高等數(shù)學基本概念基本公式

1、. 目 錄 一、函數(shù)與極限 2 1、集合的概念 2 2、常量與變量 3 2、函數(shù) 4 3、函數(shù)的簡單性態(tài) 4 4、反函數(shù) 5 5、復合函數(shù) 6 6、初等函數(shù) 6 7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 7 8、數(shù)列的極限 8 9、函數(shù)的極限 10 10、函數(shù)極限的運算規(guī)則 11 . . 一、函數(shù)與極限 、集合的概念1一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能 構成集合，因為它的元素不是確定的。表示集合中的元素。cb、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、我們通常用大字拉丁字母A

2、、B、? AA，記作：a。A，記作：aA，否則就說a不屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于N 、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作+N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作 ?；騈+ 。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z 。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q 。、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R 集合的表示方法 、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合 、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。 集合間的基本關系的元素，我們就說A，如果集合中的任意一個元素都是集合B、子集：一般地，對于兩個集合A、B? A）。B（或BA的子集，記作

3、A、B有包含關系，稱集合A為集合B 中的中的元素與集合B的子集，此時集合的子集，且集合B是集合AA相等：如何集合A是集合B B。與集合B相等，記作A元素完全一樣，因此集合ABA是集合B但不屬于A，我們稱集合、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于 的真子集。? ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：?A 、任何一個集合是它本身的子集。即A 的子集。C的子集，則A是A是B的子集，B是CA、對于集合、B、C，如果 、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。 集合的

4、基本運算。BABB的元素組成的集合稱為A與的并集。記作、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。） B。，或Ax即ABx|x 。A的交集。記作BA、交集：一般地，由所有屬于集合且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B B。x|xA，且xB即A 、補集：全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。 。通常記作UU相對于全集AU，由全集中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A補集：對于一個集合 ACA的補集。簡稱為集合的補集，記作。U. . ?A。 x，且UA即Cx|x U集合中元素的個數(shù) 、有限集：

5、我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。 、用card來表示有限集中元素的個數(shù)。例如Aa,b,c，則card(A)=3。 、一般地，對任意兩個集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB) 我的問題： 1、學校里開運動會，設Ax|x是參加一百米跑的同學，Bx|x是參加二百米跑的同學，Cx|x是參加四百米跑的同學。學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。、AB；、AB。 2、在平面直角坐標系中，集合C(x,y)|y=x表示直線yx，從這個角度看，集合D=(x,y)|

6、方程組：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合C、D之間有什么關系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系。 3、已知集合A=x|1x3，Bx|(x-1)(x-a)=0。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使AB成立？ 4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關系呢？ 5、無限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能設計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？ 2、常量與變量 、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的

7、數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。 、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名區(qū)間的滿足的不等區(qū)間的記區(qū)間在數(shù)軸上的表 b axab 閉區(qū)間 ， b）（xb a，開區(qū)間 a b）或a，axb （ab或半開區(qū)間 axb 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間： a，+)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：ax+； (-，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-xb； (-，+)：表示全體實數(shù)，也可記

8、為：-x+ 注：其中-和+，分別讀作負無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號。 . . 、鄰域：設與是兩個實數(shù)，且0.滿足不等式x-的實數(shù)x的全體稱為點的鄰域，點稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。 2、函數(shù) 、函數(shù)的定義：如果當變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對應，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母晜、?表示y與x之間的對應法則即函數(shù)關系,它們是可以任意采用不同

9、的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。 、函數(shù)相等 由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構成要素為：定義域、對應關系和值域。由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。 、域函數(shù)的表示方法 a)：解析法：用數(shù)學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，222 =r+y半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：xb)：表格法：將一系列的自變量值與對應的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關系的方法即是表格法。例：在實際應用中，

10、我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。 c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為： 3、函數(shù)的簡單性態(tài) I的所有x值總有f(x)M成立，：如果對屬于某一區(qū)間其中M是一個與x無關、函數(shù)的有界性的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。 注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù) 例題：函數(shù)cosx在(-,+)內(nèi)是有界的. ：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x、函數(shù)的單調(diào)性1 如果函數(shù)的。(a,b

