《優(yōu)化設(shè)計(jì)》PPT課件.ppt

1、第2章 優(yōu)化設(shè)計(jì), Optimal Design,優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的重要內(nèi)容之一。它是以數(shù)學(xué)規(guī)劃論為理論基礎(chǔ)，以電子計(jì)算機(jī)為工具，在充分考慮多種設(shè)計(jì)約束的前提下，尋求滿足某項(xiàng)預(yù)定目標(biāo)的最佳設(shè)計(jì)方案的一種設(shè)計(jì)方法。 本章主要介紹了如下幾方面內(nèi)容：,內(nèi)容簡(jiǎn)介, 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念及數(shù)學(xué)模型的建立； 常用的一維優(yōu)化方法； 多維無約束優(yōu)化方法； 約束優(yōu)化方法； 多目標(biāo)優(yōu)化方法； 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般步驟及設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例。,2.1 概述,2.1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)基本概念,優(yōu)化設(shè)計(jì)（Optimal Design）是20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。它是將最優(yōu)化原理和計(jì)算機(jī)技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為工程

2、設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法。 利用這一設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)者就可從眾多的設(shè)計(jì)方案中尋找出最佳設(shè)計(jì)方案，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，因此優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域和各種產(chǎn)品設(shè)計(jì)中。,所謂優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是在規(guī)定的設(shè)計(jì)限制條件下，運(yùn)用最優(yōu)化原理和方法將實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，然后以計(jì)算機(jī)為工具進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，在全部可行設(shè)計(jì)方案中，尋求滿足預(yù)定設(shè)計(jì)目標(biāo)的最佳設(shè)計(jì)方案。 進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)： 首先必須將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成一組由數(shù)學(xué)表達(dá)式組成的數(shù)學(xué)模型； 然后選擇一種最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)程序，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行尋優(yōu)運(yùn)算求解，得到一組最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)

3、。 這組設(shè)計(jì)參數(shù)就是設(shè)計(jì)的最優(yōu)解。,與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法不同，優(yōu)化設(shè)計(jì)過程一般分為如下四步： （）設(shè)計(jì)課題分析：通過對(duì)設(shè)計(jì)課題的分析，提出設(shè)計(jì)目標(biāo)，它可以是單項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，也可以是多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的組合。 從技術(shù)經(jīng)濟(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)而言，機(jī)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能、體積、重量、效率、成本、可靠性等都可以作為設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)。 然后分析設(shè)計(jì)應(yīng)滿足的要求，主要的有：某些參數(shù)的取值范圍；某種設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)按設(shè)計(jì)規(guī)范推導(dǎo)出的技術(shù)性能；還有工藝條件對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的限制等。 （）建立數(shù)學(xué)模型：將工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題用數(shù)學(xué)方程式的形式予以全面地、準(zhǔn)確地描述，即建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。,（）選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法：根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)方程式的

4、性質(zhì)、設(shè)計(jì)精度的要求等選用合適的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并做出相應(yīng)的程序設(shè)計(jì)。 （）上機(jī)電算求解：將所編程序及有關(guān)數(shù)據(jù)上機(jī)運(yùn)算，自動(dòng)得出最優(yōu)值。然后對(duì)計(jì)算結(jié)果做出分析和判斷，則得出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 上述優(yōu)化設(shè)計(jì)過程的四步其核心是進(jìn)行如下兩項(xiàng)工作： 一是分析設(shè)計(jì)任務(wù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問題，即建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型； 二是選用適用的優(yōu)化方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型，尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。,下面通過三個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，說明優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的一般形式及其有關(guān)概念。,2.1.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,例2-1 如圖2-1所示，有一圓形等截面的銷軸，一端固定，一端作用著集中載荷F=10000N和轉(zhuǎn)矩T=100NM。

5、由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長(zhǎng)度l不得小于8cm，已知銷軸材料的許用彎曲應(yīng)力w=120MPa，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力=80MPa ，允許撓度f=0.01cm，密度=7.8t/m3，彈性模量E=2105MPa。 現(xiàn)要求在滿足使用要求的條件下，試設(shè)計(jì)一個(gè)用料最?。ㄤN軸質(zhì)量最輕）的方案。,圖2-1 圓形等截面的銷軸,解：根據(jù)上述問題，該銷軸的力學(xué)模型是一個(gè)懸臂梁。設(shè)銷軸直徑為d ，長(zhǎng)度為l，體積為V，則該問題的物理表達(dá)式如下：,可見銷軸用料取決于其直徑d 和長(zhǎng)度l。這是一個(gè)合理選擇d 和l而使體積V 最小的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。,(2) 滿足的條件： 強(qiáng)度條件：,彎曲強(qiáng)度表達(dá)式,扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度表達(dá)式,剛度條件：,撓度表達(dá)式,(1)

6、 銷軸用料最?。大w積最?。?結(jié)構(gòu)尺寸邊界條件：,將題意的有關(guān)已知數(shù)值代入，按優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的規(guī)范形式，可歸納為如下數(shù)學(xué)模型：,設(shè)：,設(shè)計(jì)變量：,目標(biāo)函數(shù)的極小化：,約束條件：,綜上所述，這是一個(gè)具有4個(gè)約束條件的二元非線性的約束優(yōu)化問題。,例2-2 現(xiàn)用薄鋼板制造一體積為5，長(zhǎng)度不小于4m的無上蓋的立方體貨箱。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、寬和高的尺寸。,解：分析可知，鋼板的耗費(fèi)量與貨箱的表面積成正比。 設(shè)貨箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，貨箱的表面積為S，則該問題的物理表達(dá)式為：,(1) 貨箱的鋼板耗費(fèi)量（即貨箱的表面積用料）最少：,可見貨箱的表面積取決于貨箱的長(zhǎng)度、寬度和高度 。,(

7、2) 滿足的條件：,按優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的規(guī)范形式，可歸納為如下數(shù)學(xué)模型：,設(shè)計(jì)變量：,目標(biāo)函數(shù)的極小化：,約束條件：,由等式約束條件可知，三個(gè)設(shè)計(jì)變量中只有兩個(gè)是獨(dú)立變量，即 。所以，該問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)寫為：,設(shè)計(jì)變量：,目標(biāo)函數(shù)的極小化：,約束條件：,這樣，使該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型更為準(zhǔn)確、精煉。,例2-3某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材料9kg、3個(gè)工時(shí)、4kw電，可獲利潤(rùn)60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料4kg、10個(gè)工時(shí)、5kw電，可獲利120元。若每天能供應(yīng)材料360kg，有300個(gè)工時(shí)，能供200kw電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤(rùn)最大。,每天實(shí)際

