直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線基本知識(shí)1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：.與x軸相交;.x軸正向;.直線向上方向.直線與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為00.傾斜角a的范圍00a1800.0ap90,k0；90pap180,kp0（2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為900的直線斜率不存在。1（xx）x-x經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p(x,y),p(x,y)（xx）的直線的斜率公式是k=11122212y-y22112每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。2、兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l,l，其斜率分別為k,k，

2、則有l(wèi)/lk=k。12121212特別地，當(dāng)直線l,l的斜率都不存在時(shí)，l與l的關(guān)系為平行。1212（2）兩條直線垂直如果兩條直線l,l斜率存在，設(shè)為k,k，則llkk=-112121212注：兩條直線l,l垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率12之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過(guò)來(lái)，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果l,l中12有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，l與l互相垂直。12二、直線的方程1、直線方程的幾種形式名稱(chēng)方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=k(x-x)11(x,y)為直線上一定點(diǎn)，11不包括垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk為斜

3、率k為斜率，b是直線在y不包括垂直于x軸軸上的截距的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)-y1=y-y21x-x1x-x21(x,y),(x,y)是直線上不包括垂直于x軸1122和y軸的直線兩定點(diǎn)(其中xx,yy)1212截距式xy+=1aba是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過(guò)原點(diǎn)的直線一般式ax+by+c=0a，b，c為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何位置的直線2y=y1+y2ax+by+c+l(ax+by+c)=0（l為參數(shù)），其中直線l不在直線系中.(其中a,b不同時(shí)為0）注：過(guò)兩點(diǎn)p(x,y),p(x,y)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？（不一定。（1）111222若x=x

4、且yy，直線垂直于x軸，方程為x=x；12121（2）若xx且y=y，直線垂直于y軸，方程為y=y；12121（3）（3）若xx且yy，直線方程可用兩點(diǎn)式表示）12122、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式x+xx=12若兩點(diǎn)p(x,y),p(x,y)，且線段p,p的中點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x,y)，則1112221223.過(guò)定點(diǎn)的直線系斜率為k且過(guò)定點(diǎn)(x,y)的直線系方程為y-y=k(x-x)；0000過(guò)兩條直線l:ax+by+c=0,l:ax+by+c=0的交點(diǎn)的直線系方程為111122221112222三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l:ax+by+c=0,l:ax+by+c=

5、0兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)11112222就是方程組12ax+by+c=011ax+by+c=022的解，若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立。2.幾種距離（1）兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)p(x,y),p(x,y)間的距離公式pp=(x-x)2+(y-y)2111222122121特別地，原點(diǎn)o(0,0)與任一點(diǎn)p(x,y)的距離op=x2+y2（2）點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)p(x,y)到直線l:ax+by+c=0的距離d=00（3）兩條平行線間的距離ax+by+c00a2+b2兩條平行線l:ax+by+c=0,l:ax+by

6、+c=0間的距離d=1122c-c21a2+b2（注意：求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。）補(bǔ)充：1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角（2）已知斜率k的范圍，求傾斜角a的范圍時(shí)，若k為正數(shù)，則a的范圍為(0,)的子集，且k=tana為增函數(shù)；若k為負(fù)數(shù)，則a的范圍為(,p)的子集，且k=tana為增p2p2函數(shù)。若k的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。2、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知a(x,y),b(x,y),c(x,y),若x=

7、x=x或k112233123ab=k，則有a、b、c三點(diǎn)共線。ac注：斜率變化分成兩段，900是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論。3.兩條直線位置關(guān)系的判定：已知l:ax+by+c=0,l:ax+by+c=0，則：1122（1）llaa+bb=0121212（2）l/lab-ab=0,ac-ac0;1212211221（3）l與l重合ab-ab=0,ac-ac=0;1212211221（4）l與l相交ab-ab0121221如果abc0時(shí)，則：222(1)llbb(2)l/l1=11(a,b,c不為0）；abc(3)l與l重合1=1=1(a,b,c不為0）abc(4)l與l相交11(a,

