廣東署山市高明區(qū)高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)1學案無答案新人教A版選修2_3

1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)【學習目標】1.了解楊輝三角各行數(shù)字的特點及其與組合數(shù)性質(zhì)、二項展開式系數(shù)性質(zhì)間的關(guān)系，培養(yǎng)學生的觀察力和歸納推理能力；2理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單應用；3理解和初步掌握賦值法.【能力目標】能識別和計算兩個系數(shù),并會利用不等式求最大值.【重點難點】體會用函數(shù)知識研究問題的方法，理解二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應的分界點；利用賦值法證明二項式系數(shù)的性質(zhì)【學法指導】二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項式系數(shù)最大的才是中間項，而系數(shù)最大的不一定是中間項，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項展開式系數(shù)的問題的重要手段.【學習過程】一.【課前預習】閱讀教材P32-P35,二【課堂學習與研討】二項定理:一般地,對于有二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個?下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點?楊輝三角1“楊輝三角”的來歷及規(guī)律展開式中的二項式系數(shù)，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二項式系數(shù)的性質(zhì):展開式的二項式系數(shù)依次是從函數(shù)角度看，可看成是以為自變量的函數(shù) ,其定義域是：當時，其圖象是右圖中的7個孤立點（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等；這一性質(zhì)可直接由公式得到，圖象的對稱軸（2）增減性與最大值由于：，所以相對于的增減情況由決定。由知，當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。因此，當為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值；(3)各二項式系數(shù)的和在二項式定理中，令，則：，這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于。同時由于，上式還可以寫成：，這是組合總數(shù)公式。一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：，當時，當時，。例.在中，求：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)絕對值最大的項；解: （1）二項式系數(shù)最大的項是第項，為（2）設系數(shù)絕對值最大的項是第項，又，依題意得于是化簡得，解得.因為為整數(shù)，所以，即是系數(shù)絕對值最大的項三【課堂檢測】1.已知，那么 。(用,表示)解: 2.的展開式中，二項式系數(shù)的最大值是 。解:當為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值,所以相等且最大,是126.3.若得展開式中的第十項和第十一項的二項式系數(shù)最大，則 。解:即相等且最大,則.4.的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項是（D）A第4項B第4、5項C第5項D第3、4項5.若展開式中第6項的系數(shù)最大，則不含的項等于（A）A210B120C461D416四【課堂小結(jié)】二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項式系數(shù)最大的才是中間項，而系數(shù)最大的不一定是中間項，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項展開式系數(shù)的問題的重要手段.【課外作業(yè)】1思考判斷（正確的打“”，錯誤的打“”）（1）楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列. （ ）（2）二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項是相同的. （ ）（3）二項展開式的二項式系數(shù)和為. （ ）解: （1）對，由楊輝三角觀察可知結(jié)論正確.（2）錯，二項式展開式中系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，所以最大項也不相同.（3）錯，二項展開式的二項式系數(shù)和為.（1）（2）（3）2關(guān)于的說法，錯誤的是 ()A展開式中的二項式系數(shù)之和為1 024B展開式中第6項的二項式系數(shù)最大C展開式中第5項或第7項的二項式系數(shù)最大D展開式中第6項的系數(shù)最小解:根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)進行判斷，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知：二項式系數(shù)之和為2n，故A正確；當n為偶數(shù)時，二項式系數(shù)最大的項是中間一項，故B正確，C錯誤；D也是正確的，因為展開式中第6項的系數(shù)是負數(shù)，所以是系數(shù)中最小的C3的展開式中系數(shù)最小的項為 ()A第九項 B第八項 C第七項 D第六項解:展開式中共有14項，中間兩項（第七、八項）的二項式系數(shù)最大由于二項展開式中二項式的系數(shù)和項的系數(shù)滿足：奇數(shù)項相等，偶數(shù)項互為相反數(shù)故系數(shù)最小的項為第八項，系數(shù)最大的項為第七項B4在的二項展開式中，若只有的系數(shù)最大，則 （ ）A8 B9 C10 D11解:由題意展開式中， 的系數(shù)就是第6項的二項式系數(shù)，因為只有它是二項式系數(shù)中最大的，所以.5展開式中各項系數(shù)的和為_；各項的二項式系數(shù)和為_解:令展開式左、右兩邊，得各項系數(shù)和為；各二項式系數(shù)之和為：. 6.P37頁