8、消耗的材料、工時(shí)和電力可分別用以下約束函數(shù)表示：,解：這是一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項(xiàng)生產(chǎn)條件，又使每天所能獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。,設(shè)每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 件，每天獲得的利潤(rùn)可用函數(shù) 表示，即,于是上述生產(chǎn)計(jì)劃問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)寫為：,設(shè)計(jì)變量：,目標(biāo)函數(shù)的極小化：,約束條件：,（工時(shí)約束）,（電力約束）,（材料約束）,由于目標(biāo)函數(shù)和所有約束函數(shù)均為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，故此優(yōu)化問題屬線性約束優(yōu)化問題。,【例2-1】,欲用薄鋼板制造一體積為6m3，高度為1m，長(zhǎng)度不小于3m的無蓋貨箱(如圖2-1所示)，試確定貨箱的長(zhǎng)x1和寬x2，使耗費(fèi)的鋼板最少。,圖2-1 貨箱

9、,【例2-2】,試設(shè)計(jì)一重量最輕的空心傳動(dòng)軸。空心傳動(dòng)軸的軸橫截面形狀如圖2-2所示，圖中D、d分別為軸的外徑和內(nèi)徑。軸的長(zhǎng)度不得小于3m。軸的材料為45鋼，密度為7.810-6kg/mm3，彈性模量E=2105MPa，許用切應(yīng)力=60MPa。軸所受扭矩為M=1.5106Nmm。,圖2-2 空心傳動(dòng)軸 的軸橫截面形狀,【例2-3】,某廠因生產(chǎn)需要，欲購進(jìn)五種配件，其個(gè)數(shù)分別為x1、x2、x3、x4、x5。每種配件的單價(jià)分別為60元、80元、85元、100元、120元。要求x1不少于20個(gè)，x3不少于40個(gè)，其余每種配件不少于30個(gè)，x1、x2之和不少于80個(gè)，x3、x4之和不少于200個(gè)，x1

10、、x3、x4、x5之和不少于400個(gè)。問每種配件為多少個(gè)，配件總的進(jìn)價(jià)才最低。 影響總進(jìn)價(jià)的因素是每種配件的個(gè)數(shù)。本例是要求一組參數(shù)x1、x2、x3、x4、x5 ，這組參數(shù)應(yīng)在滿足一定的條件下，使所有配件的總進(jìn)價(jià)最低。,【例2-4】,制造一批設(shè)備，需用毛坯長(zhǎng)度分別為2.5m，1.5m和1.3m的同型號(hào)槽鋼各120根、240根和300根。這些不同長(zhǎng)度的槽鋼都將用長(zhǎng)度為6m的槽鋼截得。問如何下料用料最省。 本例中，下料的方案有若干個(gè)，要求找出其中最佳的方案，該方案應(yīng)在滿足設(shè)備所需不同規(guī)格槽鋼根數(shù)的條件下，使用料最省。,【例2-5】,圖2-3為一圓彈簧絲的螺旋扭轉(zhuǎn)彈簧。已知，彈簧在垂直于其軸線的平面

11、內(nèi)受到一個(gè)扭矩T作用，所產(chǎn)生的變形即扭角為，彈簧的許用彎曲應(yīng)力為b，彈性模量為E。彈簧的結(jié)構(gòu)尺寸要求為：鋼絲直徑dminddmax，外徑DminDDmax，彈簧圈數(shù)nn1，旋繞比4C8。試設(shè)計(jì)該彈簧，要求其重量最輕。,圖2-3 螺旋扭轉(zhuǎn)彈簧的受力分析,【例2-6】,試設(shè)計(jì)一閉式直齒圓錐齒輪傳動(dòng)。已知：小錐齒輪懸臂支承，大錐齒輪兩端支承，軸交角=90，小錐齒輪傳遞扭矩T1=40Nm，轉(zhuǎn)速n1=960r/rnin，齒數(shù)比u=3，精度等級(jí)為7級(jí)，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，工作機(jī)載荷穩(wěn)定，兩班制工作，使用期限為8年。小錐齒輪選用40Cr，調(diào)質(zhì)處理，硬度為241286HB，大錐齒輪選用42SiMn，調(diào)質(zhì)處理，硬度為2

12、17255HB。要求所設(shè)計(jì)的圓錐齒輪傳動(dòng)體積小。,【例2-7】,某一帶式運(yùn)輸機(jī)中的第一級(jí)采用普通V帶傳動(dòng)。已知?jiǎng)恿C(jī)為Y系列三相異步電動(dòng)機(jī)，其額定功率P=7.5kW，轉(zhuǎn)速n1=1440r/min，從動(dòng)帶輪的轉(zhuǎn)速n2=630r/min，允許誤差為5%，兩班制工作，運(yùn)輸裝置工作時(shí)有輕度沖擊。試設(shè)計(jì)此帶傳動(dòng)，要求帶傳動(dòng)的輪廓尺寸最小。,【例2-7】 (續(xù)),帶傳動(dòng)的設(shè)計(jì)參數(shù)主要有帶的型號(hào)、帶的根數(shù)z、小帶輪直徑D1、大帶輪直徑D2、帶的長(zhǎng)度L、中心距a、小帶輪包角1、帶的張緊力F0以及作用在軸上的載荷FQ。由于參數(shù)D2、a、1、F0、FQ可由參數(shù)傳動(dòng)比i(i=n1/n2= D2/D1)、D1、L、z

13、通過有關(guān)公式確定，所以本例的獨(dú)立設(shè)計(jì)參數(shù)只有帶的型號(hào)、D1、L、z。 本例是要通過優(yōu)選帶的型號(hào)、D1、L、z這組參數(shù)得到具有最小輪廓且滿足V帶根數(shù)、小帶輪包角等限制條件的帶傳動(dòng)。,【例2-8】,右圖所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成，其頂點(diǎn)受外力2F=3105N。人字架的跨度2B=152cm，鋼管壁厚T=0.25cm，鋼管材料的彈性模量E=2.1105Mpa，材料密度=7.8 103Kg/m3，許用壓應(yīng)力 y= 420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力不超過許用壓應(yīng)力y和失穩(wěn)臨界應(yīng)力e的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。,圖2- 人字架的受力,人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為：,使結(jié)構(gòu)質(zhì)量,但