11、)內(nèi)是時，x有單調(diào)增加 ，在區(qū)間則稱函數(shù)xx及，當221 有時，x，當x及(a,b)x在區(qū)間，(a,b)內(nèi)隨著增大而減小，即：對于內(nèi)任意兩點xx2211 則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。 2函數(shù),0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)增加的。在區(qū)間=x(- 例題：. . 、函數(shù)的奇偶性 如果函數(shù)則=如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x，都滿足叫做偶函數(shù)； 叫做奇函數(shù)。x =-都滿足，則對于定義域內(nèi)的任意注：偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。 、函數(shù)的周期性 l，使得關系式對于定義域內(nèi)任何x值都對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù) l 成立，則的周期。周期函數(shù)，是叫做注：我們說

12、的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。 函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以為周期的周期函數(shù)。 例題： 、反函數(shù)4 在函數(shù)的、反函數(shù)的定義：，若變量設有函數(shù)y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y時，變量x0 這個函數(shù)用.來表x是變量y定義域內(nèi)必有一值x與之對應，的函數(shù)即，那末變量0 示，稱為函數(shù)的.反函數(shù) 也是函數(shù)的反函數(shù)。注： 由此定義可知，函數(shù) 在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為、反函數(shù)的存在定理 ：若R，則它的反函數(shù)必然在R). (減上確定，且嚴格增) (嚴格增減)即是單調(diào)增(減注： 2.x=取定的非負值,可求得若我們不y例題：y=x，其定義域為(-,+)，值域為0,+).對于加條件，由y的值就不

13、能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-,+)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反 2時的反函數(shù)。即是：函數(shù)0y=x就是在要求x函數(shù)。如果我們加上條件，要求x0，則對y0、x=). (在此要求下嚴格增減 對稱的。y=x、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標平面內(nèi)，與的圖形是關于直線 與函數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線例題：y=x對稱的。如右圖所示： . . 5、復合函數(shù) ，且的函數(shù)：u又是x的函數(shù)復合函數(shù)的定義：若y是u，而的函數(shù)： 的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)值的全部或部分在 復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。及 注：

14、并不是任意兩個函數(shù)就能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構成。 與函數(shù)是不能復合成一個函數(shù)的。例題： 函數(shù) 的定義域(-,+)中的任何x值所對應的u值（都大于或等于2因為對于），使 都沒有定義。 6、初等函數(shù) 、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結一下：函數(shù)的記函數(shù)的圖函數(shù)的性稱 指; 總為正數(shù)數(shù)為何值不論 a):x,y ,y=1. 當b):函 x=0時 數(shù) 并過軸右側其圖形總位于 a):y,對 點(1,0)數(shù) 的值為在區(qū)間,時a當 b):1(0,1) 函,+)的值為正；在定義(-負；在區(qū)間 數(shù). 域內(nèi)單

15、調(diào)增 . . a=m/n 令是偶函,ym為偶數(shù)n為奇數(shù)時 a):當冪; 數(shù) 函 為任意實數(shù)a; 都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù) b):當m,n 數(shù) ,0)無意在(-當c):m奇n偶時,y 這里只畫出部分函數(shù)圖形的一. 義 部分。 為周期的周期2 a):三正弦函數(shù)是以 角函數(shù)) 正弦函數(shù)(函 這里只寫出了正弦函數(shù) b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且 數(shù) 反因此我由于此函數(shù)為多值函數(shù)a):, 三 )(反正弦函數(shù),們此函數(shù)值限制在角/2,/2上-. 函這里只寫出了反正弦函數(shù)并稱其為反正弦函數(shù)的 主值 由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用一、初等函數(shù)：. 個解析式表出的函數(shù)稱為初等函

16、數(shù) 是初等函數(shù)。例題： 、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)7) 、雙曲函數(shù)：在應用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：用表格來描述(函數(shù)函數(shù)的性函數(shù)的圖函數(shù)的表達名稱 :(-a)：其定義域為,+)； 雙曲正 b)：是奇函數(shù)； 弦 c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增 a)：其定義域為:(-,+)； 雙曲余b)：是偶函數(shù)； 弦 ；(0,1)：其圖像過點c) . . :(-,+)；a)：其定義域為 b)雙曲正：是奇函數(shù)；及：其圖形夾在水平直線y=1切 c) y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增； 我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別： 三角函數(shù)的性質(zhì)雙曲函數(shù)的性質(zhì) 是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)tanx thxshx與是奇函數(shù)，chx是偶

