高三數(shù)學(xué)4用分割法求面積和體積棱的直截面求體積

1 S A B C D 4 4 用分割法求面積和體積（棱的直截面求體積）用分割法求面積和體積（棱的直截面求體積） 4.14.1 作棱的直接面割補(bǔ)法求斜棱柱的體積作棱的直接面割補(bǔ)法求斜棱柱的體積 【例例 5】5】 （2011遼寧高考）已知球的直徑 SC=4，A，B 是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2， ASC=BSC=45，則棱錐 S-ABC 的體積為（ ） A B C D 3 3 2 3 3 4 3 3 5 3 3 【解析解析】設(shè)球心為，則是兩個全等的等腰直角三角形斜邊OBOAO, 上的高（如圖 4-1） ，斜邊故，且有, 圖 4-14,SC 2 BOAOSCAO =SCBO )( 3 1 OCSOSVVV AOBAOBCAOBSABCS 3 34 42 4 3 3 1 2 【評注評注】用分割法求體積（棱的直截面求體積）用分割法求體積（棱的直截面求體積） ，分割的目的是化不可求為可求，或者化不，分割的目的是化不可求為可求，或者化不 易求為易求；易求為易求；特殊的三棱錐通過作某棱的直截面，將三棱錐分割成公底面的兩個三棱錐， 其該側(cè)棱就是兩個小三棱錐高的和。 【變式變式 1】1】四面體的直截面分割四面體的直截面分割 四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.則該四面體的體積的最大值為 【變式變式 1】1】答案答案 3 8 a 【解析解析】如圖 4-2，在四面體ABCD中， 設(shè)ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中點(diǎn)為P， BC的中點(diǎn)為E，連接BP、EP、CP.得到AD平面BPC， VA-BCDVA-BPCVD-BPCSBPCAPSBPCPD 圖 4-2 1 3 1 3 SBPCAD (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號) 1 3 223 2 113 3 322248 axaa axa 24 3xa 【變式變式 2】2】直截面分割探究體積存在性問題直截面分割探究體積存在性問題 一個三棱錐的三個側(cè)面中有兩個是等腰直角三角形，另一個是 邊長為 1 的正三角形，則這個三棱錐的體積為 （寫出一個可能的值即可）. 【變式變式 2】2】答案答案其中之一. 圖 4-3 223 , 241212 【解析解析】若頂角中有兩個角是直角,一個角為 60 度, 若兩等腰直角 133 1 3412 V 2 D B C A1 C1 B1 A E 三角形的公共直角邊與底面垂直,此底面是腰為的直角三角形體積為 2 2 ;如圖 4-3，若兩等腰直角三角形有公共斜邊 SB, 121222 3222224 V SA=SC=AC=1, 取 D 為 AC 中點(diǎn),連結(jié) SD,DB,SDB 為棱 AC 的直截面, 33 2 22 211332 22 44 coscos,sin,1 33322231213 2 22 SDBV 此時體積為 2 . 12 4.24.2 作棱的直接面割補(bǔ)法求斜棱柱的體積作棱的直接面割補(bǔ)法求斜棱柱的體積 【例例 6】6】 斜三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是邊長為 a 的正三角形，側(cè)棱長等于 b，一條側(cè)棱 AA1與底面相鄰兩邊 AB、AC 都成 450角，則這個三棱柱的體積 側(cè)面積為 . 【解析解析】 依據(jù)題設(shè)特殊性，過點(diǎn) B 作 BMAA1于 M，連結(jié) CM，在ABM 和ACM 中， AB=AC，MAB=MAC=450，MA 為公共邊，ABM ACM，AMC=AMB=900，AA1平面 BMC，即平面 BMC 為側(cè)棱的直截面， BM=CM=ABsin450=a，直截面為底為 a,腰為a 的等腰三角形，易求面積為,則三 2 2 2 2 2 4 a 棱柱的體積為 , BMC 周長為 2a+a=(1+)a，且棱長為 b ，S=(1+)ab. 2 4 a b 2 2 22 【評注評注】斜三棱柱的體積通過作棱的直截面，割補(bǔ)成直棱柱易求其體積和側(cè)面積，關(guān)鍵在 于依據(jù)題設(shè)的特殊性選擇特殊位置構(gòu)建側(cè)棱的直截面. 注意作直截面需要證明。 【變式變式 1】1】斜三棱直接面割補(bǔ)求體積斜三棱直接面割補(bǔ)求體積直接面分割求三棱柱體積直接面分割求三棱柱體積 （徐州市（徐州市 1515 第第 3 3 次質(zhì)檢）次質(zhì)檢）在三棱柱中，側(cè)棱平面底 111 CBAABC 1 AA, 1, 111 AACAB 面是邊長為 2 的正三角形，則此三棱柱的體積為 .ABC 【變式變式 1】1】答案答案2 【解析】如圖 4-4 取線段的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，BCD 1 ,AD ADA 1 AEADE 因為底面是正三角形，則，又因為 111 ABC 111 ADBC 側(cè)棱平面，平面， 1 AA 11 ABC 11 ,AD BC 11 ABC 所以所以平面， 1 AA 11, BC 1 AAAD 11 BC 1 ADA 則平