14、應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件,穩(wěn)定約束條件,鋼管所受的壓力,失穩(wěn)的臨界力,鋼管所受的壓應(yīng)力,鋼管的臨界應(yīng)力,強(qiáng)度約束條件,可以寫成,穩(wěn)定約束條件,可以寫成,人字架的總質(zhì)量,這個(gè)優(yōu)化問題是以D和h為設(shè)計(jì)變量的二維問題，且只有兩個(gè)約束條件，可以用解析法求解。,除了解析法外，還可以采用作圖法求解。,圖2- 人字架優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解,從以上三個(gè)實(shí)例可以看出，優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型需要用設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件等基本概念才能予以完整的描述，可以寫成以下統(tǒng)一形式：,求設(shè)計(jì)變量：,(2-1),使極小化函數(shù)：,(2-2),滿足約束條件：,其中，稱為不等式約束條件，稱為等式約束條件。,若用向量表示設(shè)計(jì)變量， 表示向量X 屬于

15、n 維實(shí)歐氏空間； 用min、max表示極小化和極大化， s.t.（subjected to的英文縮寫）表示“滿足于”， m、p分別表示不等式約束和等式約束的個(gè)數(shù)。 則優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以寫成以下向量形式：,(2-3),上式就是優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式。這一優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，稱為約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。,(2-4),這一優(yōu)化問題不受任何約束，稱為無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。式（2-4）即為無約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式。,若上式所列數(shù)學(xué)模型內(nèi) m = p = 0，則成為,當(dāng)涉及問題要求極大化目標(biāo)函數(shù)時(shí)，只要將式中目標(biāo)函數(shù)改寫為即可。因?yàn)楹途哂邢嗤慕狻?同樣，當(dāng)不等式約束為：“”時(shí)，只要將不等式兩端同乘以“1”，即

16、可得到“”的一般形式。,一個(gè)完整的規(guī)格化的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)包含有三部分內(nèi)容：即設(shè)計(jì)變量X、目標(biāo)函數(shù)、約束條件和。它們又稱為優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的三要素。,建立出的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，在計(jì)算機(jī)上求得的解稱為優(yōu)化問題的最優(yōu)解，它包括：,最優(yōu)方案：,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：,即優(yōu)化問題的最優(yōu)解由最優(yōu)設(shè)計(jì)方案X*（或稱最優(yōu)點(diǎn)）和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值兩部分組成。最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值是最優(yōu)點(diǎn)X*帶入目標(biāo)函數(shù)所求得的最優(yōu)函數(shù)值，它是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度的一個(gè)標(biāo)量值。,下面就優(yōu)化數(shù)學(xué)模型三要素的有關(guān)問題說明如下:,在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中需要調(diào)整和優(yōu)選的參數(shù)，稱為設(shè)計(jì)變量。可表示為：,由于實(shí)際工程設(shè)計(jì)對(duì)象的不同，則選取的設(shè)計(jì)變量也就不同。 它可以是幾何

17、參數(shù)：如零件外形尺寸、截面尺寸、機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)尺寸等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、體積、力與力矩、慣性矩等；還可以是代表機(jī)器工作性能的導(dǎo)出量：如應(yīng)力、變形等。 總之，設(shè)計(jì)變量必須是對(duì)該項(xiàng)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)優(yōu)劣有影響的參數(shù)。,設(shè)計(jì)變量是一組相互獨(dú)立的基本參數(shù)。一般用向量X 來表示。 設(shè)計(jì)變量的每一個(gè)分量都是相互獨(dú)立的。 以n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的實(shí)數(shù)空間稱為設(shè)計(jì)空間，或稱n維實(shí)歐式空間，用Rn表示。,1. 設(shè)計(jì)變量,當(dāng) n=2 時(shí)，X=x1,x2T 是二維設(shè)計(jì)向量； 當(dāng) n=3 時(shí)，X=x1,x2, x3T 為三維設(shè)計(jì)向量，設(shè)計(jì)變量x1,x2, x3組成一個(gè)三維空間； 當(dāng) n3 時(shí)，設(shè)計(jì)空間是

18、一個(gè)想象的超越空間，稱n維實(shí)數(shù)空間。其中二維和三維設(shè)計(jì)空間如圖2-2所示。,圖2-2設(shè)計(jì)空間,(a),(b),設(shè)計(jì)變量可分為連續(xù)變量和離散變量。 在工程設(shè)計(jì)中，當(dāng)有些設(shè)計(jì)變量的取值要求是離散型量，則稱離散設(shè)計(jì)變量，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)，鋼管的直徑、鋼板的厚度等。 對(duì)于離散設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中常是先把它視為連續(xù)量，在求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，稱為自由度（維數(shù)），它決定了優(yōu)化問題的大小范圍，當(dāng)： n210 為小型優(yōu)化問題 ； n1050 為中型優(yōu)化問題； n 50 為大型優(yōu)化問題。,2. 目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)是用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的

19、標(biāo)準(zhǔn)，又稱評(píng)價(jià)函數(shù)。它是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，常記為,確定目標(biāo)函數(shù)，是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最重要的決策之一。因?yàn)檫@不僅直接影響優(yōu)化方案的質(zhì)量，而且還影響到優(yōu)化過程。 目標(biāo)函數(shù)可以根據(jù)工程問題的要求從不同角度來建立，例如：機(jī)械零件設(shè)計(jì)中的重量、體積、效率、可靠性、幾何尺寸、承載能力；機(jī)械設(shè)計(jì)中的運(yùn)動(dòng)誤差、功率、應(yīng)力、動(dòng)力特性；產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的成本、壽命等。,優(yōu)化設(shè)計(jì)就是要尋求一個(gè)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，即最優(yōu)點(diǎn)X*，從而使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般取最優(yōu)值為目標(biāo)函數(shù)的最小值。 一個(gè)優(yōu)化問題，可以用一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來衡量，稱之為單目標(biāo)優(yōu)化問題；也可以用多個(gè)目標(biāo)函數(shù)來衡量，稱之為多目標(biāo)優(yōu)化問題。,如圖2-3所示，當(dāng)目標(biāo)函

20、數(shù) f(x)等于某一值時(shí)，就可得到一條等值線，它是在設(shè)計(jì)平面上由 f (x)Ci 的無數(shù)個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)X 所連成，當(dāng) f(x) 為不等的函數(shù)值時(shí)，可以得到一族等值線。,目標(biāo)函數(shù)可以通過等值線（面）在設(shè)計(jì)空間中表現(xiàn)出來。,現(xiàn)以二維優(yōu)化問題為例，來說明目標(biāo)函數(shù)的等值線(面)的幾何意義。,圖2-3二維目標(biāo)函數(shù)的等值線,ci(i=1,2,),由于每一條曲線上的各點(diǎn)都具有相等的目標(biāo)函數(shù)值，所以這些曲線稱為目標(biāo)函數(shù)的等值線。,所謂目標(biāo)函數(shù)的等值線（面），就是當(dāng)目標(biāo)函數(shù) f(X) 的值依次等于一系列常數(shù) ( i=1, 2, )時(shí)，設(shè)計(jì)變量X 取得一系列值的集合。,對(duì)于一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來說，它可以有無窮多條的等值線。可

