實數(shù)知識點總結

1、實數(shù)平方根的有關概念1夯實基礎算術平方根名稱定義表示方法舉例一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a ,非負數(shù)a的算術平方2如5 =25，那么5算術平方根即x2 =a ,那么這個根記作“ ja”，讀作叫做25的算術平方正數(shù)x叫做a的算術“根號a ”，其中a叫根（或者說25的算術平方根。規(guī)定0的算術平方根是0做被開方數(shù)平方根是5）一個正數(shù)a的平方根有兩個，分別為 寸a和-4a，我們把正的平溫馨提示方根Ja叫做a的算術平方根。一個正數(shù)的算術平方根是一個正數(shù)；零的算術平方根仍為零；負數(shù)沒算術平方根。例1:寫出下列各數(shù)的算術平方根。81 2（1）0.0009 ；（2）方；（3）-549平方根1. 定義：如果

2、一個數(shù)的平方等于 a，這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方根）。即如果x那么x就叫做a的平方根。如：_22=4，所以4的平方根是_2 ；925所以93 的平方根是 二；02 = 0 ,所以2550的平方根是0。2.表示方法一個數(shù)a的正的平方根，用符號“2a ” 表示，a叫做被開方數(shù),2叫做根指數(shù),如Va記作需，讀作“根號a ”,負平方根用“-2 a”表示，根指數(shù)是2時，通常省略不寫。一 J. a 記作士 Pa，讀作“正、負根號 a ”。溫馨提示 任何數(shù)的平方都不能為負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根。 “ 5是25的平方根”這種說法是正確的，反過來說“25的平方根是5”就錯了，因為“正數(shù)有兩個平方根”，所以

3、必須說“ 25的平方根是土 5”。而判斷一個數(shù)是不是另求一個數(shù)的平方根就是把平方后等于這個數(shù)的所有數(shù)都求出來,個數(shù)的平方根，只要把這個數(shù)平方，看其是否等于另一個數(shù)即可。3平方根的性質(1 )一個正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，記作a。(2) 零的平方根是零。(3) 負數(shù)沒有平方根。 廠溫馨提示a _ 0時，、a表示a的算術平方根，-,a表示a的平方根。因為負數(shù)沒有平方根，所以被開方數(shù)a _ 0。女口x - 3中隱含著x-3_0，即x_ 3這一條件。 G/a f=a(aH0 ), J a2=*a, a-a, a : 0.-0,例2:判斷下列說法是否正確，并說明理由。(1) 一 6的平方根是3

4、6；( 2)1的平方根是1；( 3)-9的平方根是3 ；( 4)361 二-19 ；(5) 9是一 9 2的算術平方根。三平方根與算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系算術平方根平方根如果一個正數(shù) x的平方等于a，即如果一個數(shù)x的平方等于a，即概念x2 =a，那么這個正數(shù)叫做a的算x2 = a，那么這個數(shù)叫做 a的平方區(qū)別術平方根根或二次方根表示方法土/a性質正數(shù)只有一個算術平方根，且恒正；正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；規(guī)定J0 = 0;負數(shù)沒有算術平方根0的平方根是0 ;負數(shù)沒有平方根求法開平方后取非負的平方根開平方聯(lián)系(1) a的取值范圍相同，均為 a蘭0 ；(2) 平方根中包含了算術平方根，即算術平方

5、根是平方根中的一個，平方根中非負的系那一個即為算術平方根。掌握方法一開平方的方法求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。開平方運算與平方運算互為逆運算。a的算術平方根，- . a表示非負數(shù)a的-.3-333-.a表示非負數(shù)a的平方根，. a表示非負數(shù) 負的平方根。例1：下列各式中正確的是()A.: -3-3B.C.二3，= _3D.二平方根的性質的應用方法要判斷一個數(shù)有無平方根或平方根有幾個，關鍵是確定這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是0。如果m,n是正數(shù)a的平方根，那么有 m = n或m，n=0 ；但如果正數(shù)a平方根是m, n ,那么只能有m n = 0。例2:如果一個數(shù)的平方根是x 3與2x -15，那

6、么這個數(shù)是多少？三.利用平方根的概念解方程的方法一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0只有一個平方根，負數(shù)沒有平方根。在解方程時，利用平方根的定義進行開方，從而求出未知數(shù)的值。例3:求下列各式中的x的值。2 2(1) x =361； (2) 81x49 = 0 ;(3) 49 x2 1 =50 ； (4) 3x-1 2 =：一5 2實數(shù)立方根的有關概念夯實基礎一. 立方根1立方根名稱定義表示方法舉例一般地，如果一個數(shù)x數(shù)a的立方根記作的立方等于a，即“爲”，讀作“三次根如 53 = 125 ,那立方根么5叫做125的x = a，那么x叫做a號a ”，其中a叫做被開立方根的立方根或二次方根方數(shù)

