第二章數(shù)學(xué)模型和數(shù)值分析方法.ppt

1、計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用,王建剛,第1章 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法,1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),1.2 建模步驟和原則,1.3 建模方法,第一部分 數(shù)學(xué)模型,第1章 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法,對(duì)于一個(gè)客觀實(shí)際，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其本身屬性及內(nèi)在規(guī)律，作出必要的抽象、簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)、程序及圖表等），得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,基本概念,2,1,現(xiàn) 實(shí) 世 界,數(shù) 學(xué) 世 界,建立數(shù)學(xué)模型,翻譯為實(shí)際解答,始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界,1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),2,數(shù)學(xué)模型分類,2,按照建立模型數(shù)學(xué)方法,初等模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、最優(yōu)控制模型、隨機(jī)模型、模

2、擬模型等。,初等模型-為采用簡(jiǎn)單而且初等的方法建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。 微分方程模型-指的是在所研究的現(xiàn)象或過(guò)程中取一局部或一瞬間，然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),按照對(duì)實(shí)體的認(rèn)識(shí)過(guò)程,描述性模型、解釋性數(shù)學(xué)模型。,描述性模型從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 解釋性模型由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)殼體，對(duì)公理系統(tǒng)給出正確解釋。,1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域,人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型等。,按照模型的特征,靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模

3、型、確定性模型和隨機(jī)、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。,按照模型的了解程度,白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。,數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問(wèn)題。 材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作到作為當(dāng)代重要科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學(xué)這一有效工具，可以深刻認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。（材料設(shè)計(jì)，生產(chǎn)過(guò)程（極端條件，納米槍）,1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),2,數(shù)學(xué)模型的作用,3,3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模,模型準(zhǔn)備,模型假設(shè),模型構(gòu)成,模型求解,

4、模型分析,模型檢驗(yàn),模型應(yīng)用,模 型 準(zhǔn) 備,了解實(shí)際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對(duì)象特征,形成一個(gè) 比較清晰 的問(wèn)題,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模,建模一般步驟 ：,模 型 假 設(shè),目的性原則、簡(jiǎn)明性原則、 真實(shí)性原則、全面性原則,在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)。,模型 分析,如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì) 數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。,模型 檢驗(yàn),與實(shí)際現(xiàn)象

5、、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮?理性、適用性。,模型應(yīng)用,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模,建模的全過(guò)程,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗(yàn)證,根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答,將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象,用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答,實(shí)踐,現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)世界,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算 目前，人們對(duì)殘余應(yīng)力的測(cè)試一般采用的是一種破壞 性的測(cè)試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強(qiáng)化技術(shù) 在工程中的應(yīng)

6、用，造成大量人力物力的浪費(fèi)，增加了生產(chǎn)的 成本，限制了人們對(duì)被加工性能的有效控制。 激光沖擊的基本力學(xué)模型： . 假設(shè)： 1) 假設(shè)在微秒時(shí)間內(nèi)結(jié)構(gòu)在厚度方向 上所有質(zhì)量都受到波及，而結(jié)構(gòu)塑性動(dòng) 力響應(yīng)通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長(zhǎng)時(shí)間 才會(huì)達(dá)到結(jié)構(gòu)的最大形變； 2) 假設(shè)被沖擊的工件材料為理想的剛塑 性材料；3) 激光沖擊壓力為GPa;,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積 元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應(yīng)力 和應(yīng)變的關(guān)系，為保持x的單軸應(yīng)變條件而假設(shè)y= z,形變 側(cè)面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈

7、性變形恢復(fù)不完全，導(dǎo)致了殘余應(yīng)力的產(chǎn)生。,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有： x-y|b 在彈性范圍內(nèi)， 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：,x=+2x,y=+2y,z=+2z,式中： x yz，因?yàn)槭菃屋S變形，側(cè)面受到介質(zhì)約束， x（V0-V)/V, y =z=0,V是體積， 2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。,(1),1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變?cè)隽渴菑椥院退苄栽隽恐汀?因而在X方向有： dx=dxe+dxp,因?yàn)椴淮嬖谒苄耘蛎?，所以?dxp dyp +dzp =0,微元體中的殘余應(yīng)力是彈性和塑性應(yīng)變引起的，,dx=d+2(d

8、xe+dxp),dy=d+2（dye+dyp）,dz=d+2(dze+dzp）,(2),1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的y，z方向上由彈性應(yīng)力引起的彈性變形難以完全恢復(fù)，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應(yīng)力，于是可得簡(jiǎn)單算式： y=,1-,x,實(shí)際上x是隨沖擊應(yīng)力波的衰減而變化，故殘余應(yīng)力y也是隨x的變化而變化，設(shè)：,x e-x,有x=maxe-bx,(3),(4),其中b為參量；,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,在玻璃(K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為： Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3,如果有max=pmax代入公式(

