第5講 電磁場的能量

電磁場與電磁波,電子工程學(xué)院陳其科,第五講電磁場的能量,問題一：為什么說電磁場具有能量？,電場對位于場域中電荷有作用力，磁場對位于場域中電流有作用力，說明電磁場具有能量。,問題二：電磁場能量來源于何處？,建立電磁場的過程中，外源做功轉(zhuǎn)換為電磁場能量。,問題三：電磁場能量分布于何處？,只要電、磁場不為零的空間，均存在電磁能量分布。,在某一時刻：電荷分布為、電位分布為。,一、靜電場的能量,靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。,1、分布電荷靜電場能量,設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終的電荷分布為、電位為。電荷增加系數(shù)為,當(dāng)增加為,體積元dV中增加電荷,外電源所做的功轉(zhuǎn)換為電場能量We，即,外電源對dV做功為:,一、靜電場的能量,2、多點電荷靜電場能量,對N個點電荷組成的系統(tǒng)，電荷體密度為,利用函數(shù)的選擇性,點電荷相互作用能,式中為其他電荷在i電荷位置處產(chǎn)生電位，不含i電荷在自身處產(chǎn)生電位,多點電荷靜電場能量：,一、靜電場的能量,3、多帶電導(dǎo)體系統(tǒng)靜電場能量,N個帶電導(dǎo)體組成的系統(tǒng)的總電場能量為：,式中為所有帶電導(dǎo)體(含i導(dǎo)體)在i導(dǎo)體處產(chǎn)生電位,多帶電導(dǎo)體系統(tǒng)靜電場能量,導(dǎo)體帶電時，電荷均分布于導(dǎo)體表面面電荷。,i導(dǎo)體電荷面密度,i導(dǎo)體電荷電位,能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù)不表示能量密度,關(guān)于靜電場能量表達(dá)式的說明,討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場,積分區(qū)域為存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個空間,一、靜電場的能量,一、靜電場的能量,4、電場能量密度,電場能量密度：,電場總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，有：,推證,考查第一項：,在上式中，為整個空間，即S為包圍整個空間的閉合面，,電場能量密度,式中：為整個電場空間,電場能量密度公式推導(dǎo)：,二、恒定磁場的能量,恒定磁場能量來源于建立電流過程中外源提供的能量。恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給能量，全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。,1、體電流的磁場能量,若電流為體電流分布，則其在空間中產(chǎn)生的磁能為：,式中：為體電流在dV處產(chǎn)生的磁位。V為整個空間。,上式只適用于恒定磁場被積函數(shù)不代表能量密度,二、恒定磁場的能量,2、多電流回路系統(tǒng)的磁場能量,N個回路系統(tǒng)，i回路自感為，i回路與j回路間互感為，i回路電流為，則磁回路系統(tǒng)的磁場能量為:,若回路為單回路系統(tǒng)，則,若回路為雙回路系統(tǒng)，則,關(guān)于電流回路系統(tǒng)磁場能量的討論,二、恒定磁場的能量,3、磁場能量密度,磁場能量密度：,磁場能量：,對于線性、各向同性媒質(zhì)，則有,推證,得：磁能密度為,磁場能量密度公式推導(dǎo)：,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,1、電磁能量,電磁能量密度：單位體積中電磁場的能量。為電場能量和磁場能量之和。,電場能量密度：,磁場能量密度：,電磁場能量密度：,體積V內(nèi)總能量：,進(jìn)入體積V的能量體積V內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量,問題：數(shù)學(xué)表示？,2、坡印廷定理電磁能量守恒定律,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,坡印廷定理描述了有限區(qū)域內(nèi)的電磁能量守恒關(guān)系。,2、坡印廷定理電磁能量守恒定律,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,區(qū)域V內(nèi)電磁場能量密度：單位體積中電磁場的能量，為電場能量和磁場能量之和。,體積V內(nèi)總能量：,啟示：圍繞體積內(nèi)儲能隨時間的變化來描述能量關(guān)系,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,2、坡印廷定理電磁能量守恒定律,坡印廷定理積分形式：,體積V內(nèi)增加的電磁功率,體積V內(nèi)損耗的電磁功率,流入體積V的電磁功率（新物理量）,坡印廷定理物理意義：單位時間內(nèi)流入體積V內(nèi)的電磁能量等于體積V內(nèi)增加的電磁能量與體積V內(nèi)損耗的電磁能量之和。,坡印廷定理微分形式：,推證,坡印廷定理推導(dǎo)：,兩式相減，得,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,2、坡印廷定理電磁能量守恒定律,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,3、坡印廷矢量,重要概念：坡印廷矢量,流入體積V的電磁功率,物理含義：通過垂直于能量傳輸方向單位面積的電磁功率（功率流密度）。,坡印廷矢量定義：,坡印廷矢量描述了時變電磁場中電磁能量傳輸（流動）的特性,注：上式與時間有關(guān)，故也稱瞬時坡印廷矢量。,三、電磁能量及電磁能量守恒定律,3、坡印廷矢量,平均坡應(yīng)廷矢量,瞬時坡印廷矢量反映某時刻的電磁能量流動情況。平均坡印廷矢量反映一個時間周期內(nèi)的電磁能量傳遞情況。,平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內(nèi)取平均。,注：與時間t無關(guān)。,四、典型例題,【例1】半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求總靜電場能量（球內(nèi)外介質(zhì)均為真空）。,解法一:利用計算,根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度,故,四、典型例題,(續(xù)前),解法二:利用計算,故,根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度,【例2】求同軸線單位長度內(nèi)儲存的磁場能量。,解：如圖所示，同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的外半徑為c。,內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充的介質(zhì)以及導(dǎo)體的磁導(dǎo)率,均為,設(shè)電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律求出磁場分布,四、典型例題,由此即可求出三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為,同軸線單位長度儲存的總磁場能量為,四、典型例題,(續(xù)前),【例3】已知無源區(qū)域的,場為,。求,(a)磁場強(qiáng)度，(b)場存在的必要條件，(c)單位面積的瞬時功率流和平均功率流。,解:(a),電場為:,，用,求,場。,由,，得,四、典型例題,(續(xù)前)(b)要使場存在，則場量須滿足