21、以說等值線充滿了設(shè)計(jì)空間。 由圖可見，等值線族反映了目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律，等值線越向里面，目標(biāo)函數(shù)值越小。 對(duì)于有中心的曲線族來說，等值線族的共同中心就是目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)X*。故從幾何意義上來說，求目標(biāo)函數(shù)無約束極小點(diǎn)也就是求其等值線族的共同中心。,等值線有以下幾個(gè)特點(diǎn)： (1) 不同值的等值線不相交； (2) 除極值點(diǎn)外，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，等值線不會(huì)中斷； (3) 等值線充滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間； (4) 等值線分布的疏或密，反應(yīng)出函數(shù)值變化的慢或快 ； (5) 一般來說，在極值點(diǎn)附近，等值線近似是同心橢圓族，極值點(diǎn)就是橢圓的中心點(diǎn)。 在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值相等點(diǎn)的連線： 對(duì)于二維優(yōu)化問題，構(gòu)成

22、了等值線； 對(duì)于三維優(yōu)化問題，構(gòu)成了等值面； 對(duì)于四維以上的優(yōu)化問題，則構(gòu)成了等值超曲面。,3. 約束條件,約束條件是設(shè)計(jì)變量選取的限制條件，或稱設(shè)計(jì)約束。 按照約束條件的形式不同，約束有不等式和等式約束兩類，一般表達(dá)式為：,不等式約束,等式約束,按照設(shè)計(jì)約束的性質(zhì)不同，約束又可分為如下兩類： （）性能約束：是根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而確定的一種約束條件，例如零件的工作應(yīng)力、變形的限制條件以及對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如位移、速度、加速度值的限制條件均屬性能約束。 （）邊界約束：則是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制，例如對(duì)齒輪的模數(shù)、齒數(shù)的上、下限的限制以及對(duì)構(gòu)件長(zhǎng)度尺寸的限制都是邊界約束。,任何一個(gè)不等式約束方程的

23、圖形將設(shè)計(jì)空間劃分為兩部分： 一部分滿足約束，即 gj(X)0； 另一部分則不滿足約束，即 gj(X)0。 故將該分界線或分界面稱為約束邊界（或約束面）。 等式約束本身也是約束邊界，不過此時(shí)只有約束邊界上的點(diǎn)滿足約束，而邊界兩邊的所有部分都不滿足約束。 以二維問題為例，如圖2-4所示，其中陰影方向部分表示不滿足約束的區(qū)域。,圖2-4約束邊界,(2-5),圖2-5二維問題的可行域,不滿足約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成該優(yōu)化問題的不可行域。 可行域也可看做滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合，因此，可用集合表示如下：,約束的幾何意義是它將設(shè)計(jì)空間一分為二，形成了可行域和非可行域。,每一個(gè)不等式約束或等式約束都將設(shè)

24、計(jì)空間分為兩部分，滿足所有約束的部分形成一個(gè)交集，該交集稱為此約束問題的可行域，記做 D，見圖2-5。,綜上所述，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述和概括，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。因此，根據(jù)設(shè)計(jì)問題的具體要求和條件建立完備的數(shù)學(xué)模型是關(guān)系優(yōu)化設(shè)計(jì)成敗的關(guān)鍵。 這是因?yàn)閮?yōu)化問題的計(jì)算求解完全是圍繞數(shù)學(xué)模型進(jìn)行的。也就是說，優(yōu)化計(jì)算所得的最優(yōu)解實(shí)際上只是數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解。此解是否滿足實(shí)際問題的要求，是否就是實(shí)際問題的最優(yōu)解，完全取決于數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問題的符合程度。 建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)重要而復(fù)雜的工作： 一方面希望建立一個(gè)盡可能完善的數(shù)學(xué)模型，以求精確地表達(dá)實(shí)際問題，得到滿意的結(jié)果； 另一方面又力

25、求使所建立的數(shù)學(xué)模型盡可能簡(jiǎn)單，以便于計(jì)算與求解。,前者是指總體布局、結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的類型以及幾何形式的優(yōu)化設(shè)計(jì)；后者是在總體方案選定后，對(duì)具體設(shè)計(jì)參數(shù)（幾何參數(shù)、性能參數(shù)等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)。 總體方案設(shè)計(jì)是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，必須依靠思考與推理，綜合運(yùn)用多學(xué)科的專門知識(shí)和豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，才能獲得正確、合理的設(shè)計(jì)。因此，總體方案優(yōu)化其大量工作是依據(jù)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行演繹和推理，可用人工智能方法（特別是專家系統(tǒng)技術(shù)）適宜于求解這類問題。 設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化是擇優(yōu)確定具體的設(shè)計(jì)參數(shù)，屬于數(shù)值計(jì)算型工作，比較容易總結(jié)出可供計(jì)算分析用的數(shù)學(xué)模型，因而一般采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法來求解。本章主要介紹設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題。,工程設(shè)計(jì)的類型

26、很多，總的來說，它可以分為兩個(gè)層次：,2.1.3 優(yōu)化問題的分類, 總體方案優(yōu)化； 設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化。 這兩者之間有著密切的聯(lián)系，但也存在著實(shí)質(zhì)性的區(qū)別。,根據(jù)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是否含有設(shè)計(jì)約束，可將工程優(yōu)化問題分為：,工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中的絕大多數(shù)問題都是約束優(yōu)化問題。,對(duì)于優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的求解，目前可采用的求解方法有三種：,數(shù)學(xué)解析法：就是把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來后，用數(shù)學(xué)解析法（如微分、變分法等）來求出最優(yōu)解，如高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極值或條件極值的方法。 數(shù)學(xué)解析法是優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。但它僅限于維數(shù)較少且易求導(dǎo)的優(yōu)化問題的求解。,數(shù)學(xué)解析法 圖解法 數(shù)值迭代法,圖解法：就是直接用作圖的方法

