立體幾何綜合復(fù)習(xí)課程教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二_ _ _ _ _ 1適用區(qū)域人教版區(qū)域J課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）2課時(shí)L知識(shí)點(diǎn) 1.空間圖形（柱、錐、臺(tái)、球）等表面積與體積的計(jì)算公式;2. 空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；3. 用線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、線線角、線面角、二面角以及三垂II線定理、逆定理；教學(xué)目標(biāo) 1.能對(duì)不規(guī)則立體圖形求體積求表面積。2. 掌握立體幾何的基本證明方法，理解線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、線線角、線面角、二面角I11教學(xué)重點(diǎn)1.立體幾何表面積及體積的計(jì)算2.立體幾何的基本證明IIii教學(xué)難點(diǎn)1.立體幾何的證明I Iii2.線面夾角，二面角的求解ii【教學(xué)建議】1. 了解直棱柱、

2、圓錐的側(cè)面展開圖，熟背面積公式，體積公式2. 了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關(guān)系3. 熟背判定定理和性質(zhì)定理4. 熟記求二面角的方法【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過程札隹M、導(dǎo)入我們都知道一棵大樹它的枝干是組成大樹必不可少的條件，但是要使一棵大樹能夠茁壯成長(zhǎng)，根基也是相當(dāng)重要的。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此，我們有了一定的 知識(shí)積累，但是更重要的是能夠進(jìn)行運(yùn)用。在學(xué)習(xí)的前面立體幾何的四講之后， 我們有了“大樹的枝干”那么接下來這節(jié)課，我們將合理運(yùn)用大樹的“根基”讓 立體幾何這棵大樹茁壯的成長(zhǎng)起來。復(fù)習(xí)1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖2、空間幾何體的表面積和體積3、空間點(diǎn)直線平面的關(guān)系，直線平

3、面平行判定和性質(zhì)4、直線平面垂直判定和性質(zhì)二、知識(shí)講解考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四 邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱 ABCDE -abCde或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母, 如五棱柱AD.幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形 （2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形， 由

4、這些面所 圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐 p-abcde.幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) p-abcde.幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面 所圍成的幾何體.幾何特征：底面是全等的

5、圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形.（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體.幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分.幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖 是一個(gè)弓形.（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左 向右）、俯

6、視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度; 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度; 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度3、空.間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變； 原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半考點(diǎn)2空間幾何體的表面積和體積 （1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，|為母線）s正棱臺(tái)側(cè)面積=2（g c2）hS圓柱表=2二r r ls圓臺(tái)側(cè)面積=（r R）二1s圓

7、錐表=r r 1S圓臺(tái)表-r2 rl Rl R2S直棱柱側(cè)面積=ch1S圓柱側(cè)=rhS正棱錐側(cè)面積=2ch錐側(cè)面積 二二rl（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式2 1V柱二ShV圓柱f hV錐石ShV圓錐=牛r2hV臺(tái)(S+屆+S)hV 圓臺(tái)=(S+jSS+Sjh兀(r2+rR + R2)h333A1上就滴小1iA上惱編廿A(4) 球體的表面積和體積公式：V球=Sr3 ; S球面=4二R23考點(diǎn)2單調(diào)區(qū)間的定義考點(diǎn)3空間點(diǎn)直線平面的關(guān)系，直線平面平行判定和性質(zhì)(1) 點(diǎn)與平面的關(guān)系點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A;點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A :- 點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線I上，記作：A l;點(diǎn)A在直線I外，記作

8、A T;直線與平面的關(guān)系：直線I在平面a內(nèi)，記作I a直線I不在平面a內(nèi), 記作I - a.(2) 公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都 在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1: A I, B I, x,B = I二：(3) 公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 .推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面.公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)(4) 公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過

9、該 點(diǎn)的公共直線.符號(hào)：平面a和B相交，交線是a，記作a G B = a.符號(hào)語(yǔ)言：p AflBh Ap|B =I,P I公理3的作用： 它是判定兩個(gè)平面相交的方法 它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共占八、 它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù) (5) 公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6) 空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交 異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線 a b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn) 0,分別引直

10、線 a/ a, b/ b,則把直線a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a和 b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0, 90 ，若兩條異面直線所成 的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直 (7) 空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi)J相交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).(或直線在平面外)(平行一一役有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：a a a Ga= A a / a(8) 直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行線線平行=線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和

