長(zhǎng)方體和正方體知識(shí)點(diǎn)匯總

1、 第二講 長(zhǎng)方體和正方體一、長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)【知識(shí)點(diǎn)1】 要素立體圖形棱面頂點(diǎn)數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長(zhǎng)方體12互相平行的棱長(zhǎng)度相等6相對(duì)的面完全相同8同一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱分別叫做長(zhǎng)、寬、高特殊長(zhǎng)方體12垂直于正方形面的棱長(zhǎng)度相等6兩個(gè)面是正方形，其余四個(gè)面是完全相同的長(zhǎng)方形8正方體12所有的棱長(zhǎng)度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一個(gè)長(zhǎng)方體至少可以有兩個(gè)面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會(huì)存在3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)面是正方形！練習(xí)：（1）判斷并改正： 1、長(zhǎng)方體的六個(gè)面一定是長(zhǎng)方形； ( ) 2、正方體的六個(gè)面面積一定相等； ( ) 3、一個(gè)長(zhǎng)方體(非正方體) 最多有四個(gè)面面積相等

2、； ( ) 4、相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱相等的長(zhǎng)方體一定是正方體。 ( ) 7、長(zhǎng)方體的三條棱分別叫做長(zhǎng)、寬、高。 ( ) 8、有兩個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體一定是正方體。( ) 9、有三個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體一定是正方體。（ ） 11、有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形的長(zhǎng)方體，另外四個(gè)面的面積是相等的。（ ） 12、長(zhǎng)方體和正方體最多可以看到3個(gè)面。（ ） 14、正方體不僅相對(duì)的面的面積相等，而且所有相鄰的面的面積也都相等。（ ） 15、長(zhǎng)方體（不包括正方體）除了相對(duì)的面相等，也可能有兩個(gè)相鄰的面相等。（ ） 16、一個(gè)長(zhǎng)方體中最少有4條棱長(zhǎng)度相等，最多有8條棱長(zhǎng)度相等。（ ）（2）填空：1、一個(gè)長(zhǎng)方體最多有（

3、 ）個(gè)面是正方形，最多有（ ）條棱長(zhǎng)度相等。2、一個(gè)長(zhǎng)方體的底面是一個(gè)正方形，則它的4個(gè)側(cè)面是（ ）形。3、 正方體不僅相對(duì)的面相等，而且所有相鄰的面（ ），它的六個(gè)面都是相等的（ ）形。4、 把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多可以看到（ ）個(gè)面。最少可以看到（ ）個(gè)面?！局R(shí)點(diǎn)2】棱長(zhǎng)和公式：長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和=（長(zhǎng)+寬+高）4 長(zhǎng)+寬+高=棱長(zhǎng)和4 長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和=下面周長(zhǎng)2+高4 長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和=右面周長(zhǎng)2+長(zhǎng)4 長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和=前面周長(zhǎng)2+寬4 正方體棱長(zhǎng)和=棱長(zhǎng)12 棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)和12棱長(zhǎng)和的變形：例如：有一個(gè)禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要10厘米彩帶，一共需要多長(zhǎng)的彩帶？3020cm20c

4、m 分析：本題雖然并未直接提出求棱長(zhǎng)和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解決問(wèn)題時(shí)首先確定每部分彩帶與那條棱平行，從而間接去求棱長(zhǎng)和。 前面和后面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度；左面和右面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度； 上面和下面的彩帶長(zhǎng)度=長(zhǎng)的長(zhǎng)度。 需要彩帶的長(zhǎng)度=高4+長(zhǎng)2+寬2+打結(jié)部分長(zhǎng)度 204+302+10=150cm練習(xí)： （1）看圖2-6，并填空 單位：厘米這個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)()厘米，寬()厘米，高()厘米。由一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱的長(zhǎng)度和是( )厘米。棱長(zhǎng)總和是( )厘米。上下兩個(gè)面是( )形。（2）看圖2-7并填空單位：厘米這是一個(gè)( )體，正方體的棱長(zhǎng)是( )厘米，棱長(zhǎng)之和是( )厘