9、),顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余應(yīng)力的情形。令x=0，取Pmax2.8GPa，0.29，則b不論取何值，y=-1.12GPa，這顯然與實(shí)際測(cè)量值y=-400MPa相去甚遠(yuǎn)，因此必須對(duì)式（）加以修正。首先，由彈性力學(xué)原理可知：E. 因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關(guān)系較大，材料受到相同外力作用時(shí)，彈性模量大的材料，彈塑性形變??；因此有：yE(6),1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,其次，由沖擊動(dòng)力學(xué)原理可知，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)，材料本身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對(duì)材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對(duì)材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力深度就淺

10、。 因此有：ye-bx/E (7) 結(jié)合() () () (),然而此時(shí)，還需使公式()滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與實(shí)際殘余應(yīng)力值相差太遠(yuǎn)的問(wèn)題，因此還必須在公式()中加入一個(gè)系數(shù)K,即：,利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對(duì)式（9)進(jìn)行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1; b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強(qiáng)化殘余應(yīng)力的一般估算經(jīng)驗(yàn)公式： x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108 x/E y=2.3x10-6 Pmaxe-2.16x108 x/E,1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則,2,1,應(yīng)用自然科學(xué)中已被證明是正確的

11、理論、原理和定律，對(duì)被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,Eg. 在滲碳工藝過(guò)程中通過(guò)平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢(shì)之間的理論關(guān)系式。,1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法,理論分析法,結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解都相當(dāng)困難。如構(gòu)造出結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，可以把后一種模型看成是原來(lái)模型的模擬。,Eg. 鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，采用環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；借助實(shí)驗(yàn)光測(cè)力學(xué)的手段來(lái)完成分析。,2,2,模擬方法,2,類比分析法,3,若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，則此兩

12、個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其它屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。,Eg.在聚合物的結(jié)晶過(guò)程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過(guò)程（即推導(dǎo)Avrami方程）。 聚合物的結(jié)晶過(guò)程包括成核和晶體生長(zhǎng)兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過(guò)水波擴(kuò)散模型來(lái)推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。,1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法,2,數(shù)據(jù)分析法,4,若在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律，描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，回歸分析是處理這類

13、問(wèn)題的有利工具。,Eg.經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn)s 與晶粒直徑d對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1-3中的數(shù)據(jù)所示，用最小二乘法建立起d與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（即霍爾-配奇Hall-Petch公式）。,1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法,2,數(shù)據(jù)分析法,4,按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求 最小值的條件是,低碳鋼屈服極限與晶粒直徑,以d-1/2作為x，s作為y，取y=a+by，為一直線。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)為（Xi，Yi），一般來(lái)說(shuō)，直線并不通過(guò)其中任一實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此，每點(diǎn)均有偶然誤差ei，ei=(a+bXi)-Yi,1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法,1. 有限差分法,2. 有限元法,第二部分 數(shù)值分析方

14、法,第1章 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法,2.1 有限差分法,2,概述,1,有限差分方法使是以有限差分代替無(wú)限微分、以差分代數(shù)方程代替微分方程、以數(shù)值計(jì)算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過(guò)程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。,主要步驟： 1）構(gòu)成差分格式。首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長(zhǎng)；其次，以有限差分代替無(wú)限微分。 2）求解差分方程。精確法，又稱直接法，即消元法；近似法，又稱間接法，即迭代法。 3）對(duì)所得的數(shù)值解進(jìn)行精度與收斂性分析和檢驗(yàn)。,2,差分方程的建立,2,2.1 有限差分法,1. 合理選擇網(wǎng)格布局及步長(zhǎng) 將求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)變化的自變量離散化，形成離散化網(wǎng)格。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，

15、區(qū)域內(nèi)函數(shù)被離散化。將離散化后各相鄰離散點(diǎn)之間的距離，或離散化單元的長(zhǎng)度稱為步長(zhǎng)。,2. 將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程 差分 某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三種。 差商 差商為函數(shù)的差分與自變量差分之比。,2,差分方程的求解方法,3,2.1 有限差分法,直接法： 矩陣法、Gauss消元法、主元素消元法 間接法： Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法,2.2 有限元法,有限元法的要點(diǎn)： 將一個(gè)表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個(gè)子域（單元），并通過(guò)他們邊界上的結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成為組合體。 用每個(gè)單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場(chǎng)變量。