11、這 個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行線面平行=線線平行考點(diǎn)4直線平面垂直判定和性質(zhì)（1）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行（2）直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角：規(guī)定為o . 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所 成的角 兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn) 0,分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a, b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角（3）直線和平面所成的角 平面的平行線與平面

12、所成的角：規(guī)定為 0 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 90 . 平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳 _ 角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線， 在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2） 過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線（4）二面角和二面角的平面角 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面

13、 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來, 如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 二、例題精析 類型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖例題11.若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示a(1)求側(cè)視圖的面積;(2)求幾何體的表面積【解析】俯視囹考生在做此類題時(shí)首先要【總結(jié)與反思】空間幾何體的三視圖是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)必考點(diǎn),能夠?qū)⑺o的三視圖進(jìn)行還原原立體圖形，此外必須熟記立體幾何圖形的表面積體積求解公式.例題2

14、某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為(正視圖左視圖1.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問題時(shí)，一般在原圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡7tB.12 5C. 215 n7t【答案】A【解析】由正視圖與側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體,再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐的半，且底面向上放置所以表面積由底面半圓，側(cè)面的一半，和軸截面的面積組成由俯1 o n視圖可得底面半圓半徑r =1，所以底面半圓面積$ n2 ，幾何體的側(cè)面為圓錐側(cè)2 2面的一半，由正視圖可得圓錐的母線 I二22 12二5，所以側(cè)面面積軸截面為三角形，底為 2 （側(cè)視圖），高為 2 （正視圖）所以可得面積1S32 2 = 2，2所以該幾何體的表面積為5

15、n 2.2例題3一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45,腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是A/C. 1 + 2( )B. 1 +牙D. 2 +2【答案】D+ 1 + .2) X 2= 2 + .2.iU原來的平面圖形中OCLOA 且 0C= 2, BC= 1, OA= 1 + 2X = 1+頁(yè)，故其面積為？X (1【解析】設(shè)直觀圖為 O A B C，建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測(cè)畫法的規(guī)則，在【總結(jié)與反思】量取原圖形中互相垂直的線段所在直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系2.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖

16、形面積的兩個(gè)關(guān)系：S 直觀圖 =S 原圖形.S原圖形直觀圖例題4一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）,如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為2cm俯視圖:【解析】通過三視圖可判斷出該幾何體為正四棱錐， 乘4即為側(cè)面積.通過三視圖可得側(cè)面三角形的底為 的高即為正視圖中三角形左腰的長(zhǎng)度），所以面積為2S = 4S = 80 cm .所以只需計(jì)算出一個(gè)側(cè)面三角形的面積，8 （由俯視圖可得），高為 5 （左側(cè)面1 2S-i5 8 = 20 cm，所以側(cè)面積為2例題5已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（正方形邊長(zhǎng)為1）,則該幾何體的體積為（A.7 B.815 23C.D.16 24【答案】B【解析】由三視圖可知

17、：該幾何體為正方體挖去了一個(gè)四棱錐故選：B【總結(jié)與反思】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬類型2：空間直線平面的關(guān)系例題題1如圖，四棱錐 PAECD 中，P4 丄平面ABCD，= AD = AC = 3,PA = = 4K!為線段上一點(diǎn)，Ul - 1 ， 為的中點(diǎn).（i）證明：（2）求四面體?-i-?-： 的體積.【答案】（）見解析（2） -.【解析】（1）2 1由已知得-I - =. -. =.,取的中點(diǎn)

18、，連接，由為中點(diǎn)知=；、即又，即f匚一禱工故四邊形.W/-.T為平行四邊形，于是 陀際:因?yàn)?丈， 匚門士 -所以Tukj?.|:.E,連接AE由AB=AC=3# AE BC,AE由，由AM/BC得M到BC的距離為（2）因?yàn)镻寸平面ABCD N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD勺距離為PA,取BC的中點(diǎn)j,故 帥斗伍所以四面體N-BCMW體積為葉腳斗皿X*斗例題題21如圖，在直角梯形 ABCP中，CP/AB, CP丄CB,AB=BC=CP=2,D是CP的中點(diǎn)，將_ PAD沿 AD折起，使得PD丄平面ABCD.(I) 求證：平面 PADL平面 PCD ;(n)若E是PC的中點(diǎn)，求三棱錐A-PEB

