2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題八第2講數(shù)形結(jié)合思想

1、第2講數(shù)形結(jié)合思想1數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：(1)等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，要注意其帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)(

2、2)雙方性原則既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)(3)簡(jiǎn)單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線3數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式(5)構(gòu)建立體幾何模型研

3、究代數(shù)問(wèn)題(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題(7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等4數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解熱點(diǎn)一利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根例

4、1(2014山東)已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2，)答案B解析先作出函數(shù)f(x)|x2|1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)kx過(guò)A點(diǎn)時(shí)斜率為，故f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的范圍為(，1)思維升華用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中

5、作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關(guān)于x的方程f(x)x的解的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函數(shù)yf(x)及yx的函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得交點(diǎn)有3個(gè)熱點(diǎn)二利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、求參數(shù)范圍例2(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0，xR，且在(0，)上單調(diào)遞增，若f(1)0，則滿足xf(x)0的x的取值范圍是_(2)若不等式|x2a|xa1對(duì)xR恒成立，則a的取值范圍是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)解析(1)作出符合條件的一個(gè)函數(shù)圖象草圖即可，由

6、圖可知xf(x)0，所以m1，故m的取值范圍是m1.(2)令y1，y2k(x2)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出其圖象，因k(x2)的解集為a，b且ba2.結(jié)合圖象知b3，a1，即直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)又因?yàn)辄c(diǎn)(2，)在直線上，所以k.熱點(diǎn)三利用數(shù)形結(jié)合思想解最值問(wèn)題例3(1)已知P是直線l：3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)(2)已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是()A2,4 B2,16C4,10 D4,16答案(1)2(2)B解析(1)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x4

7、y80向左上方或右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線l時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|PC|3，從而|PA|2.所以(S四邊形PACB)min 2|PA|AC|2.(2)畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，最大值為|QA|216.d2()2()22.取值范圍是2,16思維升華(1)

8、在幾何的一些最值問(wèn)題中，可以根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形上點(diǎn)的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，快速求得最值(2)如果(不)等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解題，即所謂的幾何法求解(1)(2013重慶)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D2(2)若實(shí)數(shù)x、y滿足則的最小值是_答案(1)B(2)2解析(1)由題意，知圓的圓心坐標(biāo)為(3，1)，圓的半徑長(zhǎng)為2，|PQ|的最小值為圓心到直線x3的距離減去圓的半徑長(zhǎng)，所以|PQ|min3(3)24.故選B.(2)可行域如圖所示又的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率

9、k.由圖知，過(guò)點(diǎn)A的直線OA的斜率最小聯(lián)立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值為2.1在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以通過(guò)圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的2有些圖形問(wèn)題，單純從圖形上無(wú)法看出問(wèn)題的結(jié)論，這就要對(duì)圖形進(jìn)行數(shù)量上的分析，通過(guò)數(shù)的幫助達(dá)到解題的目的3利用數(shù)形結(jié)合解題，有時(shí)只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象4數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模)；點(diǎn)到直線的距離公式等.真題感悟1(2013重慶)已

10、知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1C62 D.答案A解析設(shè)P(x,0)，設(shè)C1(2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PN|PC1|PC2|454.2(2014江西)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C(62) D.答案A解析AOB90，點(diǎn)O在圓C上設(shè)直線2xy40與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到

11、直線2xy40的距離，點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2xy40為準(zhǔn)線的拋物線上，當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時(shí)，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|，圓C的最小半徑為，圓C面積的最小值為()2.3(2013課標(biāo)全國(guó))已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析函數(shù)y|f(x)|的圖象如圖當(dāng)a0時(shí)，|f(x)|ax顯然成立當(dāng)a0時(shí)，只需在x0時(shí)，ln(x1)ax成立比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)yax的增長(zhǎng)速度顯然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立當(dāng)a0時(shí)，只需在x0，且x1x2a32，x1x2a1，聯(lián)立可得0a0，且x3x4a32，x3x4a1，聯(lián)立

12、可得a9，綜上知，0a9.押題精練1方程|x22x|a21(a0)的解的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析(數(shù)形結(jié)合法)a0，a211.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)2不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案A解析f(x)|x3|x1|畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.正確選項(xiàng)為A.3經(jīng)過(guò)P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k和傾斜

13、角的取值范圍分別為_(kāi)，_.答案1,10，)解析如圖所示，結(jié)合圖形：為使l與線段AB總有公共點(diǎn)，則kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0時(shí)，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當(dāng)0k1時(shí)，0；當(dāng)1k0時(shí)，.故傾斜角的取值范圍為0，)4(2013山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則|OM|的最小值是_答案解析由題意知原點(diǎn)O到直線xy20的距離為|OM|的最小值所以|OM|的最小值為.5(2013江西)過(guò)點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率為_(kāi)答案解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.當(dāng)

14、AOB時(shí)，SAOB面積最大此時(shí)O到AB的距離d.設(shè)AB方程為yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.6設(shè)函數(shù)f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們?cè)趚1處的切線互相平行(1)求b的值；(2)若函數(shù)F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解函數(shù)g(x)bx2ln x的定義域?yàn)?0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依題意得2b10，所以b.(2)x(0,1)時(shí)，g(x)x0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得極小值g(1)；當(dāng)a0時(shí)，方程F(x)a2不可能有四個(gè)解；當(dāng)a0，x(，1)時(shí)，f(x)0，即f(x)在(1,0)上單調(diào)