林壽數(shù)學(xué)史第九講：19世紀(jì)的幾何與分析I

1、第九講 19世紀(jì)的幾何與分析I,幾何學(xué)的變革 分析的嚴(yán)格化,幾 何,現(xiàn)實(shí)空間與思維空間 微分幾何 非歐幾何 射影幾何 統(tǒng)一的幾何 公理化方法,平面曲線理論17世紀(jì)基本完成,微分幾何,惠更斯(荷, 1629-1695),1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：漸伸線、漸屈線,洛比塔(法, 1661-1704),1671年和1686年牛頓和萊布尼茨：曲率、曲率半徑 1691年和1692年約翰伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲線的包絡(luò) 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的無(wú)窮小分析完成并傳播了平面曲線理論,18世紀(jì)的空間曲線、曲面理論,微分幾何,克萊羅(法, 1713-1765

2、),1697年約翰伯努利(瑞, 1667-1748)提出的測(cè)地線問(wèn)題 1731年克萊羅(法, 1713-1765)關(guān)于雙重曲率曲線的研究：弧長(zhǎng)、曲率,微分幾何,1760年歐拉(瑞, 1707-1783) 關(guān)于曲面上曲線的研究：曲率、繞率，建立了曲面理論,蒙日(法, 1746-1818),1771年歐拉(瑞, 1707-1783)關(guān)于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)關(guān)于可展曲面與直紋面 1795年蒙日(法, 1746-1818) 關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁(yè)論文借助微分方程對(duì)曲面族、可展曲面、直紋面做深入研究,蒙日: 1792年任法蘭西共和國(guó)海軍部部長(zhǎng), 簽署了處決路易

3、十六的報(bào)告書, 1800年任元老院議長(zhǎng), 1808年封爵, 波旁王朝復(fù)辟后被革職 1794年組建巴黎綜合工科學(xué)校 , 1795年設(shè)立巴黎高等師范學(xué)校 培養(yǎng)一批優(yōu)秀學(xué)生: 泊松、劉維爾、傅里葉、柯西,平行公理的研究(公元前3世紀(jì)至1800年),歐氏幾何,歐幾里得,普萊菲爾(蘇格蘭, 1748-1819),勒讓德(法, 1752-1833),若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角, 那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng), 它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交.,勒讓德(法, 1752-1833) 幾何學(xué)原理：這條關(guān)于三角形的三個(gè)內(nèi)角和的定理應(yīng)該認(rèn)為是那些基本真理之一。這些真理是不容爭(zhēng)論的，它們是數(shù)學(xué)永

4、恒真理的不朽的例子。(1832),1733年薩凱里(意, 1667-1733)歐幾里得無(wú)懈可擊,歐氏幾何,非歐幾何,1766年蘭伯特(法, 1728-1777)平行線理論不認(rèn)為銳角假設(shè)矛盾, 認(rèn)識(shí)到如果一組假設(shè)不引起矛盾, 就提供了一種可能的幾何,1763年，克呂格爾(德, 1739-1812)第一位對(duì)平行線公設(shè)是否能由其它公理加以證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家,1820年F鮑約(匈, 1775-1856): “我經(jīng)過(guò)了這個(gè)長(zhǎng)夜的渺無(wú)希望的黑暗, 在這里埋沒(méi)了我一生的一切亮光和一切快樂(lè),或許這個(gè)無(wú)底洞的黑暗將吞食掉一千個(gè)猶如燈塔般的牛頓, 而使大地永無(wú)光明。”,非歐幾何,1813年高斯(德, 1777-

5、1855)：非歐幾里得幾何,1832年J鮑約(匈, 1802-1860)絕對(duì)空間的科學(xué),幾何學(xué)上的哥白尼,1826年羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明,羅巴切夫斯基(蘇聯(lián), 1951),非歐幾何,羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大學(xué)教授、校長(zhǎng) 1815年著手研究平行線理論，試圖給出平行公設(shè)的證明 1826年在物理數(shù)學(xué)系會(huì)議宣讀簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明 1829年論文幾何學(xué)原理在喀山大學(xué)通報(bào)全文發(fā)表 直至羅巴切夫斯基去世的30年內(nèi)，沒(méi)能贏得社會(huì)的承認(rèn)和贊美,鮑約(羅馬尼亞, 1960),非歐幾何,鮑約父子之墓,內(nèi)蘊(yùn)幾何，流形曲率,185

6、4年黎曼(德, 1826-1866)關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè),非歐幾何,非歐幾何,1846年進(jìn)入哥廷根大學(xué)專修語(yǔ)言和神學(xué) 1847-1848年到柏林大學(xué), 進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域 1849-1851年在哥廷根大學(xué), 取得博士學(xué)位, 學(xué)位論文“單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)” 1854年講師職位講演: 關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè), 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺結(jié)核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(發(fā)表論文18篇, 遺稿12篇) 偉大的分析學(xué)家：復(fù)變函數(shù)論、阿貝爾函數(shù)論、超幾何級(jí)數(shù)與常微分方程、解析數(shù)論、實(shí)分析、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)物理、物理學(xué),黎曼(德, 1826-1866),“ 黎曼是一個(gè)富有

7、想象的天才, 他的想法即使沒(méi)有證明, 也鼓舞了整整一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家.”,模型與相容性,1868年貝爾特拉米(意, 1835-1899),非歐幾何,曳物線,1871年克萊因(德, 1849-1925),1882年龐加萊(法, 1854-1912),非歐幾何,克萊因-龐加萊圓,蒙日(法國(guó), 1953),1803年卡爾諾(法, 1753-1823)的位置幾何學(xué),卡爾諾(法國(guó), 1950),1799年蒙日(法, 1746-1818)的畫法幾何學(xué),射影幾何,早期開(kāi)拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662),綜合方法,對(duì)偶原理,1822年龐斯列(法, 1788-186