19、的體積.【解析】(I)證明： PD 丄底面 ABCD , PD _ AD .又由于 CP/AB, CP _ AB , AB = BC , ABCD 為正方形，.AD_CD .又 PD CD = D，故 AD _ 平面 PCD ,因?yàn)锳D 平面PAD，所以平面PAD 平面PCD .(n)解：AD/BC，又 BC 二平面 PBC , AD 二平面 PBC, 所以AD/平面PBC,點(diǎn)A到平面PBC的距離即為點(diǎn) D到平面PBC的距離.又 PD=DC , E 是 PC 的中點(diǎn)， DE _ PC .由(I)知AD _平面PCD，所以有AD _ DE 由題意得 AD/BC，故 BC _ DE .于是，由BC

20、 PC二C，可得DE _平面PBC .DE =、2 , PC = 2 2 .又 AD _ 平面 PCD , AD _ CP , AD/BC ,. CP _ BC .1 1 i 1)SlpebSpbcBC PC -2 ,2 2 2丿VA -PEB VD -PEB1匚 DE SPEB例題題3如圖，己知 BCD 中，.BCD =90 , BC 二CD=1,AB_ 平面 BCD ,.ADB00,E，F(xiàn) 分別是 AC，AD 上的動(dòng)點(diǎn)且 Af = AF = ，(0-(1) 求證：不論為何值，總有EF _平面ABC;1(2) 若二一，求三棱錐A-BEF的體積.2【解析】(1 )證明：因?yàn)?AB丄平面BCD所

21、以AE CD又在 BCD中，/ BCD = 90,所以，BC丄CD 又 ABA BC= B,所以，CDL平面ABC又在 ACD E、F分別是AC AD上的動(dòng)點(diǎn)，AE AF且竺二 AS (0 ： . ： 1)AC AD所以，不論為何值，EF/CD，總有EF丄平面ABC(2) 解：在 BCD中，/ BCD = 900,BC= CD= 1,所以，BD=、2,又AB丄平面 BCD所以，AB丄BD,又在 Rt ABD中， ADB = 60, . AB=BDtan60 二.6所以，三棱錐A- BCD的體積是由(1)知EF丄平面ABE 、624【總結(jié)與反思】在解決線面垂直的證明題時(shí)，往往是線面垂直的性質(zhì)和判

22、定的一個(gè)混合應(yīng) 用過程例題4如圖，已知三棱錐 A BPC中，AP丄PC AC BC M為AB的中點(diǎn), D為PB的中點(diǎn)，且 PMB為正三角形.(1)求證：DMF平面APC求證：BC丄平面APC 若BC= 4, AB= 20,求三棱錐 D-BCM勺體積.【解析】 由已知得，皿匚是厶ABP的中位線，所以 MD/ AP因?yàn)镸D平面APC AF?平面APC所以MD/平面 APC(2)因?yàn)?PM助正三角形，D為PB的中點(diǎn)，所以 M丄PB所以API PB 又因?yàn)锳PI PC,且PBA PC= P,所以APL平面 PBC因?yàn)锽C?平面PBC所以AP丄BC又因?yàn)锽CLAC且A6 AP= A,所以BCL平面APC

23、 因?yàn)镸D_平面PBC所以MD是三棱錐 M DBC勺高，且 MD= 5,又在直角三角形 PC沖，由PB= 10, BC= 4，可得PC= 21 1于是 S BC尸 2 BCP= 2, (12 分)所以 Vabc= Vudbc= sh = 103【總結(jié)與反思】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型(1) 證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2) 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3) 證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直(4) 證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直類型3:空間角例題1設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD勺斜邊BD的中點(diǎn) O, AC=BC

24、=1(1) AC與平面BCD所成角的大小(2) 二面角 A-BC-D的正切值（3）異面直線AB和CD的角【解析】（1）如圖，I Rt BCD中，BC=1 , CD=BD= A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O, AO丄平面BCD , AC與平面BCD所成角為/ ACO ,/ cos/ ACO=/ ACO=30 , AC與平面BCD所成角的大小為30(2)由(1)得 AO=,AB=AC=1=BC , ABC是正三角形 取 BC 中點(diǎn) E,貝U AE 丄 BC, DE丄 BC , AE=匕,OE=則/ AEO是二面角A-BC-D的平面角,面角A-BC-D的正切值為 取AC的中

