū)間轉(zhuǎn)化 3 利用上述區(qū)間求出相應(yīng)的概率 鞏固訓(xùn)練 已知某批零件的長度誤差 單位 毫米 服從正態(tài)分布n 0 32 從中隨機(jī)取一件 其長度誤差落在區(qū)間 3 6 內(nèi)的概率為 附 若隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布n 2 則p 68 27 p 2 2 95 45 a 4 56 b 13 59 c 27 18 d 31 74 解析 選b 已知誤差服從正態(tài)分布n 0 32 p 0 3 0 3 68 27 p 0 6 0 6 95 45 p 3 6 95 45 68 27 13 59 補(bǔ)償訓(xùn)練 在某次大型考試中 某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布n 80 52 現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績在80 85分的有17人 該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人 解析 因?yàn)槌煽兎恼龖B(tài)分布n 80 52 所以 80 5 則 75 85 所以成績在 75 85 內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68 27 成績在 80 85 內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34 14 設(shè)該班有x名同學(xué) 則x 34 14 17 解得x