17、函數(shù)sinx與 它們都不是周期函數(shù) 都是周期函數(shù) 雙曲函數(shù)也有和差公式： . 、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù) ,+)；a)：反雙曲正弦函數(shù) 其定義域為：(- 其定義域為：1,+)；b)：反雙曲余弦函數(shù) 其定義域為：(-1,+1)；c)：反雙曲正切函數(shù) 、數(shù)列的極限8 我們先來回憶一下初等數(shù)學中學習的數(shù)列的概念。，依次排列下去，使得任何一個正整a，第二個數(shù)a、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)21數(shù)列中的每一個數(shù)，為，a數(shù)列.a，那末，我們稱這列有次序的數(shù)n數(shù)對應著一個確定的數(shù)aa，n12n. 一般項或通項叫做數(shù)列的n叫做數(shù)列的項。第項an a的函數(shù)，自變量為正整數(shù)看作我們也可以把

18、數(shù)列注：an即：=，它的定義域是全體正整數(shù)nn. . 、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。 例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。 設有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A；21n-1可得一系A)一般把內(nèi)接正62邊形的面積記為再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A；依次循下去(n3，它們就構成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)接正多，AnA，A列內(nèi)接正多邊形的面積：A，321，這個確定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)列)也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積邊形的邊數(shù)無限增加時，An 的極限。n趨近于無窮大) 當n(讀作，A，A，AAn

19、，321 的割圓術。(公元三世紀)注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學家劉徽 (不論其多么來說，若存在任意給定的正數(shù)：一般地，對于數(shù)列、數(shù)列的極限 是數(shù)列那末就稱常數(shù)a時的一切不等式都成立，小)，總存在正整數(shù)N使得對于nN a . 收斂的極限于，或者稱數(shù)列 或記作： 只有任意給定，不等式a無限接近的意思。且注：此定義中的正數(shù)才能表達出與定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關的，它是隨著的給定而選定的。 、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋， 及數(shù)列在數(shù)軸上用它幾何解釋：將常數(shù)a以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的

20、鄰域即開區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示： 時，所有的點都落在開區(qū)間因不等式N與不等式等價，故當 n(a-，a+)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。 注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學習到，這里我們不作討論。 都滿足不等式M、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，則稱數(shù)，使得一切 不存在，則可說數(shù)列是無界的M有界的，若正數(shù)。 列是 一定有界。收斂，那末數(shù)列定理：若數(shù)列 注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，n+1 (-1)-11-1，是有界的，但它是發(fā)散的。. . 9、函數(shù)的極限1內(nèi)的正整數(shù)，前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知

21、道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 . 若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學習函數(shù)的極限，如果在這時，函數(shù)b)：自變量無限接近某一定點x函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；0? 函數(shù)存在極值就叫做。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢值無限接近于某一常數(shù)A，! 下面我們結合著數(shù)列的極限來學習一下函數(shù)極限的概念) 、函數(shù)的極限(分兩種情況 a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 ，使得對于適不論其多么小X)定義，總存在著正數(shù)：設函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)( ，所對應的函數(shù)值合不等式x 的一切都滿足不等式 就叫做函數(shù)當那末常數(shù)Ax時的極限，記作

22、： 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下數(shù)列的極限的定函數(shù)的極限的定 存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù) ，任給一正數(shù)0存在數(shù)列與常數(shù)A， 0，總可找到一正數(shù)X，對于適合的 都滿足的所有nNN總可找到一正整數(shù)，對于 ，函數(shù)，都滿足一切x 記：x時收斂于A則稱數(shù)列，當 ，記：A當x時的極限為 。 。 從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？試思考之 b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子. 例：函數(shù)我們知道對實數(shù).處無定義x=1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x1當，. . 來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖: 有多接近，就與2

23、有多接近x與1.從中我們可以看出x1或說：只時，2.而且只要 時滿足定義：設，當要與2只差一個微量，就一定可以找到一個 在某點x的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)函數(shù)A，如果對任意給定的(不論其多么小)，總存0 則稱函數(shù)當xx時存在極限，且極限為A，時，在正數(shù)，當00 記：。 注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論xx的過程，與x=x出的情況無關。此00定義的核心問題是：對給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。 有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ a):先任取0； 寫出不等式 b):； 0 c):解不等式能否得出去心鄰域

