完整版)解析幾何常用知識點(diǎn)總結(jié)

1、“解析幾何”一網(wǎng)打盡(一) 直線1.1直線的傾斜角0, k tan-, x-iX2X2 X-i-2. 直線的方程(1) 點(diǎn)斜式y(tǒng) y1 k(x x-)(直線I過點(diǎn)Pi(xi,yi)，且斜率為k).(2) 斜截式 y kx b (b為直線I在y軸上的截距).(3) 般式Ax By C 0(其中A、B不同時(shí)為0).特別的：(1 )已知直線縱截距b，常設(shè)其方程為y kx b或x 0 ；已知直線橫截距 X。，常設(shè)其方程為x my X。(直線斜率k存在時(shí)，m為k的倒數(shù))或y 0 .知直線過點(diǎn)(xo，y0)，常設(shè)其方程為 y k(x X。)y。或X x(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩

2、截距相等直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn);直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)(3)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，直線可以理解為它們不重合？3、幾個(gè)距離公式有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條P(x y J到直線Ax By C 0的距離為dAx：竺C_.x X0 ；VA2 B2(1)兩點(diǎn)間距離公式：點(diǎn) A(X1,yJ 點(diǎn) B(x-,y-)AB 訛為 x-)2 (% y-)-特別地，當(dāng)直線 L: xx時(shí)，點(diǎn)P (x y 到L的距離d當(dāng)直線L： y y時(shí)，點(diǎn)P(X0,y)到L的距離d y y |C1 C2(3).兩平行線

3、間的距離公式：設(shè)11 : Ax By C 10,l2： Ax By C 20,貝Ud.a2 b24.兩直線的位置關(guān)系：11 12k1k21(匕、k2都存在時(shí)) AA2 B1B2 0 ；h 12 b；即匕、k2都存在時(shí))AB ； AS ； 重合5.三角形的重心坐標(biāo)公式： ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(X1,y 1)、B(X2,y2)、C(X3,y 3),則厶ABC的重心的坐標(biāo)是G(XM廣丁).(二) 圓1.圓的三種方程(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)2 ( y b)2 r2.(2) 圓的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F 0).(3) 圓的直徑式方程(x xj (x X

4、2)(y yj (y y?) O (圓的直徑的端點(diǎn)是 人(捲，比)、B注意(x ,y)(1) 圓心必在弦的中垂線上；兩圓相切，兩圓心連線必過切點(diǎn)；輔助線一般連圓心與切點(diǎn)或者連圓心與弦中點(diǎn)。(2) 處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：(1)求圓心到直線的距離與圓的半徑比較；(2)直線方程與圓的方程聯(lián)立，看判別式。2 2 22?點(diǎn)P(xo,y和圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系:當(dāng)(X。a) 2 (yo b) 2 r2時(shí)，點(diǎn)P在圓外；當(dāng)(xo a) 2 (yo b) 2 r2時(shí)，點(diǎn)P在圓上;當(dāng)(xo a)2 (yo b)2 r2 時(shí)，P在圓內(nèi)？.11 *11 1 _17 I1 亠 /7 、直線與

5、圓相交0dr (d為圓心到直線的距離)直線與圓相切=0d=r直線與圓相離r.4.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓。1的半徑A，圓o2的半徑為r2，兩圓的圓心距為d,為當(dāng)d r-i D時(shí)，兩圓相離；當(dāng)D時(shí)，兩圓外切；d 口、當(dāng)r-r- a時(shí)，兩圓相交；當(dāng)A r2 =d時(shí)，兩圓內(nèi)切當(dāng)* r2d時(shí)，兩圓內(nèi)含。(1) 若兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在直線的方程。(2) 圓的弦長公式| . r2 d2 (d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑)(3) 求圓外一點(diǎn)P到圓O上任一點(diǎn)距離的最小值為 PO r，最大值為PO r (其中r為圓的半徑)(三) 圓錐曲線1、橢圓:(1) 定義：平面

6、內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1，f2的距離之和等于常數(shù)(大于FjF2)的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓？這兩個(gè)定 點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距.(2) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)o(1)汪221/圖Th.(2)Raxy1原坐標(biāo)軸;對稱Hb2x2a22 匕 b2、卜I亠、卜: 注意:(1)橢圓上任意一點(diǎn) M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大值和最小值，且最大距離為a c，最小距離為 a c之差的絕對值等于常數(shù)(小于 稱為雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲Ai( a, 0), A2(a. 0)Ai(0, - a), A2(0, a)(2)過焦點(diǎn)弦的所有弦長中，垂直于長軸

7、的弦是最短的弦，而且它的長為竺?把這個(gè)弦叫橢圓的通經(jīng)a2、雙曲線雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fl， F2的距離 FF2 )的點(diǎn)的軌跡線的焦距.収曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和兒何忡H實(shí)軸 和虛 軸等 長的 雙曲 線稱 為等 軸雙 曲 線2求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a,b,c的一個(gè)齊次方程，在結(jié)合 b2 2a c就可求出e(0 e 1).x E R? ya標(biāo)弁方程(a0, b0)(a0, b0)標(biāo)準(zhǔn)方程x2 y2孑+1 (ab0)2 2備 + 咅=1(a b0): 4 一.一 一 一,一 . r-一 _丨巧I匕兒圖形廠 bIft11JTa x abx bTBI ulb y a 0, c b 0)注意：(1)

8、直線和雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn) 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1 ”為“0”就得到兩漸近線2 2xx方程，即篤b20就是雙曲線一b21的兩條漸近線方程aa(2)若利用弦長公式計(jì)算，在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說明斜率不純在的情況3、拋物線定點(diǎn)F稱為拋物(1)拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線線的焦點(diǎn)，定直線1稱為拋物線的準(zhǔn)線.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)圖形i夕Z| /II* T7ML標(biāo)準(zhǔn)方程

9、IUI1y2 2px(p0)y2 2px(p0)x2 2py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn) F到準(zhǔn)線1的距離性質(zhì)頂點(diǎn)0(0, 0)對稱軸y 0x 0焦占八、八、0F -p，0F 0, pF 0, 2離心率e 1準(zhǔn)線方程x px 2p x 2Py 2衛(wèi)y 2范圍x 0, y ? Rxw 0, y ? Ry0, x? Ry 0, x? R開口方向向右向左向上向下注意：(1)過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸且交拋物線于兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p(2)焦半徑公式:若點(diǎn)Xo, y在拋物線2px p上，焦點(diǎn)為F，則若點(diǎn)Xo,yo在拋物線2px pXo若點(diǎn)xo,yo在拋物線2py p上，焦點(diǎn)為F，則yo若點(diǎn)Xo, yo在拋物線2py p。上，焦點(diǎn)為F ,則(3)焦點(diǎn)弦問題:設(shè)AB是過拋物線2px 焦點(diǎn)的弦.A(