5、米，每個(gè)面的面積是( )平方厘米。（3）有一個(gè)長(zhǎng)方體的魚(yú)缸，長(zhǎng)50厘米，寬30厘米，高30厘米，需要在用鋁合金包裹玻璃連接處，需要（ ）米的鋁合金。（4） 把兩個(gè)棱長(zhǎng) 1厘米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是（ ）厘米。（7）一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng) 12厘米寬 8厘米高 7厘米，把它切成一個(gè)盡可能大的正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是（ ）。（7）一個(gè)長(zhǎng)方體的禮堂如圖，過(guò)節(jié)時(shí)需要在四周裝上成串的彩燈，每串彩燈長(zhǎng)2m，一共需要多少串彩燈？30m6m50m（8） 一只魚(yú)缸，棱長(zhǎng)和為280cm，其中，底面周長(zhǎng)為50cm，右面周長(zhǎng)為40cm，前面周長(zhǎng)為50cm，魚(yú)缸的長(zhǎng)、寬、高各是多少？【知識(shí)點(diǎn)3】確定長(zhǎng)方

6、體中每個(gè)面的形狀以及長(zhǎng)、寬、高分別是多少。長(zhǎng)方體一共有（ ）個(gè)面，（ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同。根據(jù)習(xí)慣我們一般認(rèn)為在一個(gè)平面中水平方向的為長(zhǎng)，垂直方向的為高。根據(jù)這一習(xí)慣我們我們只需找到需要的面并根據(jù)習(xí)慣確定長(zhǎng)和寬即可。例如：如圖下列長(zhǎng)方體的后面是（ ）形狀，長(zhǎng)是（ ）寬是（ ）；它的右面是（ ）形狀，長(zhǎng)是（ ）寬是（ ）；下面是（ ）形狀，長(zhǎng)是（ ）寬是（ ）。上面下面左面后面右面前面練習(xí)： （1） 長(zhǎng)方體展開(kāi)后每個(gè)面都是什么形狀？展開(kāi)后哪倆個(gè)面是相對(duì)的面？面積相等嗎？上下，左右、前后各個(gè)面的長(zhǎng)和寬分別是原長(zhǎng)方體的什么？（2）

7、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是25厘米，寬是20厘米，高是18厘米，最大的面的長(zhǎng)是（ ）厘米，寬是（ ）厘米，它的面積是（ ）平方厘米；最小的面長(zhǎng)是（ ）厘米，寬是（ ）厘米，它的面積是（ ）平方厘米。（3）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是8、6、4米，它的前后的面的面積是（ ），左右的面的面積是（ ），上下的面的面積是（ ）?！局R(shí)點(diǎn)4】經(jīng)過(guò)折疊可以組合成正方體:經(jīng)過(guò)折疊可以組合成長(zhǎng)方體：練習(xí)：下列三個(gè)圖形中，能拼成正方體的是（ ） 【知識(shí)點(diǎn)5】長(zhǎng)方體或正方體的切割組合對(duì)棱長(zhǎng)的影響（1）切割將長(zhǎng)方體橫向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4條長(zhǎng)和4條寬；（棱長(zhǎng)增加的最長(zhǎng)）將長(zhǎng)方體豎向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方

8、體后，棱長(zhǎng)將比原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4條寬和4條高；（棱長(zhǎng)增加的最短）將正方體沿?zé)o論沿那個(gè)方向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來(lái)增加4條棱。2、 組合將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和4條寬；（棱長(zhǎng)減少的最多）將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿前后面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和4條高；將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿左右面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條寬和4條高；（棱長(zhǎng)減少的最少）將兩個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)正方體時(shí)減少8條棱；一次類(lèi)推將三個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)三個(gè)正方體時(shí)減少16條棱，四個(gè)組合減少24條棱，五

9、個(gè)組合減少32條（公式：8（N1）例如：將五個(gè)完全相同的正方體組合成一個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)和為140厘米，原來(lái)每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是多少？分析：五個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有125=60條； 將五個(gè)完全相同正方體組合后棱長(zhǎng)比原來(lái)減少32條，還剩60-32=28條； 即這28條棱的長(zhǎng)度和即為新長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和，所以正方體一條棱的長(zhǎng)度為：14028=5cm； 所以一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和為：512=60cm?！局R(shí)點(diǎn)6】小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體，每條棱的長(zhǎng)度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要222=23=8個(gè)（也就是說(shuō)每條棱上放2個(gè)小正方體