24、，若能； ，當，總能找出0 d):時，成立，因此則對于任給的0 10、函數(shù)極限的運算規(guī)則 前面已經(jīng)學習了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。 、函數(shù)極限的運算規(guī)則 x)時，或. xx 若已知(0 則： . . 推論： 在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。 求例題： 解答： 求 例題：此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。 解答： 注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限

25、時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應先把分式的分子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。 函數(shù)極限的存在準則 學習函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。 我們先來看一個例子： ：符號函數(shù)為 例對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概 念。 當A為函數(shù)函數(shù)與常量A無限接近，則稱xxx定義：如果僅從左側(x)趨近時，00 記：. 時的左極限 函數(shù)時，趨近)僅從右側如果A無限接近，與常量A則稱為函數(shù)當時x(xxx00. . 記：. 的右極限 的左、右極限存在且相等，方稱在xx時有極限注：只有當xx 時，函數(shù)00 函數(shù)極限的存在

26、準則 有x)點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切對于點x的某一鄰域內(nèi)的一切x，x 準則一：00 ， ，且 那末存在，且等于A 注：此準則也就是夾逼準則. 準則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限. 注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個重要的極限 ：一 .注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045 二： 注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明. 注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們. 求 例題： 令，則x=-2t，因為x，故t， 解答： 則 注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x時，若用t代換1/x，則t0. 無窮大量和無窮小量 無

27、窮大量 我們先來看一個例子： . . 趨向無窮大。為時，可知x0已知函數(shù)，當，我們把這種情況稱為 N一個任意大的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)此我們可定義如下：設有函數(shù)(y=，在x=x0 ，當?shù)臄?shù))，總可找到正數(shù) 。時為無窮大量時，成立，則稱函數(shù)當 （表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）記為： x時，同樣我們可以給出當y=，當x無限趨大的定義：設有函數(shù)充分大時有定義， MN成立，則稱函時，當對于任意給定的正數(shù)，總可以找到正數(shù)(一個任意大的數(shù)) ，記為：數(shù)當x時是無窮大量 無窮小量 。以零為極限的變量稱為無窮小量 M，使得對(或正數(shù))(不論它多么小)定義：，總存在正數(shù)設有函數(shù)，對于任意給定

28、的正數(shù) ，則稱函x(，所對應的函數(shù)值滿足不等式或)的一切于適合不等式 . 為無窮小量當(或x)時數(shù) ) 或記作：(可作為無窮小量的唯一常量。：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0注意無窮大量與無窮小量是互.無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0 .為倒數(shù)關系的 關于無窮小量的兩個定理 或(則差是當，定理一：如果函數(shù)(在或x)時有極限A x)時的無窮小量，反之亦成立。 無窮小量的有利運算定理定理二：常數(shù)與無：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b) .窮小量的積也是無窮小量 無窮小量的比較兩個無窮小量

29、的商會.通過前面的學習我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小那么. . 是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。 都是時的無窮小量，且在，x的去心領域內(nèi)不為零， 定義：設0 ：如果，則稱是的高階無窮小或是的低階無窮小； a) ：如果，則稱和是b)同階無窮??； ：如果，則稱和是等價無窮小，記作：(與等價c) 因為，所以當x0時，x與3x是同階無窮??； 例： 2 3x的高階無窮?。粁0因為時，x是，所以當 是等價無窮小。與時，sinxx，所以當x0因為 等價無窮小的性質(zhì) 存在，則設. ，且注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都

30、可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。 求1.例題： bxbxaxax，故：sin ，tan時，當 解答：x0 求 例題： 2. 解答： 注： . . 注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。 函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念增量 x即：的增量，記為：就叫做，終值與初值的差x-x變量x設變量x從它的一個初值x變到終值x1221x可正可負增量. x=x-x 12 x+變到x的鄰域

31、內(nèi)有定義，當自變量x在領域內(nèi)從x我們再來看一個例子：函數(shù)在點x000 變到，其對應的增量為：時，函數(shù)y 相應地從 這個關系式的幾何解釋如下圖： y也趨向于零，即：函數(shù)y現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當對應的增量x趨向于零時， ，那末就稱函數(shù)在點x處連續(xù)。 0 函數(shù)連續(xù)性的定義： 在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有在點x稱函數(shù)設函數(shù)0 為函數(shù)的x連續(xù)的連續(xù)點. ，且稱x處00 設函數(shù)右連續(xù)的概念：函數(shù)左、在區(qū)間(a,b下面我們結合著函數(shù)左、右極限的概念再來學習一下 那末我們就稱函數(shù)即：，內(nèi)有定義，存在且等于如果左極限，= 內(nèi)有定義，如果右極限.在點b左連續(xù)在區(qū)間設函數(shù)a,b)存在且等于，即：