8、7)的論圖形的射影性質(zhì),射影幾何,代數(shù)方法,射影幾何,射影幾何,所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)科，或者說(shuō)任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。,1872年克萊因(德, 1849-1925)的愛(ài)爾朗根綱領(lǐng),統(tǒng)一的幾何學(xué),1865年進(jìn)入波恩大學(xué)(建于1786年)學(xué)習(xí)生物 1866-1868年普呂克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大學(xué)、柏林大學(xué)、普法戰(zhàn)爭(zhēng)、埃爾朗根大學(xué)、慕尼黑工業(yè)大學(xué)、萊比錫大學(xué)、哥廷根大學(xué) 克萊因使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統(tǒng)的德國(guó)大學(xué)更富有科學(xué)魅力，吸引了一批有杰出才華的年青數(shù)學(xué)家，使之成為20世紀(jì)初世界

9、數(shù)學(xué)的中心之一,愛(ài)爾朗根綱領(lǐng),統(tǒng)一的幾何學(xué),克萊因：“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?幾何學(xué)的公理化,1899年希爾伯特幾何基礎(chǔ),選擇和組織公理系統(tǒng)的原則,希爾伯特(德, 1862-1943),“建立幾何的公理和探究它們之間的關(guān)系，是一個(gè)歷史悠久的問(wèn)題；關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的討論，從歐幾里得以來(lái)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，有過(guò)難以計(jì)數(shù)的專著，這問(wèn)題實(shí)際就是要把我們的空間直觀加以邏輯的分析?！?本書中的研究，是重新嘗試著來(lái)替幾何建立一個(gè)完備的，而又盡可能簡(jiǎn)單的公理系統(tǒng)；要根據(jù)這個(gè)系統(tǒng)推證最重要的幾何定理，同時(shí)還要使我們的推證能明

10、顯地表出各類公理的含義和個(gè)別公理的推論的含義?！?分析的嚴(yán)格化,分析的算術(shù)化 實(shí)數(shù)理論 集合論,分析的算術(shù)化,分析：關(guān)于函數(shù)的無(wú)窮小分析 問(wèn)題：第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 核心：函數(shù)、無(wú)窮小 貢獻(xiàn)：柯西(法, 1789-1857 ) 分析教程(1821) 無(wú)窮小分析教程概論(1823) 微分學(xué)教程(1829) 魏爾斯特拉斯(德, 1815-1897) -語(yǔ)言 “現(xiàn)代分析之父”,希爾伯特（德，18621942年）：“魏爾斯特拉斯以其酷愛(ài)批判的精神和深遽的洞察力，為數(shù)學(xué)分析建立了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過(guò)澄清極小、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念，他排除了微積分中仍在涌現(xiàn)的各種異議，掃清了關(guān)于無(wú)窮大和無(wú)窮小的各種混亂觀念，決定性地克服

11、了起源于無(wú)窮大和無(wú)窮小概念的困難今天分析達(dá)到這樣和諧、可靠和完美的程度，本質(zhì)上應(yīng)歸功于魏爾斯特拉斯的科學(xué)活動(dòng)?！?函數(shù),初等函數(shù),狄里克雷函數(shù),處處不可微的連續(xù)函數(shù),解析函數(shù),1837年狄里克雷(德, 1805-1859),1817年波爾查諾(捷, 1781-1848)定義了導(dǎo)數(shù)、連續(xù) 1821年柯西(法, 1789-1857)分析教程定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù),算術(shù)化,1854年黎曼(德, 1826-1866)定義了有界函數(shù)的積分 19世紀(jì)60年代魏爾斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-語(yǔ)言 1875年達(dá)布(法, 1842-1917)提出了大和、小和,1817年波爾查諾(捷, 1781-1

12、848)提出“確界原理” 1817年波爾查諾和19世紀(jì)60年代魏爾斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚點(diǎn)定理” 1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收斂準(zhǔn)則” 19世紀(jì)60年代魏爾斯特拉斯提出“單調(diào)有界原理” 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波萊爾(法, 1871-1956)提出“有限覆蓋定理”,實(shí)數(shù)理論,1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理論” 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“區(qū)間套原理”,波爾查諾 (捷克斯洛伐克，1981）,實(shí)數(shù)理論,1834年進(jìn)入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律與商業(yè)，放棄法學(xué)博士候選人 1839-1940

13、年成為古德曼(德, 1798-1852)的學(xué)生 1841-1856年在中學(xué)任教, 開(kāi)展橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論的研究,1854年哥尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士 1856年起在柏林工業(yè)大學(xué)、柏林大學(xué)任教, 1873年出任柏林大學(xué)校長(zhǎng) 分析算術(shù)化的完成者, 解析函數(shù)論的奠基人, 卓越的大學(xué)數(shù)學(xué)教師(1864-1885培養(yǎng)了41位博士),學(xué)生中有近100位成為大學(xué)正教授 龍格(德, 1856-1927): 魏爾斯特拉斯在其連續(xù)性課程中“自下而上地構(gòu)筑了完美的數(shù)學(xué)大廈, 其中任何想當(dāng)然的、未經(jīng)證明的東西沒(méi)有立足之地”.,實(shí)數(shù)理論,海涅,波萊爾,達(dá)布,黎曼,戴德金,巴赫曼,1874年起康托(德, 1845-1918)一系列論文建立,康托三等分集,集合論,希爾伯特：數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活