10、），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個(gè)小正方體即333=33=27個(gè)，依次類(lèi)推接下來(lái)是444=43=64個(gè)；555=53=125個(gè) 從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方體拼大長(zhǎng)方體的規(guī)律規(guī)律同正方體，首先觀察大長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)分別是小正方體棱長(zhǎng)的幾倍，如，長(zhǎng)方體長(zhǎng)是小正方體棱長(zhǎng)的a倍，寬是小正方體棱長(zhǎng)的b倍，高是小正方體棱長(zhǎng)的c倍，則，大長(zhǎng)方體就是由abc個(gè)小正方體組成的。練習(xí)：（1

11、）用棱長(zhǎng)為3厘米的小正方體拼棱長(zhǎng)為9厘米的大正方體需要（ ）個(gè)小正方體。 A、8個(gè) B、27個(gè) C、26個(gè) D、64個(gè)（2）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是18、12、9，如果用棱長(zhǎng)為3的小正方拼一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體，一共需要（ ）塊這樣的小正方體。（3）一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子里面長(zhǎng)5分米，寬4分米，深3分米，放棱長(zhǎng)為5厘米的正方體小木塊共可以放（ ）塊。2、 長(zhǎng)方體和正方體的表面積【知識(shí)點(diǎn)1】 長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)寬+長(zhǎng)高+寬高）2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面積+上面面積+右面面積）2正方體表面積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)6=aa6=6a2 =任意一個(gè)面的面積6前面面積=后面面積；左面面積=右面面積；上面面積=下面面

12、積 兩個(gè)棱長(zhǎng)和相等的長(zhǎng)方體或一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體，表面積不一定相等！表面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體或一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)和也不一定相等！ 練習(xí)：1、一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)6厘米，寬4厘米，高3厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體上下兩個(gè)面的面積各是（ ）平方厘米，前后兩個(gè)面的面積各是（ ）平方厘米，左右兩個(gè)面的面積各是（ ）平方厘米，表面積是（ ）平方厘米。2、 判斷題：長(zhǎng)方體的表面積一定比正方體的表面積大。 ( ) 如果一個(gè)長(zhǎng)方體能鋸成四個(gè)完全一樣的正方體，那么長(zhǎng)方體前面的面積是底面積的4倍（）3、 把一個(gè)棱長(zhǎng)為6米的正方體分成兩個(gè)大小、形狀相同的長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面 積是（ ）。4、 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘

13、米，高是2厘米，它的棱長(zhǎng)總和是 （ ）厘米，六個(gè)面中最大的面積是（ ）平方厘米，表面積是（ ）平方厘米。5、用字母表示正方體（或長(zhǎng)方體）的表面積（ ）；用字母表示長(zhǎng)方體的體積公式是（ ）。6、下面哪些問(wèn)題跟長(zhǎng)方體表面積有關(guān)。 （ ） A：在一個(gè)長(zhǎng)方體木箱外面刷油漆，刷油漆的面積一共有多少平方分米？ B：做一個(gè)長(zhǎng)方體的金魚(yú)缸需要多少玻璃？C： 求一個(gè)長(zhǎng)方形足球場(chǎng)需多少平方米的草皮？7、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是5分米，寬和高都是4分米，在這個(gè)長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)度為4分米的棱有（ ）條，面積是20平方分米的面有（ ）個(gè)。8、一個(gè)長(zhǎng)方體的金魚(yú)缸，長(zhǎng)是8分米，寬是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打壞了，修理時(shí)配

14、上的玻璃的面積是（ ）。9、一個(gè)長(zhǎng)方體側(cè)面積是360平方厘米，高是9厘米，長(zhǎng)是寬的1.5倍，求它的表面積?！局R(shí)點(diǎn)2】長(zhǎng)方體表面求法的變形：1 貼商標(biāo)類(lèi)型：只求四周面積。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，長(zhǎng)寬高分別為8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標(biāo)，需要商標(biāo)紙的面積是多少？2 游泳池類(lèi)型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，長(zhǎng)寬高分別為10m，4m，1.5m，需要在池內(nèi)貼上邊長(zhǎng)為1dm的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？3 抽紙盒類(lèi)型：六個(gè)面面積減去缺口面積。 例如：一款抽紙盒，長(zhǎng)寬高分別是20cm，12cm，5cm，上面有長(zhǎng)14cm，寬3cm的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？4 占地面積問(wèn)題：只求底面面