32、 在點a右連續(xù)=. ，那末我們就稱函數(shù)一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。 注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù). 注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 . . 通過上面的學習我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學習這個問題：函數(shù)的間斷點 函數(shù)的間斷點 定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點. 它包括三種情形：在xa)無定義； 0 ：在xxb)時無極限； 0 時有

33、極限但不等于；在xx c)：0下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型： 是函數(shù)的間斷點，因： 正切函數(shù)處沒有定義，所以點在例1 為函數(shù)的無窮間斷點；，我們就稱 函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當x0時，函數(shù)值在-1例2：與+1之間變動無限多次，我 叫做函數(shù)的振蕩間斷點； x=0們就稱點 ，右極限時，左極限：，從函數(shù)當x0 例3這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下: 間斷點的分類 的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把xx我們通常把

34、間斷點分成兩類：如果是函數(shù)稱為00. . .；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點函數(shù)的第一類間斷點 可去間斷點 的第一類間斷點。此時函是函數(shù)是函數(shù)存在，那末的間斷點，但極限若xx00 數(shù)不連續(xù)原因是：，則不存在或者是存在但。我們令 可去間斷點。處連續(xù)，故這種間斷點x稱為在點可使函數(shù)x00 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性 我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結論： ：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；a) ：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b) ；(分母在該點不為零)c)：兩個在某

35、點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù) 反函數(shù)的連續(xù)性 也在對應的區(qū)間)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減 且連續(xù)單調(diào)減)上單調(diào)增( -1,1故它的反函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，例：在閉區(qū)間函數(shù) 上也是單調(diào)增且連續(xù)的。 復合函數(shù)的連續(xù)性 u=a而函數(shù).當設函數(shù)xx時的極限存在且等于a在點，即：0 當xx且等于.即：時的連續(xù)，那末復合函數(shù)極限也存在0 例題：求 解答： u=e在點且函數(shù)注：函數(shù)復合而成，與可看作 連續(xù)，因此可得出上述結論。. . 連續(xù)，那末復合函數(shù)u=u，而函數(shù)設函數(shù)在點x=x在點連續(xù)，且00 的在點x=x也是連續(xù)0 初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在它們的定義域

36、內(nèi)都是連續(xù)的；通過前面我們所學的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結論： .一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù) 條重要的性質(zhì)，下面我們來學習一下：) 在此不作證明在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(最大值最小值定理：2，且大于閉區(qū)間0處，它的函數(shù)值為1，x=/2 例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間0，2上連續(xù)，則在點，2上其它各點出的函0-1，且小于閉區(qū)間上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3/2處，它的函數(shù)值為 數(shù)值。 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：

37、介值定理 ，使a，b間一定有一個，在、之間，則在 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。 推論： 二、導數(shù)與微分 導數(shù)的概念設一質(zhì)點：在學習到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例 有增t的瞬時速度？我們知道時間從x是時間tt的函數(shù)，求質(zhì)點在軸運動時，其位置沿x00 的位移。因此，在此時，質(zhì)點的位置有增量，這就是質(zhì)點在時間段t 量t 若質(zhì)的瞬時速度，若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.0時，此無限地接近于時的瞬時速度。我們認為當時間段t0點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0度時速時在t的瞬點，瞬t近限地接于質(zhì)點時的時速度

38、即：質(zhì)無度均平速會00 =為此就產(chǎn)生了導數(shù)的定義，如下： 也x處有增量x(x+x的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點xx在導數(shù)的定義：設函數(shù)00 時極限存之比當x0)在該鄰域內(nèi)時，相應地函數(shù)有增量與x，若y. . 導數(shù)x處的還可記為：。記為：，在，則稱這個極限值為在0 若函數(shù)，否則不可導。在點x函數(shù)處可導在區(qū)間(a,b)在點x處存在導數(shù)簡稱函數(shù)00 內(nèi)的每一個確(a,b)內(nèi)可導。這時函數(shù)內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)對于區(qū)間 我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)這就構成一個新的函數(shù)，定的x值，都對應著一個確定的導數(shù)，的 導函數(shù)。 ：導數(shù)也就是差商的極限 注 左、右導數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，