27、來求解優(yōu)化問題，通過畫出目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。 此法的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，但僅限于n2的低維優(yōu)化問題的求解。,2.1.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代算法,圖2-6 所示為采用圖解法來求解如下二維優(yōu)化問題：,min f(X) = x12+x224x1+4 s.t. g1(X) = x2x120 g2(X) = x12x2+10 g3(X) = x10 g4(X) = x20,該問題的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的立體圖如圖2-6(a)所示； 該問題的設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖如圖2-6(b)所示，陰影線部分即為由所有約束邊界圍成的可行域。 該問題的約束最優(yōu)點(diǎn)為圖中的X*點(diǎn)，即 X*=x1*, x2*T =0.58,

28、1.34 T； 約束最優(yōu)值為：,的最優(yōu)解的結(jié)果。,f(X*)=0.38。,(a)問題的立體圖 (b)設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖 圖2-6 二維優(yōu)化問題的幾何解,數(shù)值迭代法：完全是依賴于計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算特點(diǎn)而產(chǎn)生的，它是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反復(fù)迭代計(jì)算，逐步逼近優(yōu)化問題最優(yōu)解的一種方法。采用數(shù)值迭代法可以求解各種優(yōu)化問題。,1. 數(shù)值迭代法的迭代格式,數(shù)值迭代法的基本思想是：搜索、迭代、逼近。,為了求得目標(biāo)函數(shù) 的極小點(diǎn) ，其迭代過程如下： 在設(shè)計(jì)空間給出一初始迭代點(diǎn) ； 從 出發(fā)，按照確定的搜索方向 和迭代步長(zhǎng) ，求 得第一個(gè)改進(jìn)設(shè)計(jì)點(diǎn) ，它應(yīng)該滿足： ； 再以 為新的初始點(diǎn)，重復(fù)上述步驟，求得

29、，如 此反復(fù)迭代，從而得到一個(gè)不斷改進(jìn)的點(diǎn)列 及一相應(yīng) 的遞減函數(shù)值數(shù)列 。,這一迭代過程用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，得數(shù)值迭代法的基本迭代格式為：,式中：X(k)前一步已取得的設(shè)計(jì)方案（迭代點(diǎn)）； X(k+1)新的改進(jìn)設(shè)計(jì)方案（新的迭代點(diǎn)）； S(k)第k次迭代計(jì)算的搜索方向； (k) 第k次迭代計(jì)算的步長(zhǎng)因子。,（2-6）, 這樣一步步地重復(fù)數(shù)值計(jì)算，不斷用改進(jìn)的新點(diǎn)迭代前次設(shè) 計(jì)點(diǎn)，逐步改進(jìn) 值并使設(shè)計(jì)點(diǎn)最終逼近極小點(diǎn)（極值點(diǎn)） 。,這一迭代過程如圖2-7所示。,圖2-7二維優(yōu)化問題的迭代過程,在優(yōu)化算法中，關(guān)于迭代方法有多種，它們之間的區(qū)別就在于確定(k) 和S(k)的方式不同。特別是S(k)的確

30、定，在各種方法中起著關(guān)鍵性的作用。關(guān)于(k) 和S(k)的確定，將在后面各節(jié)中介紹。,通過以上分析及其圖2-7可知，要用數(shù)值迭代法尋找最優(yōu)點(diǎn)X*，這里關(guān)鍵要解決三個(gè)問題： 一是如何確定迭代步長(zhǎng)(k)； 二是怎樣選定搜索方向S(k)； 三是如何判斷是否找到了最優(yōu)點(diǎn)X* ，以終止迭代。,2.迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則,目前，通常采用的迭代終止準(zhǔn)則有以下幾種：,（）點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則,相鄰兩迭代點(diǎn)之間的距離已達(dá)到充分小，即,（2-7）,式中， 給定的計(jì)算精度，一般可取10-310-5。,（）函數(shù)值下降量足夠小準(zhǔn)則,相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù)值下降量已達(dá)到充分小，即,（2-8）,式中， 給定的計(jì)算精度，一般可取10-31

31、0-5 。,目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)的梯度已達(dá)到充分小，即,（）函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則,（2-9）,式中， 給定的計(jì)算精度，一般可取10-3。 這是由于函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值的模為零。因此當(dāng)?shù)c(diǎn)的函數(shù)梯度的模已充分小時(shí)，則認(rèn)為迭代可以終止。 上述三個(gè)準(zhǔn)則都可以單獨(dú)使用。只要其中一個(gè)得到滿足，就可以認(rèn)為達(dá)到了近似最優(yōu)解，迭代計(jì)算到此結(jié)束。 對(duì)于約束優(yōu)化問題，不同的優(yōu)化方法有各自的終止準(zhǔn)則，在此不再介紹。,已知一n元函數(shù)，則該函數(shù)在點(diǎn)處的梯度可記為：,2.2 優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(略),在介紹有關(guān)優(yōu)化算法時(shí)，常常要用到函數(shù)的梯度和海森(Hessian)矩陣的概念。這里簡(jiǎn)要介紹之。,1. 多

32、元函數(shù)的梯度,（2-19）,函數(shù)的梯度在優(yōu)化設(shè)計(jì)中有著十分重要的作用。 由于梯度是一個(gè)向量，而梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向。亦即梯度方向是指函數(shù)的最速上升方向，而負(fù)梯度方向則為函數(shù)的最速下降方向。如圖2-11所示。,圖2-11 梯度方向與等值線的關(guān)系,已知一n元函數(shù)，則該函數(shù)在點(diǎn)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣，稱為函數(shù)在點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣或海森(Hessian)矩陣，經(jīng)常記作。該二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的組成形式如下：,2. 多元函數(shù)的海森矩陣,(2-21),由于n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有nn個(gè)，而且偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)次序無關(guān)，所以函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣是一個(gè)nn階的對(duì)稱矩陣。,海森矩陣 在判別多元函數(shù)極值的充分

33、條件以及在牛頓法構(gòu)造牛頓搜索方向時(shí)都有重要用途。,2.3 一維優(yōu)化方法,求解一維目標(biāo)函數(shù)f(x)最優(yōu)解的過程，稱為一維優(yōu)化（或一維搜索），所使用的方法稱為一維優(yōu)化方法。 一維優(yōu)化方法是最簡(jiǎn)單、最基本的方法，在數(shù)值方法迭代計(jì)算過程中都要進(jìn)行一維搜索。 可以把多維優(yōu)化問題化為一些一維問題來處理。 求解優(yōu)化問題的迭代算法的迭代公式為： (k)值被稱為一維搜索的最優(yōu)步長(zhǎng)。,一維搜索方法一般分兩步進(jìn)行： 首先在方向S(k)上確定一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的初始區(qū)間，即確定函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是單峰區(qū)間； 然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法得到最優(yōu)步長(zhǎng)，即求出該搜索區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)步長(zhǎng)和一維極小點(diǎn)。 一維搜索方法