15、積。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體蓄水池，長(zhǎng)12m，寬8m，深3m，這個(gè)水池占地面積多少平方米？練習(xí)：（1） 一盒餅干長(zhǎng)20厘米，寬15厘米，高30厘米，現(xiàn)在要在它的四周貼上商標(biāo)紙，如果商標(biāo)紙的接頭處是4厘米，這張商標(biāo)紙的面積是多少平方厘米？（2） 一種長(zhǎng)方體硬紙盒，長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，高5厘米，有2平方米的硬紙板210張，可以做這樣的硬紙盒多少個(gè)？（不計(jì)接口） （3） 一個(gè)通風(fēng)管的橫截面是邊長(zhǎng)是0.5米的正方形,長(zhǎng)2.5米.如果用鐵皮做這樣的通風(fēng)管50只,需要多少平方米的鐵皮? （4） 一個(gè)房間的長(zhǎng)6米，寬3.5米，高3米，門(mén)窗面積是8平方米?，F(xiàn)在要把這個(gè)房間的四壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平

16、方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ （5） 在一節(jié)長(zhǎng)120厘米，寬和高都是10厘米的通風(fēng)管，至少需要鐵皮多少平方厘米？做12節(jié)這樣的通風(fēng)管呢？ （6） 做一個(gè)正方體無(wú)蓋紙盒，棱長(zhǎng)是21厘米，至少需要多少平方厘米的紙板？（7） 一個(gè)抽屜，長(zhǎng)50厘米，寬30厘米，高10厘米，做這樣的2個(gè)抽屜，至少需要木板多少平方厘米？（8）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個(gè)面的面積和是200平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？3. 一只魚(yú)缸，棱長(zhǎng)和為280cm，其中，底面周長(zhǎng)為50cm，右面周長(zhǎng)為40cm，前面周長(zhǎng)為50cm，這只魚(yú)缸的占地面積是多少平方厘米？（10）一塊

17、長(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)60厘米，寬40厘米，如 圖， 從四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)是10厘米的正方形，然后做成盒子，這個(gè)盒子的表面積是多少平方厘米？（11）一個(gè)無(wú)蓋正方體鐵桶內(nèi)外進(jìn)行涂漆，涂漆的是（ ）個(gè)面.【知識(shí)點(diǎn)3】棱長(zhǎng)變化對(duì)表面積的影響：（1） 正方體正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8倍；正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3倍，表面積擴(kuò)大9倍，體積擴(kuò)大27倍；正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大n倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。2、 長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大2倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8倍；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大3倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3倍，表

18、面積擴(kuò)大9倍，體積擴(kuò)大27倍；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大n倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化也無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大abc倍。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大ab倍 。長(zhǎng)方體的寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大bc倍 。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大ac倍 。練習(xí)：（1）大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的棱長(zhǎng)的2倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的（ ）倍。（2）正方體的棱長(zhǎng)縮小5倍，它的

19、體積就縮?。?）倍（3）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大4倍，它的表面積就（ ）。（4）正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大6倍，表面積擴(kuò)大（ ）倍。（5）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4厘米擴(kuò)大為2倍后，其棱長(zhǎng)和為（ ）厘米，表面積為（ ）平方厘米比原來(lái)擴(kuò)大了（ ）。（6）一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，高擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大（ ）倍。（7）大正方體的表面積是小正方體的4倍，那么大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的（）；大正方體棱長(zhǎng)之和是小正方體的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 （8）把一個(gè)正方體切成大小相等的8個(gè)小正方體，8個(gè)小正方體的表面積之和（ ）。 A.等于大正方體的表面積 B.等于大正方體表面積的2倍 C.等于大正方體表面