25、點(diǎn)，連接EF,OE,OF,因?yàn)镋,F分別為中點(diǎn)，所以AB與CD所成的角即為EF與EO所成的角即/ OEF,所以在？ EFO中，所以？EFO為等腰直角三角形，所以/ OEF=；例題2 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，.DAB = 60，ADP =90，面ADP _面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)（1）在棱AB上是否存在一點(diǎn) E ,使得AF /面PCE，并說明理由；1（2） 當(dāng)二面角D-FC-B的余弦值為時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成的角4【解析】：（1）在棱AB上存在點(diǎn)E，使得AF /面PCE，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).理由如下：取PC的中點(diǎn)Q，連結(jié)EQ、FQ，11由題

26、意，F(xiàn)Q/DC 且 FQ CD，AE/CD 且 AE CD，2 2故 AE/FQ 且 AE =FQ .所以，四邊形AEQF為平行四邊形所以，AF/EQ，又EQ 平面PEC，AF二平面PEC，所以，AF/平面PEC.(2)由題意知；ABD為正三角形，所以 ED _ AB，亦即ED _ CD ,B又 ADP =90； ,1所以 PD _ AD，且面 ADP _ 面 ABCD，面 ADP 門面 ABCD 二 AD ,所以PD _面ABCD ,設(shè)，取DC的中點(diǎn)N “過M作PC的垂線MN,交FC于N連接MN,所以ZBNM即為B由二面角的余弦值cos 二得 taii6 - AB = (&, 1,) , A

27、C =(擊，1, W). 則 cos AB , AC AB AC | AB| AC|17.1因此異面直線 AB與AC所成角的余弦值為 可知平面ADA的一個(gè)法向量為 AE=(羽，0,0).設(shè)m= (x, y, z)為平面BAD的一個(gè)法向量， 又 AB = ( 3，一 1,3) , BD = ( /3, 3,0),mr A1B = 0 ,即x + 3y = 0.y ,3z= 0 ,則mr BD = 0,不妨取x = 3,則y =3 , z = 2 ,所以m= (3, 73 , 2)為平面BAD的一個(gè)法向量,從而 cos AE , mAE m 3 33=3 X4 = 4| ae| m設(shè)二面角B-A1

28、D-A的大小為0 ,則|cos 0 | = 3.因?yàn)? 0 , n ,所以sin4因此二面角BAQA的正弦值為?例題4如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD為菱形且/ DAB=60 , O為AD中點(diǎn).(I)若 PA=PD，求證：平面 POB丄平面 PAD;(H)若平面 PAD丄平面ABCD，且PA=PD=AD=2，試問在線段 PC上是否存在點(diǎn) M，使 二面角M BO C的大小為60,如存在，求的值，如不存在，說錯(cuò)誤！未找到引用源。明理由【解析】/ PA=PDO為AD中點(diǎn) POL AD又 ABCD為菱形且/ DAB=60 OBL AD POP OB=O ADL面POB T AD錯(cuò)誤！未找到引

29、用源。面PAD面POBL面PAD(2) 面 PADL面 ABCD且面 PADP 面 ABCD=AD P0丄面 ABCD ,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OA、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系xz卓0(0,0,0)、P(0,0,錯(cuò)誤！未找到引用源。)、B(0,錯(cuò)誤！未找到引用源。，0)、C(-2，錯(cuò)誤!未找到引用源。，）二M（-2入，錯(cuò)誤！未找到設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。 =錯(cuò)誤！未找到引用源。（0入1）引用源。入，錯(cuò)誤！未找到引用源。（1-入） 平面CBQ的法向量為n 1=（0,0,錯(cuò)誤！未找到引用源。）設(shè)平面MOB勺法向量為n2=（x,y,z）錯(cuò)誤！未找到引用源。取 n2=（錯(cuò)誤！未找到引用

30、源。,0,錯(cuò)誤！未找到引用源。）二面角 M- BO- C的大小為60錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。解得入=錯(cuò)誤！未找到引用源。存在 M點(diǎn)使二面角 M- BO-C等于60,且 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。四、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則俯視圖的面積是 2.如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA=6 cm,OC=2 cm,則原圖形是？（）C.菱形D. 一般的平行四邊形3.如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，NADE =90 , AF / DE ,DE = DA =2AF =2(I )求證：AC/平面BEF ；(n)