34、主要有：分?jǐn)?shù)法、黃金分割法（0.618法）、二次插值和三次插值法等。,2.3.1 搜索區(qū)間的確定,根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將區(qū)間分為單峰區(qū)間和多峰區(qū)間。所謂單峰區(qū)間，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個(gè)峰值，即函數(shù)的極小值，如圖2-18所示。,單峰區(qū)間的函數(shù)值呈“高-低-高”的變化特征。,設(shè)區(qū)間 1,3 為單峰區(qū)間，而2為該區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)， 若有123 成立，則必有 f(1) f(2) f(3) 同時(shí)成立。,圖2-18單峰區(qū)間,進(jìn)退試算法的基本思想是：按照一定的規(guī)律給出若干試算點(diǎn)，依次比較各試算點(diǎn)的函數(shù)值的大小，直到找到相鄰三點(diǎn)的函數(shù)值按“高-低-高”變化的單峰區(qū)間為止。 進(jìn)退試算法的運(yùn)算步驟如下：

35、給定初始點(diǎn)0和初始步長(zhǎng)h，求搜索區(qū)間a, b。 將0及0+h代入目標(biāo)函數(shù)f(x)進(jìn)行計(jì)算并比較大小。,圖2-19 求搜索區(qū)間,前進(jìn)試算：若f(0)f(0+h) ，則將步長(zhǎng) h增加2倍，并計(jì)算新點(diǎn)0+3h。若f(0+h)f(0+3h) ，則搜索區(qū)間為： a=0, b=0+3h 否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。,后退試算：若f(0)f(0) ，則搜索區(qū)間可取為： a =0 - h/4, b =0+h 否則，將步長(zhǎng)再加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)上述步驟，直到滿足單峰區(qū)間條件為止。,圖2-19 求搜索區(qū)間,上述進(jìn)退試算法的程序計(jì)算框圖，如圖2-20所示。,圖2-20 進(jìn)退法的程序框圖,2.3.2 黃金分割

36、法,又稱為0.618法，它是一種等比例縮短區(qū)間的直接搜索方法。 基本思路：通過比較單峰區(qū)間內(nèi)兩點(diǎn)函數(shù)值，不斷舍棄單峰區(qū)間的左端或右端一部分，使區(qū)間按照固定區(qū)間縮短率（縮小后的新區(qū)間與原區(qū)間長(zhǎng)度之比）逐步縮短，直到極小點(diǎn)所在的區(qū)間縮短到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到近似最優(yōu)解。 為了達(dá)到縮短區(qū)間之目的，可在已確定的搜索區(qū)間（單峰區(qū)間）內(nèi)，選取計(jì)算點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，并比較它們的大小，以消去不可能包含極小點(diǎn)的區(qū)間。,如下圖所示，為使a, b區(qū)間縮小，在單峰區(qū)間a, b內(nèi)插入兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)1，2 ，且滿足a12b ，并計(jì)算它的函數(shù)值f(1), f(2)，比較它們的大小，可能發(fā)生以下情況：,(a) (b) (c),

37、圖2-21 黃金分割法的序列消去原理,若 f(1) f(2)，顯然，極小點(diǎn)必位于1,b內(nèi)，因而可去掉區(qū)間a,1，得到新區(qū)間1, b，如圖2-21(b)所示； 若 f(1) = f(2)，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間1,2內(nèi)，因而可去掉a,1 或 2,b，甚至將此二段都去掉，如圖2-21(c)所示。,對(duì)于上述縮短后的新區(qū)間，可在其內(nèi)再取一個(gè)新點(diǎn)3，然后將此點(diǎn)和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)值大小的比較，以再次按照上述方法，進(jìn)一步縮短區(qū)間，這樣不斷進(jìn)行下去，直到所保留的區(qū)間縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到近似最優(yōu)解。 黃金分割法的內(nèi)插點(diǎn)選取原則是：每次區(qū)間縮短都取相等的區(qū)間縮短率。按照這一原則，其區(qū)間縮短率都是取=

38、0.618，即該法是按區(qū)間全長(zhǎng)的0.618倍的關(guān)系來選取兩個(gè)對(duì)稱內(nèi)插點(diǎn)1,2的。,如圖2-22所示，設(shè)原區(qū)間a, b長(zhǎng)度為L(zhǎng)，區(qū)間縮短率為。為縮短區(qū)間，黃金分割法要求在區(qū)間a, b上對(duì)稱地取兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)1和2，設(shè)兩個(gè)對(duì)稱內(nèi)分點(diǎn)交錯(cuò)離兩端點(diǎn)距離為l，則： 首次區(qū)間縮短率為： 再次區(qū)間縮短率為：,圖2-22 0.618法新、舊區(qū)間的幾何關(guān)系,根據(jù)每次區(qū)間縮短率相等的原則，則有： 由此得： 即 ，或，解此方程取其正根可得： 這意味著，只要取=0.618，就以滿足區(qū)間縮短率不變的要求。即每次縮小區(qū)間后，所得到的區(qū)間是原區(qū)間的0.618倍，舍棄的區(qū)間是原區(qū)間的0.382倍。黃金分割法迭代過程中，除初始區(qū)間

39、要找兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)外，每次縮短的新區(qū)間內(nèi)，只需再計(jì)算一個(gè)新點(diǎn)函數(shù)值就夠了。,根據(jù)以上結(jié)果，黃金分割法的兩個(gè)內(nèi)插點(diǎn)的取點(diǎn)規(guī)則為： （2-30） 綜上所述，黃金分割法的計(jì)算步驟如下： (1) 給定初始單峰區(qū)間a, b和收斂精度； (2) 在區(qū)間a, b內(nèi)取兩個(gè)內(nèi)插點(diǎn)并計(jì)算其函數(shù)值：,(3) 比較函數(shù)值 f1和 f2的大?。?若 f1 f2 ，則取a,2為新區(qū)間，而1則作為新區(qū)間內(nèi)的第一個(gè)試算點(diǎn)，即令： 而另一試算點(diǎn)可按下式計(jì)算出： 若 f1 f2 ，則取1 , b為新區(qū)間，而2作為新區(qū)間內(nèi)的第一個(gè)試算點(diǎn)，即令： 而另一試算點(diǎn)可按下式計(jì)算出來：,(4) 迭代終止條件判別： 若滿足b-a ，則轉(zhuǎn)下一步；否