20、積的3倍（9）判斷：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，寬擴(kuò)大3倍，高擴(kuò)大4倍，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積擴(kuò)大24倍。（ ） 正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大1.2倍，它的棱長(zhǎng)也擴(kuò)大1.2倍，它的表面積就擴(kuò)大14.4倍。（ ） 有棱長(zhǎng)為1厘米的正方體拼成較大的正方體，其表面積比原來(lái)一個(gè)正方體時(shí)擴(kuò)大了4倍。（ ） 棱長(zhǎng)為16厘米的正方體，將棱長(zhǎng)縮小2倍后，其棱長(zhǎng)為4厘米，其表面積也縮小了4倍。（ ）【知識(shí)點(diǎn)4】5、 立體圖形的切割：（切割會(huì)使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問(wèn)題） 長(zhǎng)方體沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來(lái)增加的最多。沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來(lái)增加的最少。而且每切一刀

21、增加兩個(gè)完全相同的面，切兩刀增加四個(gè)完全相同的面，依次類(lèi)推。 正方體無(wú)論沿那個(gè)面平行的方向切，都將增加兩個(gè)正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多最少的問(wèn)題。例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說(shuō)哪一種最省包裝紙？ 要求最省包裝紙，即表面積最小，也就是表面積比原來(lái)單獨(dú)包裝時(shí)減少的表面積最多，根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。練習(xí)：（1）把一個(gè)棱長(zhǎng)為6米的正方體分成兩個(gè)大小、形狀相同的長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（ ）。（2）用兩個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬4厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。（3）把一根長(zhǎng)80厘米，寬5厘米，高3厘米的

22、長(zhǎng)方體木料鋸成長(zhǎng)都是40厘米的兩段，表面積比原來(lái)增加了（ ）平方厘米。 （4）用兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是3厘米，2厘米，1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最小是（ ）平方厘米。（5）棱長(zhǎng)是a的兩個(gè)立方體拼成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積比正方體的表面積和減少（ ）。（6）一根長(zhǎng)方體木料，長(zhǎng)1.5米，寬和厚都是2分米，把它鋸成4段，表面積最少增加（ ）平方分米（7）一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬4厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體，截成兩個(gè)形狀，大小完全一樣的長(zhǎng)方體，表面積最多能增加多少平方厘米？（8） 把一根長(zhǎng)2米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來(lái)這根方木的底面積是多少平方分米？（9

23、） 一根1.8m長(zhǎng)的木材，鋸成三個(gè)完全相同的正方體后，表面積比原來(lái)增加多少平方厘米？（10） 一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為1.5分米，寬為0.5分米，高位1分米，鋸三刀之后之后可以鋸成6個(gè)完全相同的正方體，每個(gè)正方體的表面積是多少？這時(shí)表面積之和比原來(lái)增加多少？n 從一個(gè)長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體問(wèn)題應(yīng)該以長(zhǎng)方體中最短的棱作為切出正方體的棱長(zhǎng)，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。例如：在一個(gè)長(zhǎng)是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體，該正方體的棱長(zhǎng)和是多少？剩余部分的表面積是多少？ n 立體圖形的組合（組合只會(huì)使表面積減少，因此存在減少最多或最少的問(wèn)題） 長(zhǎng)方

24、體將原來(lái)長(zhǎng)方體的最大面組合在一起，其表面積比原來(lái)減少的最多。將原來(lái)長(zhǎng)方體的最小面組合在一起，其表面積比原來(lái)減少的最少。而且兩個(gè)組合將減少兩個(gè)完全相同的面，三個(gè)組合減少四個(gè)完全相同的面，依次類(lèi)推。 正方體無(wú)論沿那個(gè)面組合，都將減少兩個(gè)正方形的面，減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問(wèn)題。練習(xí)：（1）把三個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（ ），比原來(lái)3個(gè)正方體表面積之和減少了（ ）。（2）把三個(gè)棱長(zhǎng)是2分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積是（ ），體積是（ ）。（3）用27個(gè)體積是1立方厘米的小正方體粘合成一個(gè)大正方體，粘合后的大正方體的表面積是（ ）（4）把三個(gè)完全相