7、負數(shù)沒有平方根，但有立方根。根據(jù)立方根的概念可知：“ 5是125的立方根”，反過來說“125的溫馨提示立方根是5”也正確。判斷一個數(shù)x是不是某數(shù)a的立方根，就看x3是不是等于a。例1:求下列各數(shù)的立方根：27(1)； (2) - 27 ; (3) - 0.216642. 立方根的性質（1）正數(shù)只有一個正的立方根；（2）負數(shù)只有一個負的立方根；（3）零的立方根為零。溫馨提示 一個數(shù)的立方根是唯一的。 正數(shù)的奇次方根時正數(shù)，負數(shù)的奇次方根是負數(shù)，零的任何正整數(shù)次方根均為0。 垃-a = 一翠a、傀匚7 $ = a、a3 =a，公式中的a可取任意數(shù)。 當兩個數(shù)相等時， 這兩個數(shù)的立方根相等， 反過來

8、，當兩個數(shù)的立方根相等時，這兩個數(shù)也相等。即若a b，則3 a 3 b;若3 a 3 b，則a b。例2:下列說法中錯誤的有（) 任何一個數(shù)都有立方根； 14的立方根是3 14 ; 3是27的立方根； 正數(shù)的平方根有兩個，立方根也有兩個。個D.3A.0 個 B.1 個C.2二開立方求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方。例如：8的立方根為3 8 2。被開方數(shù)的數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)和0。開立方運算與立方運算是互為逆運算的關系,負數(shù)(在實數(shù)范圍內) 不能開平方但可以進行開立方運算。 求一個負數(shù)的立方根，可以先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，然后取它的相反數(shù)，即站-a = -站a (a a 0 )。 求一個

9、帶分數(shù)的立方根時，必須把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求它的立方根。例3:求下列各式的值。丄；蚯、；(3)彳27_5；(4)3三立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系 1立方根與平方根的不同點:(1 )定義不同：平方根的概念強調“平方”二字，立方根的概念強調“立方”二字，即平 方根的逆運算是平方，立方根的逆運算是立方。(2) 表示方法不同：平方根用“土曠”表示，根指數(shù)2可以省略，寫成“土、立方 根用“ 3”表示，根指數(shù)3不能省略，更不能寫成“二3”。(3 )性質不同：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；而任何一個數(shù)的立方根卻只 有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，零的立方根是零。(4) a的取值范圍

10、不同：平方根- a中a的取值范圍必須是非負數(shù)， 而立方根3 a中a的取值為任何數(shù)，即正數(shù)、負數(shù)、零均可。2立方根與平方根的相同點:(1)都是求根：平方根與立方根的定義都是建立在乘方概念的基礎上。在指數(shù)式xa中，當n = 2時，求x的值就是求a的平方根；當n =3時，求x的值就是求a的立方根。這就 表明無論是求平方根還是求立方根，都是已知指數(shù)和幕，求底數(shù)。(2 )都與乘方知識有關：不論是求平方根還是求立方根，都屬于開方運算。開方是乘方的逆運算，開平方與平方互為逆運算，開立方與立方互為逆運算。(3 )零的平方根與立方根都是零。(4) 都可以歸結為非負數(shù)的非負方根來研究：平方根主要是通過算術平方根來

11、研究；而負數(shù)的立方根也可以通過 3= -3 a a 0轉化為整數(shù)的立方根來研究。1掌握方法=一. 立方根性質的應用方法(1)正數(shù)、0、負數(shù)都有立方根，且只有一個立方根，一個數(shù)的立方根的符號與這個數(shù)的符號是一致的；(2 )一個數(shù)的立方的立方根、一個數(shù)的立方根的立方都等于其本身；(3) 互為相反數(shù)的立方根仍互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的立方仍互為相反數(shù)。例 1:若 3 2a -1 一3一5a 8，求 a2015 的值。二. 利用立方根的概念解方程的方法正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；負數(shù)的立方根是一個負數(shù)；o的立方根是o。在解方程時，利用立方根的定義進行開立方，從而求出未知數(shù)的值， 在求立方根時，常需轉化為X3

12、二a的形式，也常常將 x a 3中的x a看作一個整體。例2：求下列各式中x的值：(1) 8x327 =0 ； (2) x -1 3 =64；(3) 64(x+1=27 ； (4) 3(x324= 0。三方根中小數(shù)點移動規(guī)律的應用在開方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點移動時， 其方根的小數(shù)點相應地移動是有規(guī)律的：(1)在開平方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點向左(右)移動兩位時，其平方根的小數(shù)點向左(右) 移動一位；(2)在開立方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點向左(右)移動三位時，其立方根的小數(shù)點向左（右）移動一位。例3:填空：(1)已知 3216=6，貝 0.216=, 3 216000=(2)已知 3.1331