40、則返回步驟(3)，進(jìn)行下一次迭代計(jì)算，進(jìn)一步縮短區(qū)間。 (5) 輸出最優(yōu)解：,圖2-23 黃金分割法的計(jì)算框圖,又稱近似拋物線法。其基本思想是： 在給定的單峰區(qū)間中，利用目標(biāo)函數(shù)上的三個(gè)點(diǎn)來構(gòu)造一個(gè)二次插值函數(shù)p(X)，以近似地表達(dá)原目標(biāo)函數(shù)f(X) ，并求這個(gè)插值函數(shù)的極小點(diǎn)近似作為原目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。 該法是以目標(biāo)函數(shù)的二次插值函數(shù)的極小點(diǎn)作為新的中間插入點(diǎn)，進(jìn)行區(qū)間縮小的一維搜索方法。 設(shè)一元函數(shù)f(X) ，在單峰區(qū)間1,3內(nèi)取一點(diǎn)2，且12 3 ，這三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為：,2.3.3 二次插值法,于是通過原函數(shù)曲線上的三個(gè)點(diǎn)(1, f1), (2 , f2)和(3 , f3) 可以構(gòu)

41、成一個(gè)二次插值函數(shù)，如圖2-24所示。設(shè)二次插值函數(shù)為： (2-31) 此函數(shù)可以很容易地求得它的極小點(diǎn)p*。令其一階導(dǎo)數(shù)等于零，即： 解得： (2-32),圖2-24 二次插值法的原理,為求得p*，應(yīng)設(shè)法求得式(2-32)中的待定系數(shù)B和C。,由于所構(gòu)造的二次插值函數(shù)曲線通過原函數(shù)上的三個(gè)點(diǎn)，因此將三個(gè)點(diǎn)(1, f1), (2 , f2)及(3 , f3)代入方程(2-31)可得：,解得系數(shù)：,(2-33),(2-34),將B，C之值代入式(2-32)，可求得：,由上可知，在已知一個(gè)單峰搜索區(qū)間內(nèi)的1,2 ,3 三點(diǎn)值后，便可通過二次插值方法求得極小點(diǎn)的近似值 。由于在求p*時(shí)，是采用原函數(shù)

42、的近似函數(shù)，因而求得的p*不一定與原函數(shù)的極值點(diǎn) X* 重合。 為了求得滿足預(yù)定精度要求的原函數(shù)的近似極小點(diǎn)，一般要進(jìn)行多次迭代。 為此， 可根據(jù)前述的序列消去原理， 在已有的四個(gè)點(diǎn)1,2 ,3 及p* 中選擇新的三個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)縮小了的單峰區(qū)間，并利用此單峰區(qū)間的三個(gè)點(diǎn)，再一次進(jìn)行插值。如此進(jìn)行下去，直至達(dá)到給定的精度為止。,(b),(a),圖2-24 二次插值法的原理及區(qū)間縮小過程,二次插值法的計(jì)算步驟如下： (1) 給定初始搜索區(qū)間1,3 和計(jì)算精度。 (2) 在區(qū)間1,3內(nèi)取一內(nèi)點(diǎn)2，有下面兩種取法： 等距原則取點(diǎn)： 不等距原則取點(diǎn)： 計(jì)算三點(diǎn)的函數(shù)值： (3) 計(jì)算二次插值多項(xiàng)式p(

43、)的極小點(diǎn)p*與極小值f(p*) 。 (4) 進(jìn)行收斂判斷：若滿足，停止迭代，并將點(diǎn)2與p*中函數(shù)值較小的點(diǎn)作為極小點(diǎn)輸出，結(jié)束一維搜索；否則，轉(zhuǎn)下步(5)； (5) 縮小區(qū)間，以得到新的單峰區(qū)間，然后轉(zhuǎn)第(3)步，繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求為止。,圖2-25 二次插值法程序框圖,2. 步驟 (續(xù))：,3. 結(jié)果分析：,問題：若不滿足精度，如何縮小區(qū)間，再擬合（分四種情況分析） ？,多維無約束優(yōu)化問題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (2-35) 求解這類問題的方法，稱為多維無約束優(yōu)化方法。 根據(jù)確定搜索方向時(shí)所使用的信息和方法的不同，可將多維無約束優(yōu)化方法分為兩大類： 間接法 直接法 各種優(yōu)化方法之間的

44、主要差異在于如何構(gòu)造搜索方向S(k)。搜索方向的選擇是優(yōu)化方法討論中的重要內(nèi)容。,2.4 多維無約束優(yōu)化方法,2.4.1 坐標(biāo)輪換法,亦稱降維法，是求解多維無約束優(yōu)化問題的一種直接法，該法不需求目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)而直接搜索目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。 基本原理：將一個(gè)多維無約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列一維優(yōu)化問題來求解，即依次沿著坐標(biāo)軸的方向進(jìn)行一維搜索，求得極小點(diǎn)。當(dāng)對(duì)n個(gè)設(shè)計(jì)變量x1, x2,，xn依次進(jìn)行過一次搜索之后，即完成一輪計(jì)算。如果還沒有收斂到極小點(diǎn)，則又從前一輪的最末點(diǎn)開始，作下一輪搜索，如此繼續(xù)下去，直至收斂到最優(yōu)點(diǎn)為止。坐標(biāo)輪換法即由此而得名。,坐標(biāo)輪換法求解二維優(yōu)化問題最優(yōu)解的搜索過程：

45、以X(0)為初始點(diǎn)，沿著坐標(biāo)軸x1 方向進(jìn)行一維搜索，求得極小點(diǎn)X1(1) ，然后固定x1不變，再沿著坐標(biāo)軸 x2方向進(jìn)行一維搜索，求得極小點(diǎn)X2(1) ，至此完成了二維優(yōu)化問題的第一輪計(jì)算。 由于未得到問題的最優(yōu)點(diǎn)，需進(jìn)行第二輪迭代，即從前一輪的最末點(diǎn) X2(1)出發(fā)，重復(fù)前面的過程求得X1(2)， X2(2) 點(diǎn)。,圖2-26 坐標(biāo)輪換法搜索過程,如此繼續(xù)下去，直到找到問題的最優(yōu)解。,根據(jù)上述原理，對(duì)于第k輪計(jì)算，坐標(biāo)輪換法的迭代計(jì)算公式為： (2-36) 其中，搜索方向Si(k)是輪流取n 維設(shè)計(jì)空間中各坐標(biāo)軸的單位向量： 即： 也就是其中第i個(gè)坐標(biāo)方向上的分量為1，其余均為零。,迭代步