25、等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350平方米。這個(gè)正方形的表面積是多少平方米？（5） 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，高5.5厘米。將兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，表面積最大是多少？體積是多少？（6）一種長(zhǎng)方體積木，長(zhǎng)3厘米，寬2.5厘米，高2厘米。將兩塊這樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方體，表面積最小是多少？（7）用3個(gè)棱長(zhǎng)5分米的正方體粘合成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積減少多少平方分米？表面積是多少平方厘米？（8）有三個(gè)大小相等的正方體，將他們拼成長(zhǎng)方體，表面積減少32平方厘米。求所拼長(zhǎng)方體的表面積。（9）用兩個(gè)同樣的長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和2厘米的小長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)表面積最大的

26、長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？（10）用兩個(gè)長(zhǎng)6厘米，寬3厘米，高1厘米的長(zhǎng)方體一起包裝，至少需要包裝紙多少？ （11）用3個(gè)棱長(zhǎng)4分米的正方體粘合成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積比3個(gè)正方體的表面積少多少平方分米？表面積是多少平方厘米？（12）用兩個(gè)同樣的長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和2厘米的小長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【知識(shí)點(diǎn)5】小正方體拼成的大正方體表面涂漆問(wèn)題大正方體長(zhǎng)、寬、高上有幾個(gè)小正方體，則將長(zhǎng)、寬、高上的正方體數(shù)相乘就是大正方體所含小正方體的總數(shù)；在頂點(diǎn)位置的小正方體露在外面的面有3個(gè)；在棱上（不包含頂點(diǎn)位置）的小正方體

27、露在外面的面有2個(gè)；在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有1個(gè)；用總數(shù)3個(gè)面的2個(gè)面的1個(gè)面得=沒(méi)有露在外面的小正方體的個(gè)數(shù)。例如：在該正方體表面涂上漆，有三個(gè)面涂上漆的小正方體有幾個(gè)？有兩個(gè)面圖上漆的小正方體有幾個(gè)？有一個(gè)面涂上漆的小正方體有幾個(gè)？沒(méi)有涂上漆的小正方體有幾個(gè)？練習(xí)：圖一中，長(zhǎng)方體共有（ ）個(gè)小正方體；其中兩個(gè)面露在外面的小正方體共有（ ）個(gè)；沒(méi)有露在外面的小正方體共有（ ）個(gè)。圖二中三個(gè)圖一次有（ ）、（ ）、（ ）小正方體組成。第二個(gè)長(zhǎng)方體中有三個(gè)面在外面得正方體有（ ）個(gè)，兩個(gè)面在外面的正方體有（ ）個(gè)，一個(gè)面在外面的有（ ）個(gè)，沒(méi)有露在外面的小正方體（ ）。圖1圖

28、2小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化 挖去的小正方體在頂點(diǎn)位置，則大正方體的表面積不變，因?yàn)樵瓉?lái)在頂點(diǎn)位置小正方體露在外面的面為3個(gè)，挖去后露出來(lái)的面也是3個(gè)，所以表面積不變。 挖去的小正方體在棱的位置，則大正方體的表面積增加，因?yàn)樵瓉?lái)在棱上的小正方體露在外面的面有2個(gè)，挖去后會(huì)露出4個(gè)面，所以表面積會(huì)增大。 挖去的小正方體在面上，則大正方體的表面積也會(huì)增加，因?yàn)樵瓉?lái)在面上的小正方體只有1個(gè)面露在外面，挖去后會(huì)露出5個(gè)面，所以表面積會(huì)增大。【知識(shí)點(diǎn)6】單位換算長(zhǎng)度單位：mm、cm、dm、m 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為10面積單位：mm2、cm2、dm2、m2 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為100體積

29、單位：mm3、cm3、dm3、m3 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為1000容積單位：ml、l 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為1000特別的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m不是同一類(lèi)型的單位，數(shù)據(jù)不能比較大小，同一類(lèi)型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。高級(jí)單位進(jìn)率高級(jí)單位的數(shù)低級(jí)單位低級(jí)單位的數(shù)進(jìn)率大單位化小單位乘以進(jìn)率，小單位化大單位除以進(jìn)率。例如：手指尖約占了1立方厘米的空間，即它的體積約為1立方厘米。 一個(gè)粉筆盒的體積約為1 dm。 建一游泳池，約要挖土6000方。 1.36 dm =1360 cm 4.573m =4573 dm 一個(gè)燒杯約能裝水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.