39、導數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數(shù)的概念。若極限 存在，我們就稱它為處的左導數(shù)。若極限在存在，我們就稱它為函數(shù)x=x0 右導數(shù)。在函數(shù)x=x處的0 函數(shù)處的可導的充分必要條件處的左右導數(shù)存在且相等是函數(shù)在在x注：x00 函數(shù)的和、差求導法則 函數(shù)的和差求導法則：為可寫差().用公式數(shù)函于的和的(差)導數(shù)等這兩個數(shù)的導的和數(shù)導個：法 則兩可函 v為可導函數(shù)。其中u、 已知，求例題： 解答： 例題：已知，求 解答： 函數(shù)的積商求導法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導法則. . 法則：在求一個常數(shù)與一個可導函數(shù)的乘積的導數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導記號外面去。用公式可 寫成： ，求 已知例題： 解答：

40、 函數(shù)的積的求導法則法則：兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子 的導數(shù)。用公式可寫成： ，求已知例題： 解答： 注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。 函數(shù)的商的求導法則法則：兩個可導函數(shù)之商的導數(shù)等于分子的導數(shù)與分母導數(shù)乘積減去分母導數(shù)與分子導數(shù)的乘積，在 除以分母導數(shù)的平方。用公式可寫成： 已知，求例題： 解答： 復合函數(shù)的求導法則 在學習此法則之前我們先來看一個例子! 求例題：=? ，故 這個解答解答：正確嗎由于? 這個解答是錯誤的，正確的解答應該如下： 我們發(fā)生錯誤的原因是 求導。2x求導，而不是對x是對自變量. . 下面我們給出

41、復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)的求導規(guī)則 規(guī)則：兩個可導函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘上中間變量對自變量的導數(shù)。用公式表示為： ，其中u為中間變量 ，求例題： 已知 ,因此解答：可分解為設, 則 注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。 ，求 已知例題： 解答： 反函數(shù)求導法則 為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導法則，如下(我們以定理的形式給出)： ，則它的反函數(shù)在點x定理：可導，且有：若 是單調(diào)連續(xù)的，且 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導數(shù)等于原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有

42、對它作記號變換。 求導，是對xy即：是對 求導 . 例題：求的導數(shù) 此函數(shù)的反函數(shù)為則：，故 解答：. . 求的導數(shù)例題：. 此函數(shù)的反函數(shù)為 解答：，故則： 高階導數(shù) 的導數(shù)，即：，對時間v(t)是位置函數(shù)s(t)t我們知道，在物理學上變速直線運動的速度 或，的導數(shù)：。 tv對時間t的變化率，即速度v對時間又是速度而加速度a 這種導數(shù)的導數(shù)叫做s對t的二階導數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學定義： 我們把的導數(shù)叫做函數(shù)x的函數(shù)定義.：函數(shù)的導數(shù)仍然是 把相應地，或，或即：的二階導數(shù)，記作. 的一階導數(shù).的導數(shù)叫做函數(shù)類似地，二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四階導數(shù)，一般地(n-1)階

43、導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù). ，分別記作：或， ，二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱高階導數(shù)。由此可見，求高階導數(shù)就是多次接連地求導，所以，在求高階導數(shù)時可運用前面所學的求導方法。 ，故=a因為例題：=0已知，求 解答： 階導數(shù)。例題：求對數(shù)函數(shù)的n ，解答：，. . 一般地，可得 隱函數(shù)及其求導法則 ，y=sinxx的算式表示，像我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量. 前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù)顯函數(shù).y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫值存在，yx在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應地總有滿足此方程的一般地，如果方程F(x,y)=0中，令隱函數(shù)的把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱

44、函數(shù)在該區(qū)間上確定了x的y.則我們就說方程F(x,y)=0？下面讓我們來解決這個有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導數(shù)時該如何呢顯化。注： 問題！ 隱函數(shù)的求導 ，求若已知F(x,y)=0時，一般按下列步驟進行求解： ，能化為：若方程 a)F(x,y)=0的形式，則用前面我們所學的方法進行求導； ，不能化為b)：若方程x的函F(x,y)=0x的形式，則是方程兩邊對進行求導，并把y看成 ，用復合函數(shù)求導法則進行。數(shù) 已知，求例題： 導，進行求邊數(shù)求導法.兩對x隱，不：解答此方程易顯化故運用函 ，故=，利用復合函數(shù)求導法的函數(shù)，然后對其看成進行求導時，一定要把變量yxx 注：我們對隱函