31、求四面體 BDEF的體積.4如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD , AC丄CD，/ ABC=60 , PA=AB=BC，E 是 PC 的中點(diǎn)，(I)求PB和平面PAD所成的角的大??；(n)證明AE丄平面PCD ；(川)求二面角 A-PD-C的正弦值5.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面 PAD丄平面ABCD，點(diǎn)M在線段 PB 上，PD /平面 MAC, PA= PD = ,6, AB = 4(1)求證：M為PB的中點(diǎn);求二面角B-PD-A的大小;(3) 求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.答案與解析1. 【答案】2【解析】由三視圖得

32、 S=22. 【答案】C【解析】 將直觀圖還原得？ OABC,如圖,因?yàn)橐驗(yàn)镺D=? OC=2cm,所以CD=OC=2 cm,所以 CD=2 cm,所以 OC=? JeD2 +0D2=? J22 +（4逅）2=6（cm）,所以O(shè)A=OA=6 cm=OC,故原圖形為菱形3.【答案】【解析】（I ）證明：設(shè)ACBD =0，取BE中點(diǎn)G ,連結(jié)FG, OG所以，og_DE因?yàn)?AF / DE , DE 二 2AF，所以 AF從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G/AO因?yàn)镕G 平面BEF , AO二平面BEF ,所以AO/平面BEF，即AC/平面BEF（H）解：因?yàn)槠矫?ABCD _平面ADEF ,

33、AB _ AD ,所以AB _平面ADEF .因?yàn)?AF/DE, ADE =90、，DE二 DA =2AF =2 ,1漢ED漢AD所以 DEF的面積為2=2所以四面體BDEF的體積Sdef AB4. 【答案】（1） 45（ 2）如下（3）【解析】：(I)解：在四棱錐 P-ABCD中，因PA丄底面ABCD，丄士 ：平面ABCD ,故PA丄AB，又AB丄AD , PAH AD=A，從而 AB丄平面 PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為 PA ,從而/ APB為PB和平面 PAD所成的角，在 二F-丄中，AB=PA，故/ APB=45 ,所以PB和平面PAD所成的角的大小為 45.(H)證明：在四棱

34、錐 P-ABCD中，因PA丄底面 ABCD , GD U平面 ABCD ,故CD丄PA ,由條件 CD 丄 PC, PAH AC=A , CD丄面PAC，又弓匚一面PAC , AE 丄 CD，由 PA=AB=BC, / ABC=60，可得 AC=PA ,/ E 是 PC 的中點(diǎn)， AE 丄 PC,. PCH CD=C ,綜上得 AE丄平面 PCD.（川）解：過點(diǎn) E作EM丄PD,垂足為M，連結(jié)AM , 由（H）知，AE丄平面PCD,AM在平面 PCD內(nèi)的射影是 EM，貝U AM丄PD,因此/ AME是二面角A-PD-C的平面角，由已知，可得/ CAD=30，設(shè)AC=a，可得PA = a皿二竝石

35、PD=atAE a332在 RtAADF 中，V AM PD AM*PD = PA* ADPAAD2屈?21 a3在 I.AE _714中，sin / AME=4所以二面角A-PD-C的正弦值為5. 【答案】同解析【解析】證明：設(shè)AC, BD的交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D /平面MAC ,平面 MAC門平面PDB = ME , 所以 PD / ME.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn).所以 M為PB的中點(diǎn).取AD的中點(diǎn)0,連接0P,0E 因?yàn)镻A= PD，所以0P丄AD.又因?yàn)槠矫?PAD丄平面ABCD , 平面PAD門平面 ABCD = AD , OP?平面PAD，所以 OP丄平面

36、 ABCD.因?yàn)?E?平面ABCD，所以O(shè)P丄OE.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以 0E丄AD.以0為原點(diǎn)，以0D , 0E , 0P為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐 標(biāo)系0-xyz,則 P(0,0，2)，D(2,0,0)，B(-2,4,0), 4x- 4y= 0,2x- 2z= 0.BD = (4 , - 4,0), PD = (2,0，- 2) 設(shè)平面 BDP 的一個(gè)法向量為 n = (x, y, z),則 nBD = 0，n -PD = 0,令 x= 1，得 y= 1, z= 2于是 n= (1,1,2).又平面PAD的一個(gè)法向量為 p= (0,1,0),所以cos n