8、b不為0）ab若點(diǎn)m(x,y)及n(x,y)關(guān)于p(a,b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得y=2b-y1aa12=-11212abc12222222abc12222222ab1222224.有關(guān)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：（1）中心對(duì)稱(chēng)x=2a-x11122直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用l/l，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。12（2）軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)若兩點(diǎn)p(x,y)與p(x,y)關(guān)于直線l:ax+by+c=0對(duì)稱(chēng)，則線段pp的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)11122212軸l上，而且連接pp的直線垂

9、直于對(duì)稱(chēng)軸l上，由方程組12x+xy+yx-xa(12)+b(122y-ya21(-)=-1b212)+c=0x=2y2=可得到點(diǎn)p關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)p的坐標(biāo)(x,y)（其中a0,xx）122212直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)此類(lèi)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱(chēng)軸相交；二是已知直線與對(duì)稱(chēng)軸平行。yx注：曲線、直線關(guān)于一直線y=x+b對(duì)稱(chēng)的解法：換x，換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x-2對(duì)稱(chēng)曲線方程是f(y+2,x-2)=0曲線c:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線方程是f(2a-x,2b-y)=05.兩條直線的交角1+kkpo的四個(gè)角中最小的正角q，又

10、稱(chēng)為l1和l2所成的角，它的取值范圍是0,，當(dāng)q90，則直線l到l的角（方向角）；直線l到l的角，是指直線l繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)12121到與l重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角q，它的范圍是(0,p)，當(dāng)q90o時(shí)tanq=k2-k1.212兩條相交直線l與l的夾角：兩條相交直線l與l的夾角，是指由l與l相交所成1212122有tanq=k2-k1.1+kk126.7.直線l上一動(dòng)點(diǎn)p到兩個(gè)定點(diǎn)a、b的距離“最值問(wèn)題”：(1)在直線l上求一點(diǎn)p，使pa+pb取得最小值，若點(diǎn)a、b位于直線l的同側(cè)時(shí)，作點(diǎn)a（或點(diǎn)b）關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a/或b/,.連接a/b(或ab/)交l于p，則點(diǎn)p即為所求點(diǎn)若點(diǎn)a、b位于直線

11、的異側(cè)時(shí)，連接ab交于l點(diǎn)p，則p為所求點(diǎn)。可簡(jiǎn)記為“同側(cè)對(duì)稱(chēng)異側(cè)連”.即兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)，作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；兩點(diǎn)位于直線的異側(cè)時(shí)，直接連接兩點(diǎn)即可.（2）（3）在直線l上求一點(diǎn)p使pa-pb取得最大值，方法與（1）恰好相反，即“異側(cè)對(duì)稱(chēng)同側(cè)連”若點(diǎn)a、b位于直線l的同側(cè)時(shí)，連接ab交于l點(diǎn)p，則p為所求點(diǎn)。若點(diǎn)a、b位于直線的異側(cè)時(shí)，作點(diǎn)a（或點(diǎn)b）關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a/或b/,.連接a/b(或ab/)交l于p，則點(diǎn)p即為所求點(diǎn)(3)pa2+pb2的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱(chēng)軸”。7.8.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：含有一個(gè)未知參數(shù)，y=(a-1)x+2a-1y=a(x+2)-x+1

12、（1）73x+y=0從而該直線必過(guò)定點(diǎn)(-,)令x+2=0x=-2，將x=-2代入(1)式，得y=3，從而該直線過(guò)定點(diǎn)(-2,3)含有兩個(gè)未知參數(shù)(3m-n)x+(m+2n)y-n=0m(3x+y)+n(-x+2y-1)=01x=-令-x+2y-1y=3713778.點(diǎn)到幾種特殊直線的距離（1）點(diǎn)p(x,y)到x軸的距離d=|y|。000（2）點(diǎn)p(x,y)到y(tǒng)軸的距離d=|x|.000（3）點(diǎn)p(x,y)到與x軸平行的直線y=a的距離d=|y-a|。000（4）點(diǎn)p(x,y)到與y軸平行的直線x=b的距離d=|x-a|.0009.與已知直線平行的直線系有：（1）平行于直線ax+by+c=0的直線可表示為ax+by+c/=0(c/c)（2）平行于直線y=kx+b的所有直線為y=kx+b/(b/b)10.易錯(cuò)辨析：（1）討論斜率的存在性：解題過(guò)程中用到斜率，一定要分類(lèi)討論：斜率不存在時(shí)