30、67 dm =5670cm練習(xí)：(1)3.2立方分米=（ ）立方厘米 500立方分米=（ ）立方米9立方米500立方分米=（ ）立方米=（ ）立方分米3.6升=（ ）毫升=（ ）立方厘米 1700平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方米3升=（ ）毫升 2700毫升=（ ）升 2.57升=（ ）毫升 640毫升=（ ）升2.8立方分米=( )立方厘米 0.8升=( )毫升720立方分米=( )立方米 51000毫升= ( )升32立方厘米=( )立方分米 4.25立方米=( )立方分米=( )升2.7立方米=( )升 1200毫升=( )立方厘米1.24立方米=( )升=( )毫升 3.06升=

31、（ ）升（ ）毫升40立方米（ ）立方分米 4立方分米5立方厘米（ ）立方分米30立方分米（ ）立方米 0.85升（ ）毫升2100毫升（ ）立方厘米（ ）立方分米 0.3升（ ）毫升（ ）立方厘米(2) 一個(gè)水池能裝水400立方米，這是指（ ），占地2公頃指的是（ ）。 一塊橡皮擦的體積約是8( )。 一本書(shū)的封面約是2( )。 運(yùn)貨集裝箱的體積約是40( )。 一支鋼筆長(zhǎng)18( )。 一臺(tái)錄音機(jī)的體積約是20( )。三、長(zhǎng)方體和正方體的體積【知識(shí)點(diǎn)1】容積與體積基本概念體積是指所占空間的大小；容積是指所容納物體的體積；一個(gè)物體的容積一般都比它的體積小。當(dāng)容器壁厚度忽略不計(jì)時(shí)體積=容積；否則

32、體積容積。比如說(shuō)，一個(gè)洗發(fā)液的瓶子里面所能裝下的洗發(fā)液的體積就是它的容積。（容器壁忽略不計(jì)）體積計(jì)算方法：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)寬高正方體的體積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)長(zhǎng)方體和正方體的體積=底面積高 =右面面積長(zhǎng) =前面面積寬體積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體或者一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)正方體，表面積不一定相等，棱長(zhǎng)和也不一定相等。體積相等的兩個(gè)正方體，表面積一定相等，棱長(zhǎng)和也一定相等。體積相等的情況下正方體的表面積比長(zhǎng)方體的??；表面積相等的情況下正方體的體積比長(zhǎng)方體的體積大。練習(xí)：5. 判斷： 體積單位比面積單位大，面積單位比長(zhǎng)度單位大（ ） 正方體和長(zhǎng)方體的體積都可以用底面積乘高來(lái)進(jìn)行計(jì)算（ ） 表面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體，它們的

33、體積一定相等 （） 長(zhǎng)方體的體積就是長(zhǎng)方體的容積 （ ）（2）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是12分米，它的體積是（ ）立方分米（3）一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是30立方厘米，長(zhǎng)是5厘米，高是3厘米，寬是（）厘米（4）表面積是54平方厘米的正方體，它的體積是（ ）立方厘米（5）一個(gè)長(zhǎng)方體框架長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，高4厘米，做這個(gè)框架共要（ ）厘米鐵絲，是求長(zhǎng)方體（ ），在表面貼上塑料板，共 要（ ）塑料板是求（ ），在里面能盛（ ）升水是 求（ ），這個(gè)盒子有（ ）立方米是求（ ）（6）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長(zhǎng)總和是 （ ）厘米，六個(gè)面中最大的面積是（ ）平方厘米，表面積是（ ）平方厘米，

34、體積是（ ）立方厘米（7）一個(gè)正方體棱長(zhǎng)2厘米，體積是（ ）立方厘米，如果這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，它的體積是（ ）立方厘米。（8）一個(gè)菜窖能容納6立方米白菜，這個(gè)菜窖的（ ）是 6立方米（9）表面積相等的長(zhǎng)方體和正方體的體積相比，（） 正方體體積大長(zhǎng)方體體積大相等（10）將一個(gè)正方體鋼坯鍛造成長(zhǎng)方體，正方體和長(zhǎng)方體（ ） 體積相等，表面積不相等體積和表面積都不相等表面積相等，體積不相等1、 要制作140個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體木塊，至少需要木料多少立方分米？（12）某紙盒廠生產(chǎn)一種正方體紙板箱，棱長(zhǎng)40厘米，它的體積是多少立方厘米？合多少立方分米？2、 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為12厘米，高為8厘米，陰影部分