37、,由題知二面角B-PD-A為銳角，所以二面角B-PD-A的大小為601(3)由題意知 M 1 , 2,屮,C(2,4,0),則 MC = 3, 2,-子.設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,貝U sin a= |cos n,MC|=心 =沁19 |n|MC |所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為鞏固13=()A. 1B.C.2D.32. 有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示),/ ABC=45 ,AB=AD=1,DC丄BC,則這塊菜地的面積為 .13. 如圖，在直角梯形 ABCD 中，/ B = 90 DC / AB , BC = CD = 2AB =

38、 2, G 為線段 AB的中點(diǎn)，將 ADG沿GD折起，使平面 ADG丄平面BCDG，得到幾何體 A BCDG.(1)若E, F分別為線段 AC, AD的中點(diǎn)，求證：EF/平面ABG ;求證：AG丄平面BCDG ;(3)求三棱錐C-ABD的體積.4.如圖，在四棱錐P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形.已知 AB=3 , AD=2 , PA=2 ,PD=/ PAB=60(I)證明AD丄平面PAB ;(H)求異面直線 PC與AD所成的角的正切值;(川)求二面角 P-BD-A的正切值.5.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，/ ABC = 60 E 是 DP 的中點(diǎn).若 AP= PB =2, A

39、B = PC= 2.(1)證明：PB/平面ACE ; 求二面角A-PC-D的余弦值.B答案與解析1. 【答案】B.由三視圖得，a為側(cè)視圖上的高線22. 【答案】2+ 一 ?如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AE丄BC,垂足為 巳在 Rt ABE 中,AB=1, / ABE=45 / BE=?2四邊形AECD為矩形,AD=1,2 EC=AD=1. BC=BE+EC +12 由此可還原原圖形如圖.在原圖形中,AD=1,AB=2,BC=1,且 AD / BC,AB丄 BC,1I邊 邊這塊菜地的面積 S=? ：(AD+BC) AB=? jx (1 + 1+ 一)2=2+ _ ?.3. 【答案】【解析】（1）證

40、明：依題意，折疊前后CD BG位置關(guān)系不改變， CD/ BG./ E、F 分別為線段 AC BD的中點(diǎn)，.在 ACD中，EF/ CD - EF/ BG.又 EF?平面 ABG B（?平面 ABG - EF/ 平面 ABG.A 證明：將厶ADG沿 GD折起后，AG GD位置關(guān)系不改變， AGL GD又平面 ADGL平面 BCDG平面 AD平面 BCDG= GD AG?平面AGD AGL平面 BCDG. 解：由已知得 BC= CD= AG= 2,又由得AGL平面BCDG即點(diǎn)A到平面BCDG的距離AG= 2, W= 一-二=扛: AG= 3 x 2X 2x24.【答案】（I）證明：在 PAD中，由題

41、設(shè) PA=2 , PD=可得 PA2+AD2=PD2 于是 AD 丄 PA .在矩形 ABCD中，AD丄AB .又PAH AB=A , 所以AD丄平面PAB .（H）由題設(shè)，BC / AD ,所以/ PCB （或其補(bǔ)角）是異面直線 PC與AD所成的角.在厶PAB中，由余弦定理得PB=V麗+AB戶PMR 邨 PAB由（I）知 AD丄平面 PAB , PB?平面PAB ,FB_7所以AD丄PB,因而BC丄PB,于是 PBC是直角三角形，故tanPCB=所以異面直線PC與AD所成的角正切值為.(川)過點(diǎn) P做PH丄AB于H，過點(diǎn)H做HE丄BD于E，連接PE因?yàn)锳D丄平面PAB , PH?平面PAB，

42、所以 AD丄PH .又ADA AB=A ,因而PH丄平面 ABCD，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，BD丄PE，從而/ PEH是二面角P-BD-A的平面角.由題設(shè)可得,PH=PA?si n60=,AH=PA?cos60BH=AB-AH=2BD=巴X冊(cè)二迺邏HE=,于是在 RT PHE中，tanPEH= ，所以二面角 P-BD-A的正切值為5.【答案】 證明：連接BD交AC于點(diǎn)F，連接EF ,底面ABCD為菱形， F為BD中點(diǎn).又T E是DP中點(diǎn)， EF / PB./ PB?平面 ACE , EF?平面 ACE , PB/平面 ACE.(2)取AB的中點(diǎn)Q,連接PQ, CQ

