432平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換

1、4.3.2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換i了解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，能運(yùn)用伸縮變化進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換.2 體會(huì)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換給圖形帶來(lái)的變化.基礎(chǔ)初探1. 橫坐標(biāo)的伸縮變換kx= x一般地，由，（k0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為 k向著y尸y軸的伸縮變換（當(dāng)k 1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0v kv 1時(shí)，表示壓縮），即曲線上所有 點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 k倍（這里（x, y）是變換前的點(diǎn)，（x，y） 是變換后的點(diǎn)）.2. 縱坐標(biāo)的伸縮變換x=x，一般地，由，（k0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為 k向著x lky= y軸的伸縮變換（當(dāng) k 1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0v kv 1時(shí)

2、，表示壓縮），即曲線上所有 點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 k倍（這里（x，y）是變換前的點(diǎn)，（x ，y ） 是變換后的點(diǎn)）.3. 伸縮變換一般地，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換:x = 2x（ 0,的作用下，點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P （x ，y ），稱為平面直y = uy p 0角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱為伸縮變換.思考探究1 21 .如果x軸的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的2圓x2+ y2= 4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？2【提示】x2 + y2 = 4的圖形變?yōu)闄E圓：:+2= 1.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但

3、平移變換僅改變位置，不改變它的形狀.2. 如何理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換？【提示】 在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換， 即改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，將會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響.其特點(diǎn)是坐標(biāo)系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對(duì)應(yīng)的方 程不發(fā)生變化.如在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出 f（x, y） = 0的圖形：（1）x 軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；（2）x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍；1（3）x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的R.第（1）種坐標(biāo)系中的意思是x軸與y軸 上的單位長(zhǎng)度一樣，f（x，y） = 0的圖形就是我們以前學(xué)過(guò)的平面直角坐標(biāo)系中的 f（x，y） = 0的圖形；第（2）種坐標(biāo)系中的意思

4、是如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，1y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的k，此時(shí)f（x，y） = 0表示的圖形與第種坐標(biāo)系中的圖形是不同的；第（3）種坐標(biāo)系中的意思是如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，1x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的匚，此時(shí)f（x，y） = 0表示的圖形與第種坐標(biāo)系中的圖形是不同的.質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問(wèn)1: 解惑：疑問(wèn)2: 解惑：疑問(wèn)3: 解惑：伸縮變換血(kM0,且 kM 1).kx= x對(duì)下列曲線進(jìn)行伸縮變換*y= y(1) y= kx+ b；(2) (x- a)2 + (y-b)2= r2.【自主解答】設(shè)P(X, y)是變換前的點(diǎn)，P(X，

5、y)是變換后的點(diǎn)，由kx= x ,尸ky題意，得ky= y， 1 1由Ry = k(RX)+ b，y = kx + kb，得直線y= kx+ b經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為y= kx+ kb，仍然是一條直線.當(dāng)b= 0時(shí)，該直線和原直線重合；當(dāng)bM 0時(shí)，該直線和原直線平行.(2)由(Rx -a)2 + (ky -b)2二 r2, (x - ka)2+ (y - kb)2二(kr)2，得圓(xa)2 + (y- b)2= r2經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為(x- ka)2 + (y- kb)2= (kr)2，它是一個(gè)圓心為(ka, kb)，半徑為|kr|的圓.再練一題1.在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x-2

6、y= 2變成直線2x-y= 4,求 滿足圖象變換的伸縮變換.x=入,/ 0【解】 設(shè)變換為，,y =卩,0代入直線方程2x -y二4得：2入-yy 4,即卩入-前=2,比較系數(shù)得：后1,尸4,即直線x-2y= 2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍可得到直線2x y = 4.伸縮變換的應(yīng)用f引曲線y= 2sin 3x變換成曲線y= 3sin 2x,求它的一個(gè)伸縮變換.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990021】【思路探究】x=入襄 0設(shè)彳，代入y = 3sin 2x，所得式再與y=y 0)2sin 3x比較即可求2、卩【自主解答】將變換后的曲線y 3sin 2x改成y 3sin 2x.x =Xx

7、0),設(shè)伸縮變換t ,代入y = 3sin 2xy = y 0),得卩尸3sin(2入X3即y=/n(2入X,與y=2sin 3x比較系數(shù)，f 32 A 3，A 2，得3即 3.百2，.尸2，x A |x,所以伸縮變換為3ly = 3y.確定一個(gè)伸縮變換，實(shí)際上就是求其變換方法，將新舊坐標(biāo)分清，代入對(duì)應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)即可.再練一題2 22. (1)圓x2 + y2= a2經(jīng)過(guò)什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)樽?蒼=1(0bv a)?(2)分析圓x2 + y2= a2的一條弦所在直線和經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過(guò)上述伸縮變換后的位置關(guān)系.2 2 2 2【解】橢圓字+卷=1可以化為x2

8、 +岸=a2，x=x ,x= x,設(shè) a , 即b ,y=by，ay=y .所以圓x2+ 卜a2經(jīng)過(guò)向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k=,可以使a2 2 方程變?yōu)橛?詁=1.(2)若圓x2+ 卜a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為y=1kx+ m,根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y= x.abkb由by = kx + m,得y =yx + m.所以直線y= kx+ m經(jīng)過(guò)變換，方程bk b 可變?yōu)閥= x+ m.a aa1bi由by = kx，得y = kax，所以直線y= kx經(jīng)過(guò)變換，方程可變b為 y= kax.b2此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值-學(xué).若圓x

9、2 + y2二a2的弦所在直線的方程為x= n,則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y= 0,伸縮變換后其方程分別變?yōu)?x= n, y= 0.此時(shí)兩直線依然垂直.若圓x2 + y2二a2的弦所在直線的方程為y= n,則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x= 0,伸縮變換后其方程分別變?yōu)?y= ；n, x= 0.此時(shí)兩直線依然垂直.a真題鏈接賞析冷持岳(教材第41頁(yè)習(xí)題4.3第8題)對(duì)下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)k= 2:2 2 2 2(1)x2 4y2= 16; (2)x2 + y2 4x+ 2y+ 1 = 0./ 2診芒析求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2+ y2= 1變成曲線x

10、第10頁(yè)【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.解y2 2叨 2代入方程 一+= 1,得-9 +2 2My4x =3x,y =2y,=1.與X2+ y2 = 1比較，將其變形為fx2+y2= 1,比較系數(shù)得 A3,尸2.即將圓x2 + y2= 1上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)變2 2為原來(lái)的2倍，可得橢圓育+亍=1.11.直線x+ 4y 6= 0按伸縮系數(shù)2向著X軸的伸縮變換后，直線的方程是【答案】x+ 8y6= 02.直線2x 3y= 0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是【答案】2x 9y= 03. 曲線x2 + y2 = 4按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是