35、的兩個(gè)面的面積和是200平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？3、 一個(gè)長(zhǎng)方體的沙坑裝滿(mǎn)沙子，這個(gè)沙坑長(zhǎng)3米，寬1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，這個(gè)沙坑里共裝沙子多少?lài)崳?、 有一塊面積為36平方分米的鐵皮，將其制作成可以容納最多物體的形狀，其棱長(zhǎng)是多少？可以容納多少立方分米的物體？（15）用一根12分米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)最大的正方體框架，這個(gè)正方體的體積是（ ）立方分米。 【知識(shí)點(diǎn)2】體積大小的比較對(duì)于液體可以直接比較體積的大小，如果液體體積小于容器既可以裝得下，如果大于容器體積則裝不下。對(duì)于固體而言，在體積小于容器體積的前提下，還需要比較物體的長(zhǎng)寬高于容器的長(zhǎng)寬高，只有物體

36、的長(zhǎng)寬高都小于或等于容器的長(zhǎng)寬高時(shí)才可以將物體裝入容器。例如：有一個(gè)長(zhǎng)為8分米，高位5分米，體積為240平方分米的硬紙盒，有一件陶瓷長(zhǎng)為7.4分米，高位4分米，寬為6.5分米，是否可以放入該容器？分析：?jiǎn)渭冇?jì)算容器和陶瓷的體積我們可以發(fā)現(xiàn)：陶瓷體積硬紙盒體積。但這并不意味著瓷器就可以裝進(jìn)盒子。 我們還需要觀察陶瓷長(zhǎng)寬高于容器長(zhǎng)寬高的大小。 通過(guò)計(jì)算硬紙盒的長(zhǎng)=8分米 寬=240（85）=6分米 高=5分米 陶瓷的長(zhǎng)=7.4分米 寬=6.5分米 高=4分米 我們可以發(fā)現(xiàn)陶瓷的寬比盒子的寬大，所以即使在體積小于盒子的前提下，仍然是裝不進(jìn)去的。練習(xí)：1. 有一個(gè)長(zhǎng)方形玻璃魚(yú)缸長(zhǎng)為5分米，寬為3分米，

37、高為3分米里面裝有2.5分米高的水，現(xiàn)在需要將該該魚(yú)缸內(nèi)的水倒入一個(gè)棱長(zhǎng)為3.5分米的正方體魚(yú)缸中，請(qǐng)問(wèn)是否可以裝得下這么多水？如果裝得下正方體魚(yú)缸內(nèi)的水有多高？2. 有一個(gè)長(zhǎng)方體的硬紙盒，長(zhǎng)為11分米，寬為15分米，高為6分米，現(xiàn)將一個(gè)長(zhǎng)為12分米，寬為10分米，高為5分米長(zhǎng)方體的禮品放入該盒子中，是否可以裝的進(jìn)去？【知識(shí)點(diǎn)3】切割組合對(duì)體積的影響練習(xí)：（1）一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高增加3厘米，就成為一個(gè)正方體。這時(shí)表面積比原來(lái)增加了96平方厘米。原來(lái)的長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？（2）一個(gè)長(zhǎng)方體，把它的高增加3厘米，它就變成一個(gè)正方體，并且表面積比原來(lái)增加了120平方厘米，求原來(lái)的體積是多少？（3）一個(gè)長(zhǎng)方體，把它的高減少5厘米，它就變成一個(gè)正方體，并且表面積比原來(lái)減少了200平方厘米，求原來(lái)的體積是多少？（4）一個(gè)長(zhǎng)方體正好可以分成三個(gè)完全一樣的正方體，如果切割下一個(gè)正方體，剩下的表面積比原來(lái)少了80平方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少？（5）一個(gè)棱長(zhǎng)為分米的正方體木塊切割成棱長(zhǎng)是厘米的小正方體，