45、數(shù)兩邊對 則進行求導。 處的導數(shù)求隱函數(shù)，在例題：x=0 故時，x=0y=0.，當兩邊對解答：x求導，故 。有些函數(shù)在求導數(shù)時，若對其直接求導有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進行求導時，有沒有一種比較. . 直觀的方法呢？下面我們再來學習一種求導的方法：對數(shù)求導法 對數(shù)求導法 對數(shù)求導的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導問題。 ，求0 已知x例題：此題若對其直接求導比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進行求導，就比較簡便些。如下 ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導 解答：先兩邊取對數(shù)： ，所以因為 ，求 例題：已

46、知此題可用復合函數(shù)求導法則進行求導，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導法進行求導 數(shù)再兩邊求兩邊取對導：解答先 為，所以因 函數(shù)的微分 學習函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x變到了x+x，則此薄片的面積改變了多少？ 00 的函數(shù)： 是Ax薄片受溫度變化的影響面積的改解答：設此薄片的邊長為x，面積為A，則變量，可以看成是當自變量x從x取的增量x時，函數(shù)A相應的增量A，即：0 第一部分A。從上式我們可以看出，分成兩部分，. . 即圖中的黑色部分，即下圖中紅色部分；第二部分是x的線性函數(shù)， 的高階無窮小，表示為：時，它是x當x0 由此我們可以發(fā)

47、現(xiàn)，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學定義： 函數(shù)微分的定義：設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x及x+x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為00 則稱函數(shù)是x是不依賴于x的高階無窮小，的常數(shù)，其中A 即：記作dy，在點x在點可微的x。相應于自變量增量x叫做函數(shù)的微分，=。 00 的差通過上面的學習我們知道：微分與y是關于x是自變量改變量x的線性函數(shù)，dy的高階無窮小量，我們把dy稱作y的線性主部。于是我們又得出：當x0時，ydy.導數(shù)的記號為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把x看成dx,即:定義自變量的增量等于自

48、變量的微分)，還可表示為： 由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。 微分形式不變性 什么是微分形式不邊形呢？ ，則復合函數(shù)的微分為： 設 ， 由于，故我們可以把復合函數(shù)的微分寫成 的乘積來表示，du與由此可見，不論 u是自變量還是中間變量，總可以用dy的微分. . 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。 已知，求 例題：dy 解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則 通過上面的學習，我們知道微分與導數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù) 的運算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？ 下面我們來學習基本初等函

49、數(shù)的微分公式與微分的運算法則 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則 基本初等函數(shù)的微分公式 由于函數(shù)微分的表達式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公 式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式) 導數(shù)公式 微分公式 微分運算法則 由函數(shù)和、差、積、商的求導法則，可推出相應的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導數(shù)的運算法則對照一下： 函數(shù)和、差、積、商的求導法則 函數(shù)和、差、積、商的微分法則 . . 復合函數(shù)的微分法則就是前面我們學到的微分形式不變性，在此不再詳述。 3 的導數(shù)對x設 例題：，求 根據(jù)微分形式

50、的不變性解答： 微分的應用為此我們用函數(shù)的微分有時比較困難，但計算微分則比較簡單，微分是表示函數(shù)增量的線性主部 .計算函數(shù)的增量，. 來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應用 的近似值。 例題：求 我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉化為求微分的問題 解答： 1.024695) 精確值為故其近似值為1.025( 三、導數(shù)的應用 微分學中值定理 在給出微分學中值定理的數(shù)學定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下： 處處可(a,b)b)(aba設有連續(xù)函數(shù) ，與是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點，假定此函數(shù)在 (a,b)導，也就是在內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，. . 作平行于自身的移動，那AB就是割線AB 的斜率，若我們把割線差商 處成為曲線的切線，而曲線的斜率為么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)， 由于切線與割線是平行的，因此 成立。 這個結果就稱為微分學中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 注： 拉格朗日中值定理 內(nèi)至少有一(a,b)那末在在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導， 在閉區(qū)間如果函數(shù)a,b上連續(xù)， 點c，使