46、長(zhǎng)i可以取正值或負(fù)值，正值表示沿坐標(biāo)正方向進(jìn)行搜索，負(fù)值表示沿坐標(biāo)軸反方向進(jìn)行搜索，但i無論正負(fù)，必須使目標(biāo)函數(shù)值下降，即: 迭代步長(zhǎng)i 有兩種取法： 最優(yōu)步長(zhǎng)； 加速步長(zhǎng)，步長(zhǎng)序列為： i ，2i ，4i ，8i ， ,坐標(biāo)輪換法的特點(diǎn)是： 計(jì)算簡(jiǎn)單，概念清楚，易于掌握； 但搜索路線較長(zhǎng)，計(jì)算效率較低，特別當(dāng)維數(shù)很高時(shí)很費(fèi)機(jī)時(shí)，所以坐標(biāo)輪換法只能用于低維(n10)優(yōu)化問題的求解。 此外，該法的效能在很大程度上取決于目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)，即等值線的形態(tài)與坐標(biāo)軸的關(guān)系。,現(xiàn)以二維優(yōu)化問題為例，最優(yōu)步長(zhǎng) 的幾何意義如右圖所示。,求最優(yōu)步長(zhǎng) 舉例：,1. 最優(yōu)步長(zhǎng)的幾何意義,已知：,2. 最優(yōu)步長(zhǎng)的計(jì)算,

47、求：在給定點(diǎn)處沿給定方向搜索的最優(yōu)步長(zhǎng) 。,解：根據(jù)基本迭代公式，有,則,由上可見，原本 函數(shù) 。,為求得最優(yōu)步長(zhǎng)，可令：,即,故得最優(yōu)步長(zhǎng)：,2.4.2 鮑威爾法,鮑威爾法（powell法，又稱共軛方向法），是鮑威爾于1964年提出的，它是在坐標(biāo)輪換法的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造共軛方向，以達(dá)到快速收斂的目的。并通過改進(jìn)后，是一種比較有效的算法。,在上述坐標(biāo)輪換法中，之所以收斂速度很慢，原因在于其搜索方向總是平行于坐標(biāo)軸，不適應(yīng)函數(shù)的變化情況。如圖2-27所示，若把上一輪的搜索末點(diǎn) （即這一輪搜索的起點(diǎn) ）和本輪搜索的末點(diǎn) 連接起來，形成一新的搜索方向 ，并沿此方向進(jìn)行一維搜索，則由此圖可以看到，它能

48、極大地加快了收斂速度，鮑威爾法正是利用這種原理來構(gòu)成搜索方向并進(jìn)行迭代計(jì)算的。,圖2-27 共軛方向,1. 共軛方向的概念與形成 設(shè)A為一nn階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，若有一組非零向量S(1), S(2), , S(n)滿足： (2-37) 則稱這組向量關(guān)于矩陣A共軛。 當(dāng)A為單位矩陣(即A=I)時(shí)，則有： 此時(shí)稱向量S(i)(i=1,2, n)相互正交。可見，向量正交是向量共軛的特例，或者說向量共軛是向量正交的推廣。,共軛方向的形成有兩種方法： 基向量組合法 平行搜索法：右圖所示，從任意不同的兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿同一方向S(1)進(jìn)行兩次一維搜索（或者說進(jìn)行兩次平行搜索），得到兩個(gè)一維極小點(diǎn)X(1)和X(

49、2)，則連接此兩點(diǎn)構(gòu)成的向量： 便是與原方向S(1)共軛的另一方向。,圖2-28 共軛方向的形成,沿此方向作兩次平行搜索，又可得到第三個(gè)共軛方向。如此繼續(xù)下去，便可得到一個(gè)包含n（維數(shù)）個(gè)共軛方向的方向組。,2. 基本鮑威爾法,采用坐標(biāo)輪換的方法來產(chǎn)生共軛方向，因不必利用導(dǎo)數(shù)的信息，因此是一種直接法。 基本原理： 首先采用坐標(biāo)輪換法進(jìn)行第一輪迭代。 然后以第一輪迭代的最末一個(gè)極小點(diǎn)和初始點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新的方向，并以此新的方向作為最末一個(gè)方向，而去掉第一個(gè)方向，得到第二輪迭代的 n 個(gè)方向。 仿此進(jìn)行下去，直至求得問題的極小點(diǎn)。,采用基本鮑威爾法求解二維優(yōu)化問題的迭代過程：,取初始點(diǎn)X(0)作為迭代

50、計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)，即令X0(1) = X(0) ，先沿坐標(biāo)軸x1的方向S1(1)=e1=1,0T作一維搜索，求得此方向上的極小點(diǎn)X1(1) 。再沿坐標(biāo)軸x2坐標(biāo)方向S2(1)=e2=0,1T作一維搜索，求得該方向上的極小點(diǎn)X2(1) 。然后利用兩次搜索得到的極小點(diǎn)X0(1)及X2(1)構(gòu)成一個(gè)新的迭代方向S (1) ：,圖2-29 基本鮑威爾法的迭代過程,并沿此方向作一維搜索，得到該方向上一維極小點(diǎn)X(1)，至此完成第一輪搜索。,進(jìn)行第二輪迭代時(shí)，去掉第一個(gè)方向S1(1)=e1，將方向S(1) 作為最末一個(gè)迭代方向，即從X(1)= X0(2)出發(fā)，依次沿著方向S1(2)S2(1)=e2及S2(2)

51、S(1)= X2(1) X0(1)進(jìn)行一維搜索，得到極小點(diǎn)X1(2) 、X2(2) ；然后利用X2(2) 、 X0(2) 構(gòu)成另一個(gè)迭代方向S(2)： 并沿此方向搜索得到X(2) 。,圖2-29 基本鮑威爾法的迭代過程,為形成第三輪迭代的方向，將S(2)加到第二輪方向組之中，并去掉第二輪迭代的第一個(gè)方向S1(2)=e2 ，即令： 即第三輪的迭代方向?qū)嶋H上是S(1)和S(2)，由于S(2)是連接兩個(gè)沿平行線的方向S(1)搜索得到的極小點(diǎn)X2(2)、X0(2)所構(gòu)成的，根據(jù)共軛方向的概念可知，S(1)和S(2)是互為共軛的方向。,圖2-29 基本鮑威爾法的迭代過程,如果所考察的二維函數(shù)是二次的，即對(duì)于二維二次函數(shù)，經(jīng)過沿共軛方向S(1)、S(2)的兩次一維搜索所得到的極小點(diǎn)X(2)就是該目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)