2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第5節(jié)第2課時(shí)直線與橢圓教師用書教案理新人教版202103081246

1、第2課時(shí)直線與橢圓 考點(diǎn)一直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程(3)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離1若直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am1Bm0C0m5且m1 Dm1且m5D直線ykx1恒過定點(diǎn)(0,1)，要使直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，只需1，即m1，又m5，故m的取值范圍為m1且m5，故選D2已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)解將直線l的方

2、程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3m3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)(2)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)當(dāng)0，即m3或m3時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)點(diǎn)評：(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)； (2)對于過定點(diǎn)的直

3、線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn) 考點(diǎn)二弦長及中點(diǎn)弦問題 1.弦長問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”設(shè)而不求，利用弦長公式|AB|，(A(x1，y1)，B(x2，y2)，k為直線的斜率)計(jì)算弦長2中點(diǎn)弦問題常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率弦長問題典例11已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)M(0,2)，直線MF的斜率.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N，且|AB|MN|

4、，求l的方程解(1)由題意，可得解得則b2a2c22，故橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|2，|MN|2，|AB|MN|，不合題意，故直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為ykx2，聯(lián)立得(14k2)x216kx80.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，(16k)232(14k2)128k2320，即k2.設(shè)N(x0，y0)，則x0，因?yàn)閨AB|MN|，所以|x1x2|x00|，則|x0|，即，整理得k2.故k，所以直線l的方程為yx2.點(diǎn)評：涉及弦長問題在求解時(shí)務(wù)必注意兩點(diǎn)：一是所設(shè)直線方程其斜率是否存在二是保證直線與橢圓相交，即消元后對應(yīng)方程其判別式

5、0.中點(diǎn)弦問題 典例12(1)已知直線xy10與橢圓C：1(ab0)交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)為M，若直線OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的傾斜角為150，則橢圓C的離心率為()A B C D(2)若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2)，直線y3x7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為 (1)D(2)1(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)M(x0，y0)1，1，兩式相減可得0，把x1x22x0，y1y22y0，k，tan 150，代入可得，解得.e.故選D(2)法一：(直接法)橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2)，設(shè)橢圓方程為1(b0)，由 消去x，得(10

6、b24)y214(b24)y9b413b21960，設(shè)直線y3x7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知1，y1y22，解得b28.所求橢圓方程為1.法二：(點(diǎn)差法)橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2)，設(shè)橢圓的方程為1(b0)設(shè)直線y3x7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則得0，即，又弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故橫坐標(biāo)為2，k3，代入上式得3，解得b28，故所求的橢圓方程為1.點(diǎn)評：與橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)的問題應(yīng)用橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式kABkOM，即kAB比較方便快捷，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)1過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且

7、被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程是()A4x3y130 B3x4y130C4x3y50 D3x4y50B設(shè)所求直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由題意得得0，又P(3,1)是AB的中點(diǎn)x1x26，y1y22，kAB.故直線AB的方程為y1(x3)，即3x4y130，故選B2已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若斜率為1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D，且，求出直線l的方程解設(shè)直線l的方程為yxm，由題意知F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，所以以線段F1F2為直徑的圓的方程為x2y21，由題意知圓心(0,0)到直線l的距離

8、d1，得|m|.|AB|22，聯(lián)立消去y，得7x28mx4m2120，由題意得(8m)247(4m212)33648m248(7m2)0，解得m27，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|CD|x1x2|AB|，解得m22，得m.即存在符合條件的直線l，其方程為yx. 考點(diǎn)三直線與橢圓的綜合問題 轉(zhuǎn)化思想在直線與橢圓綜合問題中的應(yīng)用(1)以向量為背景的綜合題：常先將向量關(guān)系坐標(biāo)化，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系求解(2)以幾何圖形為背景的綜合題：常體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，可先把幾何圖形中的平行、垂直等關(guān)系代數(shù)化(借助向量或斜率公式)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解典例2如圖，已知橢圓C：1

9、(ab0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在橢圓C上，過原點(diǎn)O的直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且|MF|NF|4.圖圖(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P(1,0)，Q(4,0)，過點(diǎn)Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，證明：APOBPQ.解(1)如圖，取橢圓C的左焦點(diǎn)F，連接MF，NF，由橢圓的幾何性質(zhì)知|NF|MF|，則|MF|MF|2a4，得a2.將點(diǎn)代入橢圓C的方程得1，解得b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)由圖可知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為yk(x4)(k0)聯(lián)立方程消去y得，(4k21)x232k2x64k240，(

10、32k2)24(4k21)(64k24)0，k2，直線AP的斜率為.同理直線BP的斜率為.由0.由上得直線AP與BP的斜率互為相反數(shù)，可得APOBPQ.點(diǎn)評：圓錐曲線中的兩角相等問題，其實(shí)就是有公共邊的兩個(gè)角(公共邊所在直線垂直于坐標(biāo)軸)的不相同的邊所在直線的傾斜角互補(bǔ)的問題，即已知點(diǎn)B，D在垂直于坐標(biāo)軸的同一直線上，若要證明ABDCBD，需證kABkBC0.(2020天津高考)已知橢圓1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，3)，右焦點(diǎn)為F，且|OA|OF|，其中O為原點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C滿足3，點(diǎn)B在橢圓上(B異于橢圓的頂點(diǎn))，直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)求直線AB的方程解(1)橢圓1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，3)，b3，由|OA|OF|，得cb3，又由a2b2c2，得a2323218，所以，橢圓的方程為1.(2)直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以CPAB，根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y3kx，即ykx3，由方