13、 =11，則 3 1.331=, 3 1331000=實數(shù)實數(shù)有理數(shù)實數(shù)分數(shù)*正分數(shù)負分數(shù)無理數(shù)丿正無理數(shù)負無理數(shù)夯實基礎J一無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。/溫馨提示 無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)。 常遇到的無理數(shù)有三類：開放開不盡的數(shù)的方根，如.3， - 3 5等；特定結構的數(shù)，如0.303 003 0003；特定意義的數(shù)，如 二。 許多帶根號的數(shù)是無理數(shù)，如,5、-.7等，但帶根號并不是無理數(shù)的本質特征，因為像v4 , J9 , V8,等都是有理數(shù)。27 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù)，所以都是有理數(shù)；而無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分數(shù)，是無理數(shù)。

14、 無理數(shù)與有理數(shù)的和、差一定是無理數(shù)。 無理數(shù)乘或除以一個不為0的有理數(shù)，結果一定是無理數(shù)。二實數(shù)及其分類有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。1按定義分類- 正整數(shù) 整數(shù)零負整數(shù)2按性質分類正實數(shù)正整數(shù) 正分數(shù) 正無理數(shù)負實數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)負分數(shù)負無理數(shù)例1：把下列各數(shù)填入相應的集合內:-0.55 , 3 -8 ,i，0, ，-31，34，-4.85 ,-9,0.232232223(每兩個3之間依次多1個2 ),-6.1整數(shù)集合正無理數(shù)集合.;負分數(shù)集合.;負實數(shù)集合三.實數(shù)的性質(1)實數(shù)的相反數(shù)實數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)的相反數(shù)的意義是一樣的。只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，即實數(shù)a的相反數(shù)是-a。

15、實數(shù)a與b互為相反數(shù)，則a b = 0，反之也成立。(2)實數(shù)的絕對值實數(shù)的絕對值和有理數(shù)的絕對值的意義相同，一個正實數(shù)的絕對值等于它本身；一個負實數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值是0。一個實數(shù)a的絕對值:a 手0 a =0 ,-a a ： 0 .(3)實數(shù)的倒數(shù)1實數(shù)的倒數(shù)和有理數(shù)的倒數(shù)一樣，如果a表示一個非零的實數(shù)，那么 a與一互為倒數(shù)。a實數(shù)a與b互為倒數(shù)，則ab =1,反之也成立。(4) 實數(shù)與數(shù)軸上的點是 對應的關系，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。在數(shù)軸上，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大；正實數(shù)大于一切負實數(shù)，0大于一切負實數(shù)

16、，正實數(shù)都大于 0。任意兩個實數(shù)間都有無數(shù)個有理數(shù)和無理數(shù)。（5）實數(shù)和有理數(shù)一樣，可進行加、減、乘、除、乘方、開方運算；有理數(shù)范圍內的運算律、運算法則在實數(shù)范圍內仍適用。交換律：a b = b a， ab = ba ；結合律： a b c 二 a b c， abc = abc ；分配律：a b c = ab ac。例2：求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對值。（1）.7 ；（ 2） 一 3 9 ；（ 3）；（ 4）1-2。2掌握方法=一無理數(shù)的識別方法判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)，關鍵就看它能不能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的形式，而把無理數(shù)寫成無限不循環(huán)小數(shù)的形式不但很麻煩，而且還是我們利用現(xiàn)有知識無法解決的難題。初

17、中常見的無理數(shù)有三種類型：（1）開方開不盡的數(shù)的方根，但切不可認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）化簡后含二；（3）不循環(huán)的無限小數(shù)。掌握常見無理數(shù)的類型有助于識別無理數(shù)。例1：把下列各數(shù)分別填入相應的括號內。33 二0 , 1.5789 ,16 , 0.3 , - 0.202002000200002,，。372二. 無理數(shù)的估計方法對于無理數(shù)的估算問題，要理解算術平方根、立方根的意義。求一個數(shù)的算術平方根與 哪個整數(shù)最接近，就要看被開方數(shù)的值在哪兩個相鄰正整數(shù)的平方之間，與被開方數(shù)的差值較小的那個正整數(shù)的算術平方根即為與其最接近的整數(shù)。求一個數(shù)的立方根與哪個整數(shù)最接近，方法和求一個數(shù)的算術平方根

18、與哪個整數(shù)最接近相同，只要確定被開方數(shù)的值在哪兩個相鄰整數(shù)的立方之間，再確定和被開方數(shù)差值最小的那個整數(shù)的立方根即可。例2：若m = 40 -4，則m的值所在范圍是（）A.1 ： m 2B.2 ： m : 3C.3 ： m 4D.4 ： m 5三. 實數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系的應用方法每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示；數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)，即數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的關系。例3:如圖所示，數(shù)軸上表示1 , 、2的點分別為A, B，點B到點A的距離與點C到點O的距離相等，設點C所表示的數(shù)為x。(1) 寫出實數(shù)x的值；O c a b(2) 求2 2的值。0*廠石四. 實數(shù)大小的比較方法比較實數(shù)大小的方法較多，常見的有作差法、作商法、倒數(shù)法、平方法