16、通過(guò)和原問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量(場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值)的代數(shù)方程組或常微分方程組。,有限元分析的基本思想: 把連續(xù)的幾何結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元的集合體，并在每一個(gè)單元中設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體；同時(shí)選定場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)以表示單元中場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律，再建立用于求解節(jié)點(diǎn)未知量的有限元方程組，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無(wú)限自由度問(wèn)題化為離散域中的有限自由度問(wèn)題，求解得到節(jié)點(diǎn)值后就可以通過(guò)設(shè)定的插值函數(shù)確定單元上以致整個(gè)集合體上的場(chǎng)函數(shù)。運(yùn)用有限元法可以模擬和逼近復(fù)雜的求

17、解域。,2.2 有限元法,ANSYS有限元分析的典型步驟： 1）利用前處理模塊，建立有限元模型，包括（1）定義單元類型，（3）定義實(shí)常數(shù)，（4）定義材料屬性，（5）建立幾何模型，（6）對(duì)幾何模型劃分網(wǎng)格；2）利用求解模塊進(jìn)行加載和計(jì)算；3）利用后處理模塊查看結(jié)果，對(duì)結(jié)果圖形顯示和輸出。,2.2 有限元法,2,有限元法的基本概念-直接剛度法,1,2.2 有限元法,通過(guò)一個(gè)例子來(lái)介紹直接剛度法，說(shuō)明有限元法求解的一般步驟。 例：考慮一個(gè)變截面桿，如圖示。桿的一端固定，另一端承受P=1000N的載荷，桿的頂部寬w1=2cm，桿的底部寬w2=1cm，桿的厚度t=0.125cm，長(zhǎng)度L=10cm，桿的彈

18、性模量E=10.4105MPa。試分析該桿沿長(zhǎng)度方向不同位置的變形情況，質(zhì)量忽略不計(jì)。 1. 前處理過(guò)程 (1)求解區(qū)域離散化,將求解的問(wèn)題分解為結(jié)點(diǎn)和單元,3.2 數(shù)學(xué)建模軟件簡(jiǎn)介,2.2 有限元法,(2) 建立單元位移方程 先考慮一截均一長(zhǎng)度為l、截面為A的固體單元受外力F的變形情況。 以彈簧的變形來(lái)模擬固體單元的變形，等價(jià)剛度為： keq=AE/l,前面問(wèn)題可近似將桿模型化為不同截面的等截面桿的串聯(lián)。桿在頂端固定，靜態(tài)平衡時(shí)，可獲得如下方程：,2.2 有限元法,(3) 建立單元?jiǎng)偠确匠?每個(gè)單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)可建立兩個(gè)方程。方程包含結(jié)點(diǎn)位移和單元的剛度。結(jié)點(diǎn)i和i+1處可有方程：,

19、(4) 單元集成 將上式用于所有單元，進(jìn)行集成，得到總體剛度矩陣：,(5) 施加邊界條件和載荷,2. 求解階段 3. 后處理階段,(一) 加權(quán)余量法 工程或物理學(xué)中的許多問(wèn)題，通常是以未知場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來(lái)的，可以一般地表示為未知函數(shù)u應(yīng)滿足微分方程組：,2.2 有限元法,2,有限元法的基本理論,2,域可以是體積域，面積域等，如圖示，同時(shí)未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件：,是域的邊界,(2-1),(2-2),2.2 有限元法,要求解得未知函數(shù)u可以是標(biāo)量場(chǎng)（如溫度場(chǎng)），也可是幾個(gè)變量組成的向量場(chǎng)（如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）。A、B是對(duì)于獨(dú)立變量的微分算子。微分方程組是（2-1）

20、在域中每一點(diǎn)都必須為零，因此：,(2-3),其中,V是函數(shù)向量，它是和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。,同理，假如邊界條件式（2-2）也同時(shí)在邊界上的每一點(diǎn)都得到滿足，對(duì)于一組任意函數(shù)V應(yīng)有：,(2-4),因此若積分形式,對(duì)于所有的V和V都成立，式（2-5）稱為微分方程的等效積分形式。,(2-5),2.2 有限元法,對(duì)于微分方程式（2-1）和邊界條件式（2-2）所表達(dá)的物理問(wèn)題，未知函數(shù)u可以用近似函數(shù)來(lái)表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是：,(2-6),式中，ai是待定參數(shù)，Ni是稱為試探函數(shù)的已知函數(shù)。 在式（2-5）中，用n個(gè)規(guī)定函數(shù)來(lái)代替任意函數(shù)V和V，即：,(2-7),可以得到近似的等效積分形式：,權(quán)函數(shù),采用使余量的加權(quán)積分為零的方法來(lái)求微分方程的近似解的方法稱為加權(quán)余量法。,(2-8),2.2 有限元法,按照對(duì)權(quán)函數(shù)的不同選擇，加權(quán)余量法分為以下幾種：