43、,底面ABCD為菱形，且/ ABC = 60 ABC為正三角形， CQ丄AB.AP = PB = 2, AB = PC = 2, CQ = ,3,且厶PAB為等腰直角三角形， PQ 丄 AB, PQ= 1 , PQ2+ CQ2= CP2,： PQ 丄 CQ.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA, QC, QP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系，則 A(1,0,0), C(0, , 3, 0), P(0,0,1), D(2,3, 0), AP = ( 1,0,1), CP = (0, . 3,1), CD = (2,0,0).設(shè)平面APC的法向量為n1= (X1, y1, z”,ni -A

44、P = 0, 則“一Xi + Zi = 0, 廠3yi+ Zi= 0,ni -CP = 0,Zi= 3，故 ni= ( 3， 1,3)令 yi =，得 xi = /3， 設(shè)平面DPC的法向量為n2= （X2, y2, Z2）,n2 CD = 0, 則2x2= 0,Q3y2+ Z2= 0,n2 -CP = 0,令 y2 = i,得 Z2= 3,故 n2 = (0,i ,3)./、 ni n2 i + 32石-COS ni, n2=-= ,|ni|n2|/7 27由圖知二面角A-PC-D為銳角, 二面角A-PC-D的余弦值為竽拔高i. 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為？（）左視

45、圖C. - ?D.32BC =2 ,2.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PC_底面ABCD , AD / BC , AD求證：（1） AD/平面PBC ； ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是PD上的點(diǎn).PC=PD,3如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面為直角梯形，AD/BC, / BCD=tPA=PB ,(1)證明平面 PAB1平面ABCD如果CD=AD+BC,二面角P-BC-A等于求二面角 P-CD-A的大小4.如圖，D是AC的中點(diǎn)，四邊形 BDEF是菱形，平面 BDEF _平面ABC，F(xiàn)BD =60，AB _ BC，AB = BC =邁.(I)若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn)，證明：BF _

46、平面AMC ;(II)求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值E答案與解析1.【答案】B【解析】將幾何體還原在長(zhǎng)方體中，如圖.該幾何體為三棱錐 P- ABC可得最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線pb=7 - = ?.I2- ifli2C2. 【答案】同解析【解析】（1 ） AD / BC , BC 平面 PBC , AD 二平面 PBC , AD / 平面 PBC .（2）* PC _ 底面 ABCD , AC 底面 ABCD , PC _ AC由題意可知， AD / BC且AD =2BC =2 , ABC是等腰直角三角形，AC 二 2BC =2，CD = .2，CD2 AC2 =AD2，即

47、AC _ CD 又 P肅 CD = CI，二AC丄平面PCD:AC u平面EAC，二平面EAC丄平面PCD3. 【答案】（1）取AB、CD的中點(diǎn)E、F.連結(jié)PE、EF、PF，由 PA=PB、 PC=PD得PE丄AB , PF丄CD EF為直角梯形的中位線，/ BCD=90 , EF 丄 CD又 PFA EF=F CD丄平面PEF又 PF?平面 PEF, 得 CD 丄 PE又PE丄AB且梯形兩腰 AB、CD必相交 PE丄平面ABCD又由PE?平面PAB平面PAB丄平面ABCD由（1）及二面角的定義知/ PFE為二面角P-CD-A的平面角作EG丄BC于G,連PG ,由三垂線定理得 BC丄PG,故/

48、 PGE為二面角P-BC-A的平面角即/ PGE=60 ,-CD -CD由已知，得 EF = , (AD+BC)=，又 EG=CF= EF=EG , Rt PEFB Rt PEG.( 11 分)/ PEF=Z PGE=60 ,故二面角P-CD-A的大小為604. 【答案】同解析【解析】(1)連接MD，F(xiàn)D.四邊形BDEF為菱形，且 FBD =60 , DBF為等邊三角形/ M 為 BF 的中點(diǎn)， DM _ BF / AB _ BC , AB = BC ；2，又 D 是 AC 的中點(diǎn)， BD _ AC平面BDEF門平面ABC = BD，平面ABC _平面BDEF , AC二平面ABC , AC _ 平面 BDEF .又 BF 二平面 BDEF , AC _ BF 由 DM _ BF , AC _ BF , DM R AC 二 D , BF 平面 AMC .(2)設(shè)線段EF的中點(diǎn)為N，連接DN .易證DN _平面ABC .